1、第六章数列6.1 数列的概念与表示专题 2 数列的通项公式(2015 辽宁丹东一模 ,数列的通项公式,解答题,理 17)数列 an满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设 bn=an+1-an,证明 bn是等差数列;(2)求a n的通项公式.解:(1)由 an+2=2an+1-an+2 得,an+2-an+1=an+1-an+2.由 bn=an+1-an 得,b n+1=bn+2,即 bn+1-bn=2.又 b1=a2-a1=1,所以b n是首项为 1,公差为 2 的等差数列.(2)由(1)得,b n=1+2(n-1)=2n-1,由 bn=an+1-an 得,a n+
2、1-an=2n-1.则 a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,an-=2(n-1)-1,所以 an-a1=1+3+5+2(n-1)-1=(n-1)2.又 a1=1,所以a n的通项公式 an=(n-1)2+1=n2-2n+2.6.2 等差数列及其前 n 项和专题 2 等差数列的性质(2015 河北保定二模 ,等差数列的性质,选择题,理 6)设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,已知 S7=49,则a2,a6 的等差中项是( )A. B.7 C.7 D.解析:在等差数列a n中,由 S7=49,得 a4=7. a2,a6 的等差中项 a4=7.答案:B专题 3 等差数列前 n 项和
3、公式与最值(2015 辽宁锦州一模 ,等差数列前 n 项和公式与最值,选择题,理 11)等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1+a2=10,S4=36,则过点 P(n,an)和 Q(n+2,an+2)(nN *)的直线的一个方向向量是( )A. B.(-1,-1)C. D.解析:等差数列a n中,设首项为 a1,公差为 d,由 S2=10,S4=36,得解得 a1=3,d=4. an=a1+(n-1)d=3+4(n-1)=4n-1.则 P(n,4n-1),Q(n+2,4n+7). 过点 P 和 Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是 (2,8)=-4.答案:A6.3 等比数列及其前 n
4、项和专题 1 等比数列的概念与运算(2015 河北邯郸二模 ,等比数列的概念与运算,填空题,理 15)已知数列 an满足a1=a2=1,an+2=an+1+an(nN *).若存在正实数 使得数列 an+1+an为等比数列,则 = . 解析:由题意可知:a n+2+an+1=(1+)an+1+an=(1+), =,解得 =. a1=a2=1, a3=2,易验证当 n=1 时满足题意.故 =.答案:专题 2 等比数列的性质(2015 江西宜春奉新一中高考模拟,等比数列的性质,选择题,理 4)已知数列 an,bn满足bn=log2an,nN *,其中b n是等差数列 ,且 a8a2 008=,则
5、b1+b2+b3+b2 015=( )A.log22 015 B.2 015 C.-2 015 D.1 008解析: 数列a n,bn满足 bn=log2an,nN *,其中b n是等差数列, 数列a n是等比数列.由 a8a2008=,可得,即 a1008=. a1a2015=a2a2014=a1007a1009=, b1+b2+b3+b2015=log2(a1a2a2015)=log2=-2015.答案:C(2015 河北衡水中学高三一调,等比数列的性质,选择题,理 3)已知正数组成的等比数列 an,若a1a20=100,那么 a7+a14 的最小值为 ( )A.20 B.25 C.50
6、D.不存在解析: 正数组成的等比数列 an,a1a20=100, a7+a142=2=2=20.当且仅当 a7=a14 时,a 7+a14 取最小值 20.答案:A(2015 辽宁锦州一模 ,等比数列的性质,选择题,理 4)已知各项不为 0 的等差数列 an满足 a4-2+3a8=0,数列b n是等比数列,且 b7=a7,则 b2b8b11 等于( )A.1 B.2 C.4 D.8解析: 数列a n是各项不为 0 的等差数列,由 a4-2+3a8=0,得(a 4+a8)-2+2a8=0,2a6-2+2a8=0,2(a6+a8)-2=0, 4a7-2=0,解得 a7=2.则 b7=a7=2.又数
7、列b n是等比数列,则 b2b8b11=b7qb7q4=23=8.答案:D专题 3 等比数列前 n 项和公式(2015 江西南昌三模 ,等比数列前 n 项和公式,解答题,理 17)已知等差数列 an的首项 a1=1,公差 d0,等比数列b n满足 a1=b1,a2=b2,a5=b3.(1)求数列a n和b n的通项公式;(2)设数列C n对任意 nN *均有+=a n+1,求数列c n的前 n 项和 Sn.解:(1)由题意 a2=1+d,a5=1+4d,且 a1,a2,a5 成等比数列, (1+d)2=1+4d,又 d0,d=2, an=1+(n-1)d=2n-1.又 b2=a2=3, q=3
8、,bn=3n-1.(2) +=an+1, =a2, c1=3.又+=a n(n2), - 得=a n+1-an=2, cn=2bn=23n-1(n2), cn=当 n=1 时,S n=c1=3,当 n2 时,S n=c1+c2+cn=3+2(31+32+3n-1)=3+2=3n.所以 Sn=3n.(2015 河北邯郸二模 ,等比数列前 n 项和公式,选择题,理 7)设数列 an的前 n 项之积为Pn=a1a2an(nN *),若 Pn=2,则+= ( )A. B. C. D.解析:由 Pn=a1a2an(nN *),Pn=2,得 a1a2an=, a1=20=1,a1a2an-1=(n2),两
