1、第八章立体几何8.2 空间几何体的表面积与体积专题2空间几何体的体积(2015 河南省洛阳市高考数学一模,空间几何体的体积,选择题,理 5)某几何体的三视图如图所示,图中三个正方形的边长均为 2,则该几何体的体积为( )A. B.8-238C. D.8-43 23解析:由几何体的三视图可得出 :三个正方形的边长均为 2, 正方体的内部挖空了一个圆锥, 该几何体的体积为 23- 122=8- ,故选 D.13 23答案:D(2015 甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,空间几何体的体积,填空题,理 15)已知 A,B,C,D 四点在半径为 的球面上,且 AC=BD= ,AD=BC=5,AB=CD,
2、则三棱锥 D-ABC 的体积是 . 292 13解析:由题意,构造长方体,其面上的对角线构成三棱锥 D-ABC,如图所示.设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,则 a=4,b=2,c=3.2+2+2=29,2+2=25,2+2=13. 三棱锥 D-ABC 的体积是 234-4 234=8,故答案为:8.1312答案:8(2015 甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,空间几何体的体积,选择题,理 7)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的全面积是 (单位:m 2).( )A.4+2 B.4+6 6C.4+2 D.4+2 2解析:由三视图可以看出,此几何体是一个侧面与底面垂直且底
3、面与垂直于底面的侧面皆全等的三棱锥.由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形,高为 2,底面边长为 2,故它们的面积皆为 22=2,12由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高,由等面积法可以算出,此二高线的长度相等,为 ,25将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高,由勾股定理可以算出,此斜高为 2 ,同理可求出侧65面底边长为 ,5可求得此两侧面的面积皆为 2 ,12 655=6故此三棱锥的全面积为 2+2+ =4+2 ,故选 A.6+6 6答案:A(2015 甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,空间几何体的体积,选择题,理 9)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上 ,ABC 是边
4、长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此三棱锥的体积为( )A. B. C. D.14 24 26 212解析:根据题意作出图形:设球心为 O,过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1,则 OO1平面 ABC,延长 CO1 交球于点 D,则 SD平面 ABC. CO1= ,2332=33 OO1= ,1-13=63 高 SD=2OO1= ,263 ABC 是边长为 1 的正三角形, SABC= ,34 V 三棱锥 S-ABC= .故选 C.1334263=26答案:C(2015 甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,空间几何体的体积,选择题,理 7)如图,网格纸上正方形小格的边
5、长为 1(表示 1 cm),图中粗线画出的是某多面体的三视图 ,该多面体的体积为( )A.40 cm3 B.50 cm3C.60 cm3 D.80 cm3解析:根据几何体的三视图,得 :该几何体是由长方体截割得到,如图中三棱锥 A-BCD,由三视图中的网格纸上小正方形边长为 1 cm,得该长方体的长、宽、高分别为 6 cm,4 cm,5 cm,则三棱锥的体积为 V 三棱锥 =645-4 645=40 cm3.故选 A.1312答案:A专题 3 组合体的“接”“ 切” 综合问题(2015 河南省洛阳市高考数学一模,组合体的“ 接”“ 切” 综合问题,填空题,理 14)若正四棱锥 P-ABCD的底
6、面边长及高均为 2,则此四棱锥内切球的表面积为 . 解析:设球的半径为 r,连接 OP,OA,OB,OC,OD,得到四个三棱锥和一个四棱锥.它们的高均为 r,则 VP-ABCD=VO-PAB+VO-PAD+VO-PBC+VO-PCD+VO-ABCD,即 222= r(4SPBC+4),13 13由四棱锥的高和斜高,及斜高在底面的射影构成的直角三角形得到,斜高为 ,5 SPBC= 2 ,12 5=5 r= ,5-12则球的表面积为 4 =(6-2 ).故答案为(6 -2 ).(5-12)2 5 5答案:(6- 2 )58.4 直线、平面平行的判定与性质专题 平面与平面平行的判定与3 性质(201
