1、 2018 届学科网二轮透析高考数学 23 题对对碰【二轮精品】 第一篇副题 3 解三角形【副题考法】本副题考题形式为选择题、填空题，主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角公式、三角函数图象与性质解三角形边角及三角形的面积、解测量、航行等实际问题、求平面图形中的边角关系、求与三角形有关最值、取值范围等综合问题，难度为基础题和中档题，分值为分.【副题回扣】1.三角形中的三角变换：来源:学_科_网（1）角的变换：因为在 中， ABC()CAB2CAB，所以 ； ；2()Csin()sicoscostan()tanC2co,ssinBA；学科-网（2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式(r 为三
2、角形内切圆半径，p 为周长之半).（3）在 中，熟记并会证明： 成等差数列的充分必要条件是 ； 是正三角形的ABC,ABC60BAC充分必要条件是 成等差数列且 成等比数列.,abc2.要熟记如下知识：（1）正弦定理：分类 内容定理 ( 是 外接圆的半径)2sinisinabcRABCABC变形公式 ， ， ，2Risinc ，i:i:ab ， ，snsn2Rsi2解决的问题已知两角和任一边，求其他两边和另一角，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（2）在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在中， .ABCsiniabAB（3）在 中，已知 ， 和
3、 时，解的情况如下：为锐角 为钝角或直角A图形关系式 sinabAiabab解的个数 一解 两解 一解 一解（4）余弦定理分类 内容来源:学科网 ZXXK定理在 中，有 ； ；ABC22cosabA22cosbaB2cosc变形公式 ； ；22os22aBc22sbC解决的问题已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【易错提醒】1. 已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.2 .注意隐含条件的挖掘；学& 科网【副题考向】考向一 已知三角形中的边角关系解三角形【解决法宝】1.对已
4、知三角形的边角关系解三角形问题，若所给条件即含边又含角，若含边或含角的余弦的齐次式，则常用正弦定理将边化成角化成纯角问题，利用三角公式求角或把角化成边利用余弦定理求边或角.2.若条件给出三角形面积，则利用三角形面积公式化为边角问题处理.来源:学,科,网 Z,X,X,K3.若以向量运算的形式给出条件，则利用向量运算的相关知识化为边角关系，再利用余弦定理求解.4.在利用正弦定理解题时，注意利用大边对大角来判断所求角的范围.5.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使
5、问题获得解决的突破口.6.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5) 若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条 件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组) 求解.例 1【山西榆林市 2018 届二模】在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，ABC, ,abc2a，则 为（ ）1sinisin2bBaAiA B C D74347313【分析】先
6、用正弦定理将 化为纯边关系，再利用余弦定理求出角 B 的余弦，再1sinisin2baA用同角三角函数基本关系求出 B 的正弦. 考向二 利用正弦定理、余弦定理解平面图形问题【解决法宝】对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利用正弦定理与余弦定理求解，若图形中条件与结论不在一个三角形内，思路1：要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一 个三角形内列出在利用正余弦定理列出方程求解；思路2：根据图像分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的边角，逐步建立未知与 已知的联系.例 2【江西省重点中学盟校 2018 届第一次联考】如图，平面四边形 中， 与 交于
7、点 ，若， ，则+=56 =( )A. B. C. D. 213 214 62【分析】延长 到 ,使 ，利用向量运算可得出 ，利用正弦定理建立关系式,求得角的大 DEAP/小,并用余弦定理求出 的值【解析】设 ,则 ,延长 到 ,使 ,连接 ，所以 ,依题意,所以 ,所以 ,由正弦定理得/,两式相除得 ,所以 ,所以 .在三角形 中,由余弦定2= 3 =2,=3 理得 ,在 中 ,故 ,选 .=73=213考向三 利用正弦定理、余弦定理解测量、航行问题【解决法宝】1.把握解三角形应用题的四步：阅读理解题意，弄清问题的实际背景，根据题意画出示意图；根据图形分析图中哪些量是已知量，哪些量是未知量，
8、需要通过哪些量将未知与已知沟通起来，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；学=科网根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等2.要理解仰角和俯角、方位角、方向角的概念，并能将其化为三角形内角.例 3【河南省商丘市一高 2018 届二模】一艘海监船在某海域实施巡航监视，由 岛向正北方向行驶 80 海A里至 处，然后沿东偏南 30方向行驶 50 海里至 处，再沿 南偏东 30方向行驶 海里至 岛，MN30B则 两岛之间距离是 _海里,AB【分析】首先作出辅助线连接 AN 构造出三角形，然后在 中连续两次运用余弦定理可得出 和AMAN
