1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的 观看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 32 空 间 几 何 体 的 结 构 及 其 三 视 图 和 直 观 图 、空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积一 、 选 择 题1. (2014湖北高考文科T7)在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是( 0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为, ,的四个图, 则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )A.和 B.和 C.和
2、 D.和【解题提示】由已知条件,在空间坐标系中作出几何体的大致形状,进一步得到正视图与俯视图.【解析】选 D.在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为,俯视图为,故选 D.2. (2014湖北高考文科T10)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 .它实际上是将圆锥体积2136Lh公式中的圆周率 近似取为 3.那么,近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为 ( )275L
3、hA. B. C.D.2758170351【解题提示】考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力.根据近似公式 V L2h,建立方程,即可求75得结论.【解析】选 B.设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,依题意,L=(2r) 2,V= Sh= r 2h= (2r)1312h L2h,75所以 ,1即 的近似值为 .83. （ 2014湖北高考理科5）.在如图所示的空间直角坐标系 中，一个四面体的顶点坐标分xyzO别是（0,0,2） ， （2,2,0） ， （1,2，1） ， （2,2,2） ，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.和 B.和 C. 和 D.和 【解题提示】 考查
4、由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解析】选 D. 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为与俯视图为，故选 D.4. （2014湖北高考理科 8） 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 它实际LhV21.36vLh上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近275vLh似取为（ ）A. B. C. D.
5、27258157031【解题提示】 考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力。根 据 近 似 公 式 ， 建 立 方 程 ，275VLh即 可 求 得 结 论【解析】选 B. 设圆锥底面圆的半径为 ，高为 ，依题意， ，r2)(r，所以 ，即 的近似值为22211()375VShrrhL12752585. （2014湖南高考理科7）7一块石材表示的几何何的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于 ( )A1 B2 C3 D4【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为 6，8，10 的直角三角形，高为 12的躺下的直三棱柱，底面的内切圆的
6、半径就是做成的最大球的半径。【解析】选 B. 由三视图画出直观图如图 ，判断这个几何体是底面是边长为 6，8，10 的直角三角形，高为 12 的躺下的直三棱柱，直角三角形的内切圆的半径为 ，这就是做成的最大球的半径。2106r6. （2014湖南高考文科8）与（2014湖南高考理科7）相同一块石材表示的几何何的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A1 B2 C3 D4【解题提示】先由三视图画出直观图，判断这个几何体是底面是边长为 6，8，10 的直角三角形，高为 12的躺下的直三棱柱，底面的内切圆的半径就是做成的最大球的半径。【解析】选 B. 由三视图
7、画出直观图如图，判断这个几何体是底面是边长为 6，8，10 的直角三角形，高为 12 的躺下的直三棱柱，直角三角形的内切圆的半径为 ，这就是做成的最大球的半径。2106r7. （2014上海高考理科16）(1,28) (1,28)i iABP 如 图 ， 四 个 棱 长 为 的 正 方 体 排 成 一 个 正 四 棱 柱 ， 是 一 条 侧 棱 ，P是 上 底 面 上 其 余 的 八 个 点 ， 则的 不 同 值 的 个 数 为 （ ）（ A) (B(C)4 (D)8【解题提示】根据向量数量积的定义可得.【解析】 2cos 1.iii iiABABPBAPP所 以 取 值 只 有 一 个8.（
8、2014福建高考文科3）3以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）.2.2.1ABCD【解题指南】本题考查的是圆柱的侧面积的计算根据圆柱侧面展开图为矩形可知，圆柱的侧面积应该是底面周长 母线长.【解析】A以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为 1，母线长为 1故侧面积为 故选 A22rl9.（2014福建高考理科2）2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）圆柱 圆锥 四面体 三棱柱B.C.D【解题指南】通过三视图还原原几何体时，注意排除干扰项【解析】A.无论如何放置，圆柱的正视图都不可能
9、为三角形.10.（2014浙江高考文科3）某几何体的三视图（单位：cm）若图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 372cm390cm3108cm318cm【解析】选 B.由三视图可知，原几何体是一个长方体和一个三棱柱的组合体，如图所示：所以其体积为 ，故选 B.13463902V【误区警示】此题利用三视图还原几何体时容易出现错误.11.（2014浙江高考理科3）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A. 90 B. 129 C. 132 D. 1382cm2c2cm2cm【解题指南】由三视图还原成几何体，再根据几何体的特征求表面积.【解析】选 D.
