1、87 空间向量的坐标表示、运算及应用1空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组_，使得_其中，a，b，c 叫做空间的一个_，a，b，c 都叫做_2空间直角坐标系(1)如果空间的一个基底的三个基向量_，且长都为 _，则这个基底叫做单位正交基底，常用i， j，k来表示(其中|i| j| |k|1) (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 ，以 O 为原点，分别以 i，j，k 的方向为正方向建立三条i， j， k数轴：_，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，点O 叫做原点，向量 i，j，k 都叫做坐标向量通过每两个坐标
2、轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、 zOx 平面(3)建系时，一般使xOy 135(或 45)，yOz90，建立 _手直角坐标系(4)在空间直角坐标系中有一点 A，若 xi yjzk，则有序实数组_叫做点 A 在此空间直角坐标OA 系中的坐标，记作_其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的_3空间向量的直角坐标运算设 a(x 1，y 1，z 1)，b(x 2，y 2，z 2)，a，b 是非零向量，则(1)向量加法：ab_(2)向量减法：ab_(3)数乘：a_(4)数量积：ab _ (5)平行：ab(b0)_x 1x 2，_，_ (6
3、)垂直：ab_(7)向量 a 的模 _|a|(8)向量 a 与 b 夹角公式：cos a，b _ab|a|b|(9)点坐标和向量坐标：若点 A(x1，y 1，z 1)，B (x2，y 2，z 2)，则 _，线段 AB 的长度AB dAB _|AB |4直线的方向向量(1)与直线 l_的非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量(2)空间中任意一条直线 l，可以通过 l 上的一个定点 A 和 l 的一个方向向量 a 来确定设点 P 是 l 上的任意一点，则 l 有向量表示形式_ ，其中 t 为实数，这种形式叫做直线的点向式注意同一条直线的点向式表示不唯一5平面的法向量和法向量的求法(1)平面的法向量
4、已知平面 ，直线 l，取直线 l 的方向向量 a，则_ 叫做平面 的法向量(2)平面的法向量的求法设出平面的法向量为 n(x，y，z) ；找出(求出) 平面内的两个不共线的向量的坐标 a(a 1，b 1，c 1)，b( a2，b 2，c 2)；根据法向量的定义建立关于 x，y，z 的方程组Error!；解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有_个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量6利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角设直线 l，m 的方向向量为 a，b，平面 ， 的法向量分别为 u，v，则(1)线线平行：l m _(2)线线垂直：l m _(3)线面平
5、行：l _ _(4)线面垂直，方法一：l _；方法二：若 e1，e 2为平面 的一组基底，则l ae 1a e20.a e1，a e2)(5)面面平行：_(6)面面垂直：_(7)线线夹角：l ，m 的夹角为 ，cos Error!(0 2)(8)线面夹角：l ， 的夹角为 ，sin Error!(0 2)(9)面面夹角：， 的夹角为 ，cos Error!(0 2)注意：(1)这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合；(2) 这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即 0 ，而二面角的大小是指两个半平面的张开程2度，这可以用其平面角 的大小来定义
6、，它的取值范围为_，若设 u，v 的夹角为 ，当 u，v 均指向二面角内部或外部时(如图 1)，二面角的大小为 ，cos cos( )cos ；当uv|u|v|u，v 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时( 如图 2)，二面角的大小为 ，cos cos .uv|u|v|7距离(1)点到直线的距离设过点 P 的直线 l 的方向向量为单位向量 n，A 为直线 l 外一点，点 A 到直线 l 的距离 d_( 如图 3)图 3 图 4 (2)点到平面的距离设 P 为平面 内的一点，n 为平面 的法向量，A 为平面 外一点，点 A 到平面 的距离 dError!(如图4)(3)线面距离、面面距离都可以
7、转化为_自查自纠1. px ay bzc 基底 基向量x， y， z2(1)两两垂直 1 (2) x 轴，y 轴，z 轴 (3)右(4)(x，y，z) A (x，y，z) 竖坐标3(1)(x 1x 2，y 1y 2，z 1z 2)(2)(x1x 2，y 1y 2，z 1z 2)(3)(x1， y1， z1) (4) x1x2y 1y2z 1z2(5)ab y 1 y2 z 1z 2(6)ab 0 x 1x2y 1y2z 1z20(7) aa(8)(9)(x2x 1，y 2y 1，z 2z 1)（x2 x1）2 （y2 y1）2 （z2 z1）24(1)平行且非零 (2) taAP 5(1)向量
8、 a (2) 无数na a1x b1y c1z 0，nb a2x b2y c2z 0)6(1)ab akb，kR (2) ab ab0(3)au au 0 (4) au ak u，k R(5)uv uk v，k R (6) uv u v0(7) (8) (9) 0|ab|a|b| |au|a|u| |uv|u|v|7(1) (2) (3)点到面的距离|PA |2_|PA n|2 |PA n|n|(2017 枣阳市第一中学月考 )已知平面 ， 的法向量分别为 n1(2 ，3，5)，n 2(3，1，4) ，则( )A B C ， 相交但不垂直 D以上均不对解：因为 n1n2，且 n1n22( 3)