9、的值，再由 即可得出其余弦值，最后在 中运用余弦Ncos )150cos(csANB 定理即可得出所求的结果.【解析】连接 AN，则在 中，应用余弦定理可得 ，即 ；应用M 805260cos2A70余弦定理可得 ，所以在 中，应用余弦定理可得710528cos2ANNB；而7032)0(cos2BCANB 7302143sin150icos15)15cs(00 ANMANANM，所以 ，即 ，故应填 7043732(2B7考向四 判定三角形性质【解题法宝】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相
10、应关系，从而判断三角形的形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 这个结论ABC3.如何利用余弦定理判定三角形的形状来源:学科网由于 与 同号，cosA22bca故当 时，角 为锐角；20A当 时，三角形为直角三角形；当 时，三角形为钝角三角形22bca例 4 【天津市耀华中学 2018 届 12 月月考】在 中，若 ，且，则 的形状为（ ）=34 A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正三角形或直角三角形 D. 正三角形【分析】由两角和正切公式，即可求出 tan（A+B），即 tanC
11、，即可求出角 C，由 即可求=34出 B，即可的出三角形形状.【解析】 ， +1=3=(+) ， =3由 ，即 ， 或 2=32 2=3当 时 ， 无意义=6 当 时 ，此时 为正三角形，故选 【副题集训】1.【安徽省淮南市 2018 届一模】在 中，角 的对边分别是 ，已知 ， ，则 ,( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， 所以 ，故选 B。=2+222 =2222(1)22 =2. 【湖北省黄冈、黄石等八市 2018 届 3 月联考】在 中，角 所对的边分别是 ，若，则 （ ）A. B. C. D. 55 55 255【答案】B【解析】 及正弦定理得 ，=2 sinsin=
12、2sincos在 中, ， ， ， ，解得 ，故选 .3.【四川巴中市 2017 届“零诊”，10】在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且ABCCabc，若 的面积 ，则 的最小值为（ ）来源:学科网 ZXXKbaBc2osABCcS123abA B C D31316【答案】B.4. 【河北省武邑中学 2018 届高三下学期开学考】在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ABCBCa， ，若 ，则 为（ ）bcoscaAbBACA. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由题得 1sincsiosin2siin2siBAB或0
13、202ABA 或是等腰三角形或直角三角形. 故选 D.+=BC5.【湖北省荆州市 2017 届高三上学期第一次质量检，11】在 中，内角 的对边分别是 ，ABC,abc若 ，且 ，则 周长的取值范围是( )32sin4B2acABA B C. D2,3,4,55,6【答案】B 6.【湖北省武汉市 2018 届二月调研测】在 中， ， ，则角 的取值范围是（ ） =2A. B. C. D. (4,2)【答案】A【解析】 ，所以 ，所以 ，因 ， 必定为锐角，故 ，故选2 +22 =23 22.18. 【福建省龙岩市 2018 年质量检查】如图， 中， ， 为边 上的一点， ABCDAB， ， ，
14、则 _26CD3A4BC【答案】 39【解析】在BCD 中应用正弦定理有： ，则 ，siniCDB4sini23sin6BCD，则 ，在ACD 中，由余弦定理有：2,34BDCB34A2 3cos26cos94AAC19.【江西省新余市 2018 届高三上学期期末】在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 ， ，则 面积的最大值为_【答案】【解析】A+B+C=， ，4222(+)=2(1+)2=22+2+3=72 ， . ，由余弦定理可得：=12 =32，（当且仅当 b=c=2，不等式等号成立）, S ABC4=2+22= 20. 【河南三门峡市 2018 届二练】已知锐角三角形 AB
15、C 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c-a=2acosB，则 的取值范围是_【答案】21.【河北省唐山市 2018 届第一次模拟】在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 边上的高为 ， 若 ，则 的取值范围是_【答案】2，2 【解析】根据题意得到 2=2+22,2+2=2+2=2(+)， ，故 范围为2，2 .+=2+2=2(+)=22(+4) 222.【安徽省宿州市 2018 届第一次质量检测】 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ABC, ,abcc，若 为 所在平面内一点，且 在直线 的异侧， sinsinBACOOAB，则四边形 面积的取值范围是_2OA【答案】
16、 35,24【解析】设 ，则 B1sin2AOBS由题意得 ，sinsin()si2sincosicBACACA又 ， ， ，又 ， 为等边三角形0cobcB在 中，由余弦定理得 O22154Bc 3sinsiincosAOBCCSS四 边 形， ， ，535sincos2i434023， ，即四边形 面积的取值范围是3i12 3sin2OACB5,423.【河南省漯河市高中 2018 届第四次模拟】如图，为了测量河对岸 、 两点之间的距离，观察者找到一个点 ，从点 可以观察到点 、 ；找到一个点 ，从点可以观察到点 、 ；找到一个点 ，从CABDACE点可以观察到点 、 ；并测量得到一些数据： ， ， ， B2C23E45D， ， ， ，则 、 两点之间的距离为105AD48.1975E60B_（其中 取近似值 ）cos23【答案】 10
