1、160 古典概型的概率19.(12 分)(2015 辽宁锦州一模 ,文 19,古典概型的概率,解答题)某幼儿园有教师 30 人,对他们进行年龄状况和受教育程度的调查,其结果如下:本科研究生合计35 岁以下 5 2 73550 岁(含 35 岁和 50岁) 17 3 2050 岁以上 2 1 3(1)从该幼儿园教师中随机抽取一人,求具有研究生学历的概率 ;(2)从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人, 求有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率.解:(1)设“从该幼儿园教师中随机抽取一人,具有研究生学历”为事件 A,由题可知幼儿园总共有教师 30人,其中“具有研究生学历
2、” 的共 6 人,则 P(A)= .630=15幼儿园教师中随机抽取一人,具有研究生学历的概率为 .15(2)设幼儿园中 35 岁以下具有研究生学历的教师用 1,2 表示 ,3550 岁( 含 35 岁和 50 岁)具有研究生学历的教师为 3,4,5,50 岁以上具有研究生学历的教师为 6,从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人,所有可能结果有 15 个,它们是:12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共有 15种抽法,其中全是 3550 岁(含 35 岁和 50 岁) 的结果有 3 种 ,分别为:34,35,45, 记“从幼儿园所
3、有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人,有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生”为事件 B,则 B 中的结果共有 15-3=12 个,故所求概率为 P(B)= .1215=4518.(12 分)(2015 河南开封二模 ,文 18,古典概型的概率,解答题)某种产品按质量标准分成五个等级,等级编号 x 依次为 1,2,3,4,5,现从一批产品中随机抽取 20 件,对其等级编号进行统计分析,得到频率分布表如下:x 12 3 45频率 a0.30.35bc(1)若所抽取的 20 件产品中,等级编号为 4 的恰有 2 件,等级编号为 5 的恰有 4 件,求 a,b,c 的值.(2)在(1)
4、的条件下,将等级编号为 4 的 2 件产品记为 x1,x2,等级编号为 5 的 4 件产品记为 y1,y2,y3,y4,现从 x1,x2,y1,y2,y3,y4,这 6 件产品中任取两件 (假定每件产品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率.解:(1)由频率分布表得 a+0.3+0.35+b+c=1,即 a+b+c=0.35. 抽取的 20 件产品中,等级编号为 4 的恰有 2 件, b= =0.1.220等级编号为 5 的恰有 4 件, c= =0.2.420 a=0.35-b-c=0.05.故 a=0.05,b=0.10,c=0.20.(2)从产品
5、 x1,x2,y1,y2,y3,y4中任取两件,所有可能的结果为:x 1,x2,x1,y1,x1,y2,x1,y3,x1,y4,x2,y1,x2,y2,x2,y3,x2,y4,y1,y2,y1,y3,y1,y4,y2,y3,y2,y4,y3,y4,共 15 个.设 A 表示“从 x1,x2,y1,y2,y3,y4,这 6 件产品中任取两件,这两件产品的等级编号恰好相同”,则 A 包含的基本事件为:x 1,x2,y1,y2,y1,y3,y1,y4,y2,y3,y2,y4,y3,y4,共 7 个,故所求概率为 P= .71518.(12 分)(2015 河南郑州一模 ,文 18,古典概型的概率,解
6、答题)在一个不透明的箱子里装有 5 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球.(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜( 若数字相同为平局),求甲获胜的概率;(2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于 6 则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?解:用(x ,y)(x 表示甲摸到的数字,y 表示乙摸到的数字) 表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)
7、,(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共 25 个.(1)事件 A 包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), 共有 10 个,则P(A)= .1025=25(2)设甲获胜的事件为 B,乙获胜的事件为 C.事件 B 所包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共有
8、 10 个,则P(B)= .1025=25所以 P(C)=1-P(B)=1- .25=35因为 P(B)P(C),所以这样规定不公平.12.(2015 河南商丘二模,文 12,古典概型的概率,选择题) 已知函数 f(x)= x3+ax2+b2x+1,若 a 是从 1,2,313三个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( )A. B. C. D.79 13 59 23解析:求导数可得 f(x)=x2+2ax+b2,要满足题意需 x2+2ax+b2=0 有两不等实根,即 =4(a2-b2)0,即 ab,又a,b 的取法共 33=9 种,其中满足
9、 ab 的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共 6 种,故所求的概率为P= .69=23答案:D161 古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)18.(12 分)(2015 辽宁大连一模 ,文 18,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),解答题)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号分别为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次,投中的次数统计如下表:学生1号2号3号4号5号甲班 6 5 7 9 8乙班 4 8 9 7 7(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定 (用数据说明)?(2)在本次
10、训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数 ,求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率.解:(1)两个班数据的平均值都为 7,甲班的方差 (6-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2=2,2甲 =15乙班的方差 (4-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2= ,2乙 =15 145因为 ,甲班的方差较小,所以甲班的投篮水平比较稳定.2甲 0,解得 k-1.54 14又点(1,1)应在已知圆的外部,把点代入圆方程得:1+ 1+k-2- k0,解得 k0.54则实数 k 的取值范围是 k-4 或- 1k0.则 k 的值使得过 A(1,1
11、)可以作两条直线与圆 x2+y2+kx-2y- k=0 相切的概率等于 P= .54 0-(-1)2-(-2)=14答案:B5.(2015 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文 8,与角度、长度有关的几何概型,选择题)实数 m 是0,6上的随机数,则关于 x 的方程 x2-mx+4=0 有实根的概率为( )A. B. C. D.14 13 12 23解析: 方程 x2-mx+4=0 有实根, 判别式 =m2-160. m-4 或 m 4 时方程有实根. 实数 m 是0,6 上的随机数, 区间长度为 6,4,6的区间长度为 2, 所求的概率为 P= .26=13答案:B164 与
12、面积、体积有关的几何概型8.(2015 辽宁锦州二模,文 8,与面积、体积有关的几何概型,选择题) 如图,将半径为 1 的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分) .现在往圆内任投一点 ,此点落在星形区域内的概率为( )A. -1 B.4 1C.1- D.1 2解析:将图形平均分成四个部分 ,则每个图形空白处的面积为 2 =2 -1,阴影(14-1211) (4-12)=2部分的面积为 12-4 =4-, 根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为(2-1)-1.4-=4答案:A5.(2015 辽宁锦州一模,文 5,与面积、体积有关的几何概型,选择题) 如图,矩形 A
13、BCD 中,点 E 为边 CD的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自 ABE 内部的概率等于( )A. B. C. D.14 13 12 23解析:由几何概型的计算方法 ,可以得出所求事件的概率为 P= .矩形 =0.5=12答案:C15.(2015 辽宁重点中学协作体模拟 ,文 15,与面积、体积有关的几何概型,选择题) 将一个质点随机投放在关于 x,y 的不等式组 所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的3+419,1,1 距离均不小于 1 的概率是 . 解析:画出关于 x,y 的不等式组 所构成的三角形区域,如图.3+419,1,1 三角形 ABC 的面积为 S1= 34=6,离三个顶点距离都不大于 1 的地方的面积为 S2= ,12 12所以其恰在离三个顶点距离都不小于 1 的地方的概率为 P=1- =1- .26 12答案:1-12