10、由三视图可知，几何体如图所示：所以表面积是：1246363452348S12.（2014辽宁高考理科7）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()82()8()8()824ABCD【解题提示】 结合三视图的特点，该几何体是由一个正方体在相对的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的【解析】选.截得该几何体的原正方体的体积 ；截去的圆柱（部分）底面半径为，母线2长为，截去的两部分体积为 ；故该几何体的体积为 21()4813.(2014陕 西 高 考 文 科 T5)将 边 长 为 1 的 正 方 形 以 其 一 边 所 在 的 直 线 为 旋 转 轴 旋 转一 周 ,所 得 几 何 体 的 侧
11、 面 积 是 ( )A.4 B.8 C.2 D.【 解 题 指 南 】 正 方 形 以 其 一 边 所 在 的 直 线 为 旋 转 轴 旋 转 一 周 所 得 几 何 体 为 圆 柱 ,利 用 圆柱 的 侧 面 积 公 式 求 解 .【 解 析 】 选 C.边 长 为 1 的 正 方 形 以 其 一 边 所 在 的 直 线 为 旋 转 轴 旋 转 一 周 ,得 几 何 体 为 底面 半 径 为 1,高 为 1 的 圆 柱 ,则 所 得 几 何 体 的 侧 面 积 为 2 11=2 .14.(2014陕 西 高 考 理 科 T5)已 知 底 面 边 长 为 1,侧 棱 长 为 的 正 四 棱 柱
12、 的 各 顶 点 均 在同 一 个 球 面 上 ,则 该 球 的 体 积 为 ( )A. B.4 C.2 D.【 解 题 指 南 】 根 据 截 面 圆 半 径 、 球 心 距 、 球 半 径 构 成 直 角 三 角 形 ,满 足 勾 股 定 理 ,求 出球 的 半 径 ,代 入 球 的 体 积 公 式 求 解 .【 解 析 】 选 D.由 正 四 棱 柱 的 各 顶 点 均 在 同 一 个 球 面 上 ,可 设 正 四 棱 柱 的 上 底 所 在 截 面 圆的 半 径 为 R1,则 + =1 可 得 = ;又 侧 棱 长 为 ,所 以 球 心 到 截 面 圆 的 距 离 d= ;由 截面 圆
13、 半 径 、 球 心 距 、 球 半 径 构 成 直 角 三 角 形 ,根 据 勾 股 定 理 得 球 半 径 R= =1,代 入 球 的 体 积 公 式 得 球 的 体 积 为 .15.(2014江 西 高 考 理 科 T5)一 几 何 体 的 直 观 图 如 图 所 示 ,下 列 给 出 的 四 个 俯 视图中正确 的 是 ( )【 解 题 指 南 】 由 三 视 图 中 的 俯 视 图 是 几 何 体 在 下 底 面 上 的 投 影 可 得 .【 解 析 】 选 B.因 为 俯 视 图 是 几 何 体 在 下 底 面 上 的 投 影 ,所 以 选 B.16.（ 2014安 徽 高 考 文
14、 科 8） 一 个 多 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 多 面 体 的 体 积 是 （ ）A. B. C. D.7234766【 解 题 提 示 】 将 三 视 图 还 原 为 原 几 何 体 ， 原 几 何 体 是 一 个 正 方 体 截 取 两 个 全 等 小 正 三 棱锥 所 得 的 组 合 体 。【 解 析 】 选 A。 由 三 视 图 可 知 原 几 何 体 是 一 个 正 方 体 截 取 两 个 全 等 的 小 正 三 棱 锥 。 正 方体 的 体 积 为 V1=8， 两 个 相 等 的 三 棱 锥 是 以 正 方 体 的 相 对 顶 点 为 顶 点 ， 侧 面 是
15、 三 个 全 等 的直 角 边 长 为 1 的 等 腰 直 接 三 角 形 ， 一 个 三 棱 锥 的 体 积 为 ， 所 以 两 个211=36V三 棱 锥 的 体 积 为 ， 故 所 求 几 何 体 的 体 积 为 .2318-【 误 区 警 示 】 没 有 正 确 将 三 视 图 还 原 为 几 何 体 而 无 法 进 行 计 算 。17.（ 2014安 徽 高 考 理 科 7） 一 个 多 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 多 面 体 的 表 面 积为 （ ）A.21+ 3 B.18+ 3 C.21 D.18【 解 题 提 示 】 将 三 视 图 还 原 为 原 几
