1、专题 数列、不等式一、选择题1 【2018 黑龙江佳木斯一中调研】等比数列 na中， 54， 76a，则 9（ ）A. 8 B. 9 C. 8 D. 9【答案】B2 【2018 湖北咸宁】在公比为整数的等比数列 na中， 123a， 4，则 na的前 5 项和为（ ）A. 10 B. 21 C. 11 D. 12【答案】C【解析】 123a， 4a，,q24，即 234q解得 q或 舍去，则 1a5515 23aS故选 C3 【2018 湖北八校联考】已知数列 na满足 51n（ *nN） ，将数列 na中的整数项按原来的顺序组成新数列 nb，则 2017的末位数字为（ ）A. 8 B. 2
2、C. 3 D. 【答案】B【解析】由 51na（ *nN） ，可得此数列为： 4,9,24,93,4,95,64,， na的整数项为6,数列 nb的各项依 次为： 23781, ，末位数字分别是 2,378, ， 0171，故 2017的末位数字为 2，故选 B点睛：本题考查了递推式的应用、观察分析猜想归纳数列通项公式、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；由通项公式可得数列 na的前几项，故而可求出数列 nb的前几项，由此可观察出数列 nb为以 4 为周期的周期数列，从而可求出结果.4 【2018 湖北八校联考】已知正项等比数列 n的前 项和为 nS，且 1632a, 4
3、与 6a的等差中项为 32，则 5S（ ）A. 6 B. C. 32 D. 1【答案】D5 【2018 湖北咸宁重点高中联考】等差数列 na的前 项和为 nS，若 23， 510S，则 na的公差为（ ）A. 23 B. 1 C. 3 D. 14【答案】C【解析】 153452445377, 1032aaSaS，34312,.d本题选择 C 选项. 6 【2018 华大新高考联盟质检】在等比数列 中， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D7 【2018 河南中原名校联考】设 是 等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设等比数列首项为 ，公比为
4、 ， ， ，则 ， ， ，选 D. 8 【2018 豫西南高中联考】已知正项等比数列 na的公比为 2，若 24mna，则 1n的最小值等于（ ）A. 1 B. 2 C. 34 D. 2【答案】C【解析】正项等比数列 na， 22411mnnaa ，故得到 6mn， 21n 1215536426m故结果为 C。9 【2018 湖北重点高中联考】已知数列 na满足 1， 112nna，则数列1na的前 40 项的和为（ ）A. 920 B. 35462 C. 184 D. 20【答案】D点睛：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求 和，主要用于分式能够通过写成两项相减的
5、形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求 和的数列。10 【2018 山东德州联考】在等差数列 an中， a10， a2012+a20130， a2012a20130，则使 Sn0 成立的最大自然数 n 是（ ）A. 4025 B. 4024 C. 4023 D. 4022【答案】B【解析】 na为等差数列， 10a， a2012+a20130， a2012a20130 201， 2013 d 1402402aS， 14021203aa 402 140254025aS， 14025013a 4025使 Sn0 成立的最大
6、自然数 n 是 4024，故选 B.11 【2018 湖南株洲两校联考】数列 1n的前 2017 项的和为（ ）A. 2018 B. 2018 C. 207 D. 2017【答案】B点睛：此题考查了数列求和的方法，在分式中求和，常用的方法就是裂项法；裂项求和所满足的特点是：分母能够因式分解，分解后的因式相减后是分子的常数倍，这样通常情况下可以考虑这种方法。12 【2018 河北衡水武邑中学调研】己知数列 与 的前 项和分别为 、 ， ，且 ，若 恒成立，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当 时， ，解得 或 ，由 得 ，由 ，得，两式相减得 ， ，即数列 是以 为首
7、项， 为公差的等差数列， ，要使恒成立，只需 ，即 的最小值是 ，故选 B. 【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结 构特点，掌握一些常见的裂项技巧： ； ； ； ；此外，一些有关三角函数、等比数列的求和题型，也可以利用裂项相消法求解.13 【2018 山西两校联考】等差数列 na的前 项和为 nS,若 679218a,则 63S（ ）A. 18 B. 27 C. 36 D. 45【答案】B【解析】根据等差数列的性质， 6345653Saa，而67966522218aada，所以 59a， 27，故选 B.14 【201
8、8 河南天一联考】已知数列 满足 ， ，其前 项和为 ，则下列说法正确的个数为（ ）数列 是等差数列； ； .A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B15 【2018 贵州黔东南州联考】已知等差数列的前 3 项依次为 ,23a，前 n项和为 nS，且 10k，则 k的值为（ ）A. 9 B. 11 C. 10 D. 12【答案】C【解析】由 ,23a成等差数列得： 23a，解得 2a，所以 42d，所以2110ksk，解得 10k，故选 C.16 【2018 安徽五校联考】在关于 x的不等式 20ax的解集中至多包含 2个整数，则 a的取值范围是 （ ）A. 3,5 B. 2,4 C.