7、5 甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,平面与平面平行的判定与性质,选择题,理 4)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面 ,有下列四个命题: 若 m, ,则 m; 若 ,m,则 m ; 若 n,n ,m,则 m ; 若 m,m ,则 .其中正确命题的序号是( )A. B.C. D.解析: 根据面面垂直的性质可知 ,面面垂直,线面不一定垂直,所以 错误. 根据面面平行的性质定理可知,面面平行,则线面平行,所以 正确. 根据垂直于同一条直线的两个平面是平行的,同时一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则必垂直另一个平面,所以 正确. 平行于同一条直线的两个平面不一定平行,所以 错误.故选
8、D.答案:D8.5 直线、平面垂直的判定与性质专题2直线与平面垂直的判定与性质(2015 甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,直线与平面垂直的判定与性质,解答题,理 18)在四棱锥V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD底面 ABCD.(1)证明:AB平面 VAD;(2)求二面角 A-VD-B 的余弦值.(1)证明:因为平面 VAD平面 ABCD,平面 VAD平面 ABCD=AD,又 AB 在平面 ABCD 内,ADAB,所以 AB平面 VAD.(2)解:由(1)知 ADAB ,ABAV.依题意设 AB=AD=AV=1,所以 BV=BD= .2设 VD
9、的中点为 E,连接 AE,BE,则 AEVD,BEVD,所以AEB 是面 VDA 与面 VDB 所成二面角的平面角.又 AE= ,BE= ,32 72所以 cosAEB= .34+74-123272=217专题4空间中的距离问题(2015 河南省洛阳市高考数学一模,空间中的距离问题,解答题,理 20)如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,底面 ABCD 为梯形,AB CD ,ABC=90,BC=CD= 2AB=2.(1)若 CC1=2,E 为 CD1 的中点 ,在侧面 ABB1A1 内是否存在点 F,使 EF平面 ACD1,若存在,请确定点F 的位置;若不存在,请说明理由.(2)令点 K
10、 为 BB1 的中点,平面 D1AC 与平面 ACK 所成锐二面角为 60,求 DD1 的长.解:以 B 为原点,BC,BA ,BB1 分别为 x,y,z 轴,建立坐标系,则 A(0,1,0),B(0,0,0),C(2,0,0),D1(2,2,2),(1)若存在这样的点 F,则可设 F(0,y,z),其中 0y 1,0z 2, =(-2,y-1,z-1), =(2,-1,0), =(0,2,2),1 EF平面 ACD1, y=-3,z=5,-4-(-1)=0,2(-1)+2(-1)=0,与 0y1,0z2 矛盾, 不存在满足条件的点 F.(2)设|DD 1|=2k(k0),则 K(0,0,k)
11、,D1(2,2,2k), =(0,-1,k), =(2,1,2k), 1设平面 ACK 的法向量为 m=(x,y,z),则 -+=0,2-=0. 取 m=(k,2k,2),同理平面 ACD1 的法向量为 n=(-k,-2k,2),则 .|-2-42+4|52+452+4=12 k= 或 (负值舍去),21515 2155 DD1 的长为 .41515或 4155专题5平行与垂直的综合问题(折叠、探究类)(2015 甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,平行与垂直的综合问题(折叠、探究类), 解答题,理 18)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB CD,DAB=60,AB
12、=AD=2CD=2,侧面PAD底面 ABCD,且PAD 是以 AD 为底的等腰三角形.(1)证明:AD PB;(2)若四棱锥 P-ABCD 的体积等于 ,试求 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值 .32(1)证明:取 AD 的中点 G,连接 PG,GB,BD. PA=PD, PGAD. AB=AD,且DAB= 60, ABD 是正三角形 , BGAD,又 PGBG=G,PG,BG平面 PGB, AD平面 PGB. ADPB.(2)解: 侧面 PAD底面 ABCD,PGAD,连接 GC. PG底面 ABCD;在底面直角梯形 ABCD 中,由已知可得 BC= ,3由 VP-ABCD= ,即 PG= ,得 PG= ,而 BG=CG= ,DG=1,32 1312(1+2) 3 32 3 3在 RtPGB,RtPGC,RtPGD 中分别可求得 PB= ,PC= ,PD=2,6 6在PCD 中,cosPDC= =- ,2+2-22 14 sinPDC= , PCD 的面积 SPDC= PDCDsinPDC= ,154 12 154设点 B 到平面 PCD 的距离为 h,由 VP-BCD=VB-PCD,得 h= ,2155 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .=215516=105