16、何 体 ， 原 几 何 体 是 一 个 正 方 体 截 取 两 个 全 等 小 正 三 棱锥 所 得 的 组 合 体 。【 解 析 】 选 A。 由 三 视 图 可 知 原 几 何 体 是 一 个 正 方 体 截 取 两 个 全 等 的 小 正 三 棱 锥 。 正 方体 的 表 面 积 为 S=24， 两 个 相 等 的 三 棱 锥 是 以 正 方 体 的 相 对 顶 点 为 顶 点 ， 侧 面 是 三 个 全 等的 直 角 边 长 为 1 的 等 腰 直 接 三 角 形 ， 其 表 面 面 积 的 和 为 3， 三 棱 锥 的 底 面 是 边 长 为的 正 三 角 形 ， 其 表 面 积 的
17、 和 为 ， 故 所 求 几 何 体 的 表 面 积 为 24-3+ =21+ 。23 3【 误 区 警 示 】 易 忽 视 了 正 方 体 截 取 三 棱 锥 后 截 面 是 一 个 边 长 为 的 正 三 角 形 ， 其 面 积2的 和 为 ， 而 误 选 C。318. (2014新 课 标 全 国 卷 高 考 文 科 数 学 T6)如 图 ,网 格 纸 上 正 方 形 小 格 的 边 长 为1(表 示 1cm),图 中 粗 线 画 出 的 是 某 零 件 的 三 视 图 ,该 零 件 由 一 个 底 面 半 径 为 3cm,高 为6cm 的 圆 柱 体 毛 坯 切 削 得 到 ,则 切
18、削 掉 部 分 的 体 积 与 原 来 毛 坯 体 积 的 比 值 为 ( ) A. B. C. D. 1725910273【 解 题 提 示 】 由 三 视 图 ,还 原 出 几 何 体 ,然 后 根 据 几 何 体 的 形 状 ,求 得 体 积 之 比 .【 解 析 】 选 C.因 为 加 工 前 的 零 件 半 径 为 3,高 为 6,所 以 体 积 V1=9 6=54 .因 为 加 工 后 的 零 件 ,左 半 部 分 为 小 圆 柱 ,半 径 为 2,高 为 4,右 半 部 分 为 大 圆 柱 ,半 径 为 3,高 为 2.所 以 体 积 V2=4 4+9 2=34 .所 以 削 掉
19、 部 分 的 体 积 与 原 体 积 之 比 = = .故 选 C.543102719. (2014新 课 标 全 国 卷 高 考 文 科 数 学 T7) 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 底 面 边 长 为 2,侧 棱 长 为 ,D 为 BC 中 点 ,则 三 棱 锥 A-B1DC1的 体 积 为 ( ) 3A.3 B. C.1 D. 232【 解 题 提 示 】 恰 当 地 转 换 顶 点 求 得 三 棱 锥 的 体 积 .【 解 析 】 选 C.因 为 B1C1 BD,所 以 BD 面 AB1C1,点 B 和 D 到 面 AB1C1的 距 离 相 等 ,所 以 = = = 2 =1
20、.故 选 C.1DABVAV3320. (2014新 课 标 全 国 卷 高 考 理 科 数 学 T6)如 图 ,网 格 纸 上 正 方 形 小 格 的 边 长 为1(表 示 1cm),图 中 粗 线 画 出 的 是 某 零 件 的 三 视 图 ,该 零 件 由 一 个 底 面 半 径 为 3cm,高 为6cm 的 圆 柱 体 毛 坯 切 削 得 到 ,则 切 削 掉 部 分 的 体 积 与 原 来 毛 坯 体 积 的 比 值 为 ( ) A. B. C. D. 1725910273【 解 题 提 示 】 由 三 视 图 ,还 原 出 几 何 体 ,然 后 根 据 几 何 体 的 形 状 ,求
21、 得 体 积 之 比 .【 解 析 】 选 C.因 为 加 工 前 的 零 件 半 径 为 3,高 为 6,所 以 体 积 V1=9 6=54 .因 为 加 工 后 的 零 件 ,左 半 部 分 为 小 圆 柱 ,半 径 为 2,高 为 4,右 半 部 分 为 大 圆 柱 ,半 径 为 3,高 为 2.所 以 体 积 V2=4 4+9 2=34 .所 以 削 掉 部 分 的 体 积 与 原 体 积 之 比 = = .故 选 C.510721.（ 2014四 川 高 考 文 科 4） 某 三 棱 锥 的 侧 视 图 、 俯 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的体 积 是 （ ） （