9、 3,5 D. ,4【答案】D点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确 求解不等式的解集是解答的关键.17 【2018 安徽五校联考】已知正项等比数列 naN满足 5432a，若存在两项 ,mna使得1,8mna，则 9n的最小值为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】 因为正项等比数列满足 5432a，所以 43211aqaq，即 20q，解得 2q，因为存在两项 ,mna使得 18mn，所以 221164mn，整理，
10、得 6，所以 ，所以 19991002628688nmn n ，当且仅当 m时，即 ,2nm等号成立，故选 B.18 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中二模】已知变量 ,xy满足2, 0,x则 3yx的最大值为（ ）A. 43 B. 2 C. 2 D. 3【答案】C【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示， 23yx代表点 ,2和可行域中的点连成的直线斜率，结合图形易知当 2,0xy时，斜率最大，最大值为 2. 本题选择 C 选项.19 【2018 衡水联考】若实数 x， y满足不等式组10,3 ,xy则 2zxy的最大值为（ ）A. 12 B. 10 C. 7 D. 1【答案】B点睛：本题考查的是
11、线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条 件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.20 【2018 黑龙江齐齐哈尔一模】设 102m，若 2km恒成立，则 k的取值范围为（ ）A. 2,0,4 B. , C. 4, D. ,4【答案】D【解析】由于 12m，则 2m= 212814m 当 2m=1-2m 即 m= 4时取等号；所以 21km恒成立，转化为 12的最小值大于等于 2k，即 2k 8故选 D 2
12、1 【2018 北京大兴联考】若 xy， 满足20 y，且 zkxy有最大值，则 k的取值范围为（ ）A. 1k B. 2k C. 1k D. 2k【答案】C22 【2018 黑龙江海林朝鲜中学联考】已知实数 x， y满足250,3 ,xyk若目标函数13zxy的最小值的 7 倍与 27zxy的最大值相等，则实数 的值为（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D二、填空题23 【2018 安徽五校联考】对于数列 na，定义数列 12na为数列 na的“ 2倍差数列” ，若12,na的 “ 倍差数列”的通项公式为 12，则数列 的前 项和 S_【答案】 12【解析】 由题意得，可得 11n
13、na，且 a，则 12na，所以数列 2n表示首项为 ，公差 1d的等差数列，所以 1n，所以 na，则 12312nnnS 42 ，两式相减可得 21231 122nnn nnS ，解得 1n. 24 【2018 湖北咸宁联考】在数列 na中，且 1， 12na，则 na的通项公式为_【答案】 2na点睛：本题主要考查了由数列的递推式求数列的通项公式，以及运用了累加法对数列进行求和，属中档题。其解题的一般方法，对于形如 1naf求数列的通项公式，常用方法就是累加法，即将1n个等式相加即可得出数列 的通项公式。25 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中三模】观察如下规律： 1， 3， ， 1， 5，
14、 ， 1， 5， 5， 7， ， 1， 7， ， 1， 7， 9， ， ， 9， ， ， 9， ， 19， ，则该组数据的前 20项和为_ （计算结果用带分数表示）【答案】 8149【解析】由题意，分母为 1 的 1 个，分母为 3 的 3 个，分母为 5 的 5 个，所以 135207n ，即 2107n，得最大的整数 4n，此时共有 1936 项，还剩余 81 项，分母为 89，所以前 2017 项的和为 8149。26 【2018 河南中原名校质检】已知数列 na满足 1， 12nna.记 2nCa，则数列nC的前 项和 12.nC_.【答案】 n27 【2018 华大新高考联盟联考】设