9、式作商得 an=2n-1(n2),当 n=1 时上式成立, an=2n-1(n2) .则,由, 是以 1 为首项,以为公比的等比数列, +.答案:B(2015 河北衡水中学高三一调,等比数列前 n 项和公式,选择题,理 12)已知定义在0, +)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2),当 x0,2)时,f (x)=-2x2+4x.设 f(x)在2n- 2,2n)上的最大值为 an(nN *),且a n的前 n 项和为 Sn,则 Sn=( )A.2- B.4- C.2- D.4-解析: 定义在0,+)上的函数 f(x)满足 f(x)=2f(x+2), f(x+2)=f(x), f(x+
10、4)=f(x+2)=f(x),f(x+6)=f(x+4)=f(x),f(x+2n)=f(x).设 x2 n-2,2n),则 x-(2n-2) 0,2). 当 x0,2)时,f(x )=-2x2+4x, fx-(2n-2)=-2x-(2n-2)2+4x-(2n-2). f(x)=-2(x-2n+1)2+2. f(x)=21-n-2(x-2n+1)2+2,x2n- 2,2n), x=2n-1 时,f(x)的最大值为 22-n. an=22-n. an表示以 2 为首项,为公比的等比数列. an的前 n 项和为 Sn=4-.答案:B(2015 辽宁葫芦岛二模 ,等比数列前 n 项和公式,选择题,理
11、5)已知数列 an满足 2an+1+an=0,a2=1,则an的前 9 项和等于( )A.-(1-2-9) B.(1-2-9)C.-(1+2-9) D.(1-2-9)解析: 2an+1+an=0,a2=1, a1=-2a2=-2,又 =-, 数列a n是以- 2 为首项,- 为公比的等比数列, Sn=(-1)n2-n-1, S9=(-2-9-1)=-(1+2-9).答案:C(2015 辽宁葫芦岛二模 ,等比数列前 n 项和公式,填空题,理 16)在数列 an中,a 10,an+1=an,Sn 为a n的前 n 项和.记 Rn=,则数列R n的最大项为第 项. 解析: a10,an+1=an,
12、an=a1()n-1=a1, an+1=a1.Sn=,S2n=. Rn=,比较 R3,R4,R5 可知当 n=4 时,R n 取得最大值.答案:46.4 数列求和专题 2 错位相减求和(2015 辽宁锦州二模 ,错位相减求和,解答题,理 17)已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列a n的通项公式 an;(2)设 Tn 为数列的前 n 项和,求 Tn;(3)设 bn=,证明:b 1+b2+b3+bn.解:(1)由 nN *时,na n+1=Sn+n(n+1),得 n2 时,(n- 1)an=Sn-1+(n-1)n. - ,得 nan+
13、1-(n-1)an=an+2n,即 an+1-an=2(n2).又当 n=1 时,a 2=S1+12.所以 a2=a1+2.所以对一切正整数 n,有 an+1-an=2,所以数列a n为以 2 为首项,2 为公差的等差数列,故 an=2n.(2)由(1)得,所以 Tn=1+,两边同乘以,得 Tn=+, - ,得 Tn=1+,整理得 Tn=4-.(3)证明:由(1)知,b n=.所以 b1+b2+b3+bn=.专题 3 裂项相消求和(2015 江西宜春奉新一中高考模拟,裂项相消求和,解答题,理 17)在ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c,且满足 b2+c2=bc+a2.(1)
14、求角 A 的大小;(2)已知等差数列a n的公差不为零,若 a1cos A=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求的前 n 项和 Sn.解:(1) b2+c2-a2=bc, , cosA=, A(0,), A=.(2)设a n的公差为 d, a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列, a1=2,且=a 2a8, (a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),且 d0,解得 d=2. an=2n. , Sn=+=1-.(2015 河北保定二模 ,裂项相消求和,解答题,理 17)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn,公比为 q 的等比数列b n的首项为,且 a1+2q=3,a2+4
15、b2=6,S5=40.(1)求数列a n,bn的通项公式 an,bn;(2)求数列的前 n 项和 Tn.解:(1)设等差数列 an的公差为 d,则解得所以 an=2+3(n-1)=3n-1,bn=.(2)=+22n+1,即有 Tn=(22n+3-8)=.6.5 数列的综合应用专题 3 数列中的探索性问题(2015 辽宁丹东二模 ,数列中的探索性问题,填空题,理 16)设数列 an的前 n 项和是 Sn,数列S n的前n 项乘积是 Tn,若 Sn+Tn=1,若数列a n中的项最接近,则 n0= . 解析:当 n=1 时,S 1+T1=1,即 S1=;当 n=2 时,S 2+S1S2=1,即 S2=;当 n=3 时,S 3+S1S2S3=1,即 S3=;猜想 Sn=,从而 an=Sn-Sn-1=.令 n0(n0+1)=2015, n0(44,45). a44=,a45=, n0=44.答案:44