22、 锥 体 体 积 公 式 ： ， 其 中 为 底 面 面 积 ， 为 高 ）3VShhA B C D331【 解 题 提 示 】 由 三 视 图 得 到 该 三 棱 锥 的 直 观 图 是 解 决 本 题 的 关 键 .【 解 析 】 选 D.根 据 所 给 的 侧 视 图 和 俯 视 图 ， 该 三 棱 锥 的 直 观 图 如 下 图 所 示 从 俯 视 图 可知 ， 三 棱 锥 的 顶 点 A 在 底 面 内 的 投 影 O 为 边 BD 的 中 点 ， 所 以 AO 即 为 三 棱 锥 的 高 ， 其体 积 为 .21314V22. （ 2014重 庆 高 考 文 科 7） 某 几 何
23、体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 （ ）A. B. C. D.1282430【 解 题 提 示 】 直 接 根 据 三 视 图 还 原 为 几 何 体 ， 然 后 求 出 该 几 何 体 的 体 积 .【 解 析 】 选 C.由 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 为 如 图 所 示 的 一 个 三 棱 柱 上 面 截 去 一 个 三 棱 锥 得到 的 .三 棱 柱 的 体 积 为 ,截 去 的 三 棱 锥 的 体 积 为 ,所 以 该15213462几 何 体 的 体 积 为 .4二 、 填 空 题23. （2014上海高考理科6） .若 圆 锥
24、 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 3倍 ， 则 其 母 线 与 底 面 角 的 大 小 为 _（ 结 果 用 反 三 角 函 数 表 示 ）【解题提示】根据圆锥的侧面积公式与底面积公式得， ,lr圆 锥 的 母 线 等 于 根 据 直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系 ， 即 得 要 求 结 论 .【解析】根据圆锥的侧面积公式与底面积公式得，2 13, ,31=arcos. rll l 即 设 母 线 与 底 面 所 成 的 角 为 ， 有 cos=所 以 .3答 案 ：24. （2014上海高考文科7） .若 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 3倍 ， 则 其 母 线 与
25、 轴 所 成 角 的 大 小 为 _（ 结 果 用 反 三 角 函 数 表 示 ）【解题提示】根据圆锥的侧面积公式与底面积公式得， ,lr圆 锥 的 母 线 等 于 根 据 直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系 ， 即 得 要 求 结 论 .【解析】根据圆锥的侧面积公式与底面积公式得， 2 13, ,31=arcsin. rll l 即 设 母 线 与 轴 所 成 的 角 为 ， 有 sin=所 以 i.3答 案 ：25. （2014上海高考文科8）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于_.【解题提示】根据三视图可得两边的小长方体的体积.
26、【解析】根据三视图可得两边的小长方体的长宽高分别为 3,2,2，所以体积为 2322=24答案：2426. （ 2014山 东 高 考 文 科 13）一 个 六 棱 锥 的 体 积 为 ， 其 底 面 是 边 长 为 2 的 正 六 边 形 ， 侧 棱 长 都 相 等 ， 则 该 六 棱2锥 的 侧 面 积 为 . 【 解 题 指 南 】 本 题 考 查 了 空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 ， 利 用 体 积 求 得 六 棱 锥 的 高 ， 再 求出 斜 高 即 可 求 出 表 面 积 .【 解 析 】 设 六 棱 锥 的 高 为 ， 斜 高 为 ，h则 由 体 积 得 ： ，
27、 12sin60233Vh 1h23h侧 面 积 为 .1h答 案 ： 1227. （ 2014天 津 高 考 文 科 10） 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 （ 单 位 ： ） ， 则m该 几 何 体 的 体 积 为 .3m244242侧侧侧侧侧侧侧侧侧【 解 析 】 如 图 ， 所 给 几 何 体 由 一 个 圆 锥 和 一 个 圆 柱 组 合 而 成 ，212014.33V【 答 案 】 028.（ 2014天 津 高 考 理 科 10） 已 知 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 （ 单 位 ： m） ，则 该 几 何 体 的 体 积 为 _ .3m