15、等差数列 的前 项和 满足 ，则_【答案】【解析】因为 ，所以 ，从而 .28 【2018 黑龙江齐齐哈尔一模】已知数列 na的通项公式为 lgna（ x表示不超过 x的最大整数）， nT为数列 na的前 项和，若存在 *kN满足 kT，则 的值为_【答案】108【解析】 101 nkka，当 1k0时， kT，显然不存在；当 时， 9k，显然不存在；当 时， 2kk，解得： k=108故答 案为：10829 【2018 安徽十大名校联考】在数列 na中， 123,4aa， *312nnaN.记 S是数列 的前 项和，则 20S的值为_ _【答案】130【解析】 由题意知，当 为奇数时， 31
16、na，又 23a，所以数列 na中的偶数项是以 3为首项， 2为公差的等 差数列，所以 24601920 ；当 n为偶数时， 31na，又 31，所以数列 n中的相邻的两个奇数项之和均等于 2，所以 135795717951aaa ，所以 200S.点睛：本题主要考查了数列求和问题，其中解答中涉及到等差数列的判定、等差数列的前 n项和公式，以及数列的并项求和等知识点的综合应用，解答中根据题意，合理根据 n为奇数和 为偶数分成两个数列求解是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.30 【2018 河南漯河中学三模】已知等差数列 na的前 项和为 nS，
17、若 1780,S，则 n取最大值的是_【答案】931 【2018 江西宜春六校联考】已知等差数列 na的公差 0d，且 2a， 51， 0a成等比数列，若15a， nS为数列 na的前 项和，则 231nS的最小值为 _【答案】 203【解析】由于 2a， 5a， 10a成等比数列，所以 2510a,即111149,dd,解得2373,nndS所以22383270nSnna.三、解答题32 【2018 安徽五校联考】已知等比数列 na的所有项均为正数，首项 14a，且 324,a成等差数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）记 1b，数列 nb的前 项和 nS，若 12n，求实数 的值.【答
18、案】 （1） 2nN .（2） 3.试题解析：（1）设数列 na的公比为 q，由条件可知 23,q成等差数列，所以 6，解得 或 2，因为 0，所以 2，所以数列 na的通项 公式为 12naN .（2）由（1）知， 11nnb，因为 1nS，所以 n，所以 2n，所以 32.点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式和数列中 nS和 a的关系的应用，其中解答中涉及到等比数列中基本量的运算，以及数列 nS和 a的关系求解数列 的通项等知识点综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中注意数列 和 n的关系的应用是解答的关键.33 【2018 安徽五校联考】 n是等差数列 的前 项和，且 25
19、,3aS.（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列 1nS的前 项和 nT，求 .【答案】(1) 2,aN.（2） 1n.试题解析：设等差数列 na的首项为 1，公差为 d，因为 25,3aS，所以15 432d，得 13 a，所以数列 na的通项公式为 2,nN.（2）因为 13a， 21,nN，所以 1 2312nnaSn，所以 2nS，所以 111134n nTn .34 【2018 湖南五市十校联考】已知等差数列 a中， 159,a.（1）求 na的通项公式；（2）设数列 1n的前 项和为 nT，求证： 49n.【答案】 （1） 2a；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由 514a
20、d即可求公差，进而得通项公式；（2）由 1 12922nann ，利用裂项求和即可得 129nT，令 9nb，由函数 1fx的图象关于点 9,0对称及其单调性可得 4nb，进而得证.试题解析：（2）由（1）知， 1112922nann ， 79571nT 9，令 12nb，由函数 92fx的图象关于点 ,02对称及其单调性知，1340b， 5670b ， 41nb， 1429nT.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 1nca (其中 na是各项均不为零的等差数列， c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻
