1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1、设集合 Ax|1x2，集合 Bx|1x3，则 AB(A)x|1x3 (B)x|1x1 (C)x|1x2 (D)x|2x32、设向量 a(2,4)与向量 b(x,6)共线，则实数 x(A)2 (B)3 (C)4 (D)63、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法
2、(D)随机数法4、设 a,b 为正实数，则“ab1”是“ ”的22logl0ab(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件5、下列函数中，最小正周期为 的奇函数是(A)ysin(2x ) (B)ycos(2x )2 2(C)ysin2xcos2x (D)ysinxcosx6、执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为(A) (B) 3232(C) (D) 117、过双曲线 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 两点，23yx ,AB则|AB|(A) (B)2 (C)6 (D)4433 38、某食品保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 (
3、单位：)满足函数关系 yxkxbye(e2.718为自然对数的底数， 为常数)。若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在,kb22的保鲜时间是 48 小时 ,则该食品在 33的保鲜时间是(A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时 (D)28 小时9、设实数 x,y 满足 ，则 的最大值为21046xyxy(A) (B) (C)12 (D)16529210、设直线 与抛物线 相交于 两点，与圆 相切于点 ，且l24yx,AB22(5)(0)xyrM为线段 中点，若这样的直线 恰有 4 条，则 的取值范围是MABlr(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4
4、)二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11、设 i 是虚数单位，则复数 _.1i12、 的值是_.2lg0.1lo613、已知 ，则 的值是_.sincs0a22sincosaa14、在三棱柱 中， ，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视1ABC90BAC图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形，设点 分别是棱 的中点，则三,MNP,ABC棱锥 的体积是_.1PMN15、已知函数 (其中 ).2(),()xfgaxR对于不相等的实数 ，设 ， ，12,12)ffm12()gxn现有如下命题：对于任意不相等的实数 ，都有 ；12,x0对于任意的 及任意不相等的实
5、 ，都有 ；a12,n对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 ；a12,xmn对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 。其中真命题有_(写出所有真命题的序号)。三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16、(本小题满分 12 分)设数列 （n=1,2,3）的前 项和 满足 ，且 成等差数列。nannS12na23,a（）求数列 的通项公式；n（）设数列 的前 n 项和为 ，求 . 1nanT17、(本小题满分 12 分)一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为 1,2,3,4,5，乘客 的座位号分别为12345,P1，2，3，4，5，他们按照座位号从
6、小到大的顺序先后上车，乘客 因身体原因没有坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位.（）若乘客 坐到了 3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 4 种坐法。下表给出其1P中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）乘客 1P234P53 2 1 4 53 2 4 5 1座位号（）若乘客 坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就座，求乘客 坐到 5 号座位的概率。1PP18、(本小题满分 12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图
7、所示。（）请按字母 标记在正方体相应地,FGH顶点处（不需说明理由） ；（）判断平面 与平面 的位置关系，BEAC并证明你的结论；（）证明：直线 平面DFG19、(本小题满分 12 分)已知 A、B、C 为 的内角， 是关于方程 的两tan,AB2310()xppR个实根.（）求 的大小；（）若 ，求 的值3,6p20、(本小题满分 13 分)如图，椭圆 的离心率是 ，点 在短轴 上，且2:1(0)xyEab2(0,1)PCD1PCDA（）求椭圆 E 的方程；（）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点。OP,AB是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，AOB求 的值；若不存在，请说明理由
8、。21、(本小题满分 14 分)已知函数 ，其中 .22(lnfxxa0a（）设 为 的导函数，讨论 的单调性；()gxf()gx（）证明：存在 ，使得 恒成立，且 在区间 内有唯一解.(0,1)a0f()0fx(1,)参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。1.A 2.B 3.C 4.A 5.B6.D 7.D 8.C 9.A 10.D二、填空题：本题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 25 分。11. 12. 2 13. -1 14. 15. 2i 124三、解答题：共 6 小题，共 75 分。16.本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列
9、通项公式与前 项和等基础知识，考查运算求n解能力。解：（）由已知 ，有12nSa，(2)na即 1()n从而 2321,4a又因为 成等差数列，即1132(1).a所以 ，解得14()a所以，数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列n故 2n（）由（）得 1na所以 21()12.nnnnT17本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法分析和解决实际问题的能力，考查推理论证能力、应用意识。（）余下两种坐法如下表所示：乘客 1P234P53 2 4 1 5座位号3 2 5 4 1（）若乘客 坐到了 2 号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为
10、：1P乘客 1P234P52 1 3 4 52 3 1 4 52 3 4 1 52 3 4 5 12 3 5 4 12 4 3 1 52 4 3 5 1座位号2 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共 8 种。设“乘客 坐到 5 号座位” 为事件 ，则事件 中的基本事件的个数为 4PA所以 41()82A答：乘客 坐到 5 号座位的概率是 1218.本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力。（）点 的位置如图所示。,FGH（）平面 平面 ，证明如下：/BEAC因为 为正方体，所以 ，D/,BCFG又 ，所以 ，/,FGEH/,BC
11、EH于是 为平行四边形BC所以 /又 平面 平面 ，,AA所以 平面/EH同理 平面BGC又 所以平面 平面/A（）连接 FH因为 为正方体，所以 平面ABCDEGDHEFG因为 平面 ，所以又 ，所以 平面,OB又 平面 ，所以FHF同理 DBG又 ，E所以 平面19. 本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想。（）由已知，方程 的判别式2310xp2(3)4()4p所以 或2由韦达定理，有 tant3,tan1ABpABp于是 ，1t1()0从而 tattan() 3nABP所以 ，tant()3CAB所以 60（）由正弦定
12、理，得，sinsi602si 3ACB解得 ，或 （舍去）4515于是 807则31tan45t0tant5tan(430) 21A 所以 1(tat)(23)133pB20.本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。（）由已知，点 的坐标分别为,CD(0,),b又点 的坐标为 ，且 ，P(0,1)1PA于是 解得222,.bca,2ab所以椭圆 方程为E214xy（）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 的坐标分别为ABAB1,ykxAB12(,),xy联立 得21,4xyk2()420kxk
13、其判别式 ，22()8)所以， 1212224,xxkk从而， 1122()1OABPyxy1()kx24()21k所以，当 时，123此时， 为定值OABP当直线 斜率不存在时，直线 即为直线ABCD此时， 213OP故存在常数 ，使得 为定值121.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。（）由已知，函数 的定义域为 ，()fx(0,)，()21lngxa所以 ()x当 时， 单调递减；(0,)x0,gx当 时， 单调递增1()()（）由 ，解得()21ln)0fxxa1lnx令 ，2 22(1ln)()(l)lnx则 ()0,()e于是，存在 ，使得1x0(x令 ，其中00ln)au)1ln()x由 知，函数 在区间 上单调递增()ux(x(,故 01()2e即 0(,)a当 时，有000(),()fxfx再由（）知， 在区间 上单调递增，1当 时， ，从而 ；0(1,)x()fx0()fx当 时， ，从而 ；0 ()f又挡 时，(,x2()lnfxax故 时，0)综上所述，存在 ，使得 恒成立，且 在区间 内有唯一解。(,1)a()0fx()0fx(1,)