28、【 解 析 】 几 何 体 上 部 是 圆 锥 ， 下 部 是 圆 柱 ， 几 何 体 的 体 积 为 .210433pp+=m【 答 案 】320三 、 解 答 题29. （2014上海高考理科19）底面边长为 2 的正三棱锥 ,其表面展开图是三角形 ，如图，求 的各边长及此PABC321p321p三棱锥的体积 .V【解题指南】 ABC 是等边三角形可得角 P1,同理可得角 P2,P3 ，12,PB根 据 ， 共 线 ，根据P 1P2P3为特殊三角形可得结论.【解析】 1201 0101232313,664PABCBACABPV根 据 题 意 可 得 ， 共 线 ， ， ， 同 理 ，是 等
29、 边 三 角 形 ， 是 正 四 面 体 ；边 长 为 ；30. （2014上海高考文科19）底面边长为 2 的正三棱锥 ,其表面展开图是三角形 ，如图，求 的各边长及此PABC321p321p三棱锥的体积 .【解题指南】 ABC 是等边三角形可得角 P1,同理可得角 P2,P3 ，12,PB根 据 ， 共 线 ，根据P 1P2P3为特殊三角形可得结论.【解析】1201 0101232313,664PABCPBACAPBV根 据 题 意 可 得 ， 共 线 ， ， ， 同 理 ，是 等 边 三 角 形 ， 是 正 四 面 体 ；边 长 为 ；31.(2014陕 西 高 考 文 科 T17)(本
30、 小 题 满 分 12 分 )四 面 体 ABCD 及 其 三 视 图 如 图 所 示 ,平 行 于 棱 AD,BC 的 平 面 分 别 交 四 面 体 的 棱 AB,BD,DC,CA 于 点 E,F,G,H.(1)求 四 面 体 ABCD 的 体 积 .(2)证 明 :四 边 形 EFGH 是 矩 形 .【 解 题 指 南 】 (1)先 利 用 三 视 图 推 得 线 线 垂 直 ,进 而 得 AD 垂 直 于 面 BDC,确 定 四 面 体 的 高后 再 求 其 体 积 .(2)先 证 得 四 边 形 EFGH 为 平 行 四 边 形 ,再 证 得 此 平 行 四 边 形 的 邻 边 相
31、互 垂直 ,注 意 从 三 视 图 中 推 得 已 知 .【 解 析 】 (1)由 该 四 面 体 的 三 视 图 可 知 ,BD DC,BD AD,AD DC,BD=DC=2,AD=1,又 BD DC=D,所 以 AD 平 面 BDC.所 以 四 面 体 ABCD 的 体 积 V= 221= .(2)因 为 BC 平 面 EFGH,平 面 EFGH 平 面 BDC=FG,平 面 EFGH 平 面 ABC=EH,所 以 BC FG,BC EH,所 以 FG EH.同 理 EF AD,HG AD,所 以 EF HG,所 以 四 边 形 EFGH 是 平 行 四 边 形 .又 因 为 AD 平 面
32、 BDC,所 以 AD BC,所 以 EF FG,所 以 四 边 形 EFGH 是 矩 形 .32. (2014新 课 标 全 国 卷 高 考 文 科 数 学 T18)(本 小 题 满 分 12 分 )如 图 ,四 棱 锥 P-ABCD 中 ,底 面 ABCD 为 矩 形 ,PA 面 ABCD,E 为 PD 的 中 点 .(1)证 明 :PB 平 面 AEC.(2)设 AP=1,AD= ,三 棱 锥 P-ABD 的 体 积 V= ,求 A 到 平 面 PBC 的 距 离 .334【 解 题 提 示 】 (1)取 AC 的 中 点 ,构 造 中 位 线 ,利 用 线 线 平 行 证 明 线 面
33、平 行 .(2)通 过 转 换 顶 点 ,利 用 “等 体 积 法 ”求 点 到 平 面 的 距 离 .【 解 析 】 (1)设 AC 的 中 点 为 G,连 接 EG.在 三 角 形 PBD 中 ,中 位 线 EG PB,且 EG 在 平 面AEC 上 ,所 以 PB 平 面 AEC.(2)因 为 PA 面 ABCD,所 以 PA BC,PA 是 三 棱 锥 P-ABD 的 高 .设 x=AB,A 到 面 PBD 的 距 离为 h,因 为 VP-ABD= ,VP-ABD= S ABDPA= x1,所 以 x= ,34113232因 为 AB BC,PA BC,AB PA=A,所 以 BC 面 PAB,BC PB,BC 为 三 棱 锥 C-PAB 的 高 ,因 为 VP-ABC=VA-PBC,所 以 PAABBC=BCPBh,由 勾 股 定 理 解 得 PB2= ,所 以 h= ,1431所 以 ,A 到 面 PBC 的 距 离 为 .31关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块