21、两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如13n或 2n.35 【2018 湖北咸宁重点高中联考】已知数列 na中， 1， 12nna.（1）求数列 na的通项公式；（2）若 1b，求数列 nb的前 项和 nT.【答案】 （1） 2n；（ 2） 1.【解析】试题分析：试题解析：（1）由 12nna可得 12na，又由 1， na是公差为 2 的等差数列，又 1a， 1nn， 12na.（2） 12nb ，1112352nTn 122n.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法
22、的根源与目的36 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知正项等比数列 na的前 项和为 nS，且 6347a， 532a.（1）求数列 n的通项公式；（2）求数列 a的前 项和 nT.【答案】 （1） 2n；（2） 12n【解析】试题分析：（1）由 2634567Saq，所以 2q， 532a，故5142aq，写出通项公式；（2）错位相减法的步骤求得 nT，由 n求得 1nnT。试题解析：（1）因为 0na， 26345617Saq，所以 2q或 3（舍去）.又 532，故 5142q，所以数列 na的通项公式为 12nnaq.（2）由（）知 2n， 32nT ， 23 1nnT ， 得 1
23、32n ， 1nnT.37 【2018 辽宁鞍山一中二模】已知数列 na的前 项和为 nS，且 *2Nna.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列 nS的前 项和 nT.【答案】 （1） *2Na；（2） 24n（2）由（1）得到数列 nS的通项公式，采用乘公比错位相减法求解数列的和.试题解析：（1）当 n时， 12a，即 12a，解得 12.当 2时， nnS 11nna，即 1na，所以数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.所以 *Nn.（2）因为 12nnSa，所以 1nT 2312n42n24.38 【2018 河南中原名校联考】 为数列 的前 项和，已知 ， （1）求数列
24、的通项公式；（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，求证： 【答案】 （1） ；（2）见解析.试题解析：（1） ，两式作差得： ， 成等差数列又当 时， （2）由 可知则故 【点睛】当数列提供 与 之间的递推关系时，常规方法是把原式中的 n 替换为 n+1 得到另一个式子，然后两式作差，从而把 与 的关系转化为 与 的关系，然后在求通项公式，第二步为数列求和问题，常规方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法.39 【2018 安徽十大名校联考】已知数列 na满足： *11,2,nnaaN.（1）证明：数列 na是等比数列；（2）设 *35,nnbN，求数列 nb的前 项和 nS.【答案
25、】 （1）见解析；（2） 382试题解析:（1） n1na2a， n1n2a， 1na2，则数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列. （2）由（1）知， n1， n1a， n1nb35. 0122nS438 ，23n1n， 1n1n 52nnn2335283 ， nS382.40 【2018 江苏常州武进区联考】已知数列 na中， 13a，前 n项和 nS满足123naS（ *n） 求数列 的通项公式； 记 1nnab，求数列 nb的前 项和 nT； 是否存在整数对 ,m（其中 Z， *）满足 2750nnam？若存在，求出所有的满足题意的整数对 n；若不存在，请说明理由【答案】(1
26、) 3na;(2) 123nnT;(3) 2,1， 34,， ,3【解析】试题分析： 1当 时,可得 1na（ ） ，而当 n时，13na（ *N） ，可得到数列 是首项为 ，公比也为 3的等比数列，从而可求数列 na的通项公式；2由 知 n，代入 1nnab，对通项公式进行裂项，即可求得数列 nb的前 项和 nT；3要求出所有的满足题意的整数对 ,mn，根据题目意思表达出 m关于 n的表达式，4057nnm然后进行讨论。解析： 当 2时， 123naS与 123naS相减，得 1naS，即 1（ ） ， 在 3中，令 可得， 29，即 21a； 故 1n（ *N） ，故数列 a是首项为 ，公比也为 3的等比数列，其通项公式为 3n；由 知， 11nnnab1123n， 则 11826323n n nT 2750nnam，即 2750nm，即 403 4337nnnn n， 若存在整数对 ,，则 40n必须是整数，其中 7只能是 0的因数，可得 1时， 2m； 时， 4m； 3时， 4m； 综上所有的满足题意得整数对为 ,1， ,2， ,