9、315(4) 230，所以 ， 不平行，也不垂直故选 C.(2017 秭归县第一高级中学月考 )已知 A(1，0，0) ，B (0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( )A(1，1，1) B(1，1，1)C. D.( 33， 33， 33) ( 33， 33， 33)解：设 n(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，则 化简得 所以 xyz.故选 C.nAB 0，nAC 0，) x y 0， x z 0，)(2017 宜昌市第二中学月考)已知 a(2 ，1，3)，b (1，2，3)，c(7 ，6， )，若 a，b，c 三向量共面，则 ( )A9 B9 C3 D3
10、解：由题意知 cx ay b，即 (7，6， )x(2，1，3) y(1，2，3)，所以 解得 9.故选2x y 7，x 2y 6， 3x 3y ，)B.(2015哈尔滨质检)已知空间中三点 A(1，0，0) ，B (2，1，1)，C(0，1，2)，则点 C 到直线 AB 的距离为_解： (1 ，1，1)， (1，1，2) ，cos ， ，所以 sin ， AB AC AB AC AB AC |AB |AC | 43 6 223 AB AC ，所以点 C 到直线 AB 的距离 d| |sin ， .故填 .13 AC AB AC 63 63(2017 大连市金州区高级中学月考)如图所示，在三棱
11、柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面ABC，ABBCAA 1，ABC 90，点 E，F 分别是棱 AB，BB 1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是_解：以 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB 1 为 z 轴，建立空间直角坐标系设 ABBCAA 12，则 C1(2，0，2)，E(0 ，1，0)，F(0，0，1) ，则 (0 ，1，1)， (2，0，2) ，所以 2，EF BC1 EF BC1 所以 cos ， ，EF BC1 2222 12所以 EF 和 BC1 所成的角为 60.故填 60.类型一 空间向量坐标的基本运算已知 a(1，5，1)，b(2，3，5) (1)若(
12、kab) ( a3b)，求实数 k 的值；(2)若(kab) ( a3b)，求实数 k 的值解：kab(k2，5k 3， k5) ，a3b(7，4，16)(1)因为(kab)( a3b)，所以 ，解得 k .k 27 5k 3 4 k 5 16 13(2)因为(kab)( a3b)，所以(k 2)7(5k 3)(4) (k5)( 16)0，解得 k .1063【点拨】利用向量平行的性质：ab(b0) abx 1x 2，y 1 y2，z 1z 2 可求解第(1) 问的 k 值；利用向量垂直的性质：abab0x 1x2y 1y2z 1z20 建立方程可求第(2)问的 k 值已知空间三点 A( 2，
13、0，2) ，B(1，1，2)，C(3，0，4) ，设 a ，b .AB AC (1)若|c| 3 且 c ，求 c；BC (2)求 a 和 b 的夹角的余弦值；(3)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k 的值解：(1)因为 ( 2，1，2) ，c ，BC BC 所以 cm m (2，1， 2)(2m ，m，2m)(m R)BC 所以|c| 3|m |3，m 1.（ 2m）2 （ m）2 （2m）2所以 c(2，1，2)或 c(2 ，1，2)(2)因为 a(1 ， 1，0)，b( 1，0，2) ，所以 ab(1 ，1，0)(1，0 ，2) 1.又|a | ，|b| ，12 12 02 2
14、（ 1）2 02 22 5所以 cosa，b .ab|a|b| 110 1010故 a 和 b 的夹角的余弦值为 .1010(3)由(2)知|a| ，|b| ，a b1.2 5所以(ka b)( ka2b)k 2a2 kab2b 22k 2k 100，解得 k2 或 k .52类型二 空间两直线的平行与垂直设 a，b 是不相交的两条直线 l1，l 2 的方向向量，试判断下列各条件下两条直线 l1，l 2 的位置关系：(1)a ，b ；(2， 1， 3) ( 1， 12， 32)(2)a ，b ；(5， 0， 2) (1， 3，52)(3)a ，b .( 2， 1， 4) (3， 2， 1)解：
15、(1)由 a 2 2b，得 ab，又两条直线 l1，l 2 没有交点，所以 l1l 2.(2， 1，3) ( 1，12， 32)(2)由于 ab5 1032 0，所以 ab，从而 l1l2.52(3)由 a ，b 可知，不存在任何实数 ，使 ab，且 ab0，则这两条直线 l1，l 2 不相( 2，1，4) (3，2， 1)交、不平行也不垂直，故两条直线 l1，l 2 是不垂直的异面直线【点拨】先考查两个方向向量是否平行或者垂直，将空间几何问题代数化，用直线的方向向量之间的计算代替传统的空间几何推理，这是空间向量的最基本的作用，使用得当非常简便(2017 十堰市第五中学月考 )在空间直角坐标系
16、中，以点 A(4，1，9)，B(10 ，1，6)，C(x，4，3)为顶点的ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数 x 的值为_解：由题意知 0，| | |，又 (6，2，3) ， (x4，3，6)，所以AB AC AB AC AB AC 解得 x2.故填 2.6（x 4） 6 18 0，（x 4）2 4， )类型三 直线和平面的平行与垂直(2017 十堰市第一中学月考 )如图，在多面体 ABCA1B1C1 中，四边形 A1ABB1 是正方形，AB AC，BC AB，B 1C1 BC，二面角 A1ABC 是直二面角求证：212(1)A1B1平面 AA1C；(2)AB1平面 A1C1C
17、.证明：因为二面角 A1ABC 是直二面角，四边形 A1ABB1 为正方形，所以 AA1平面 BAC.又因为 ABAC ，BC AB，2所以CAB90，即 CAAB，所以 AB，AC， AA1 两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设 AB2，则 A(0，0，0)，B 1(0，2，2)，A1(0，0，2) ， C(2，0，0)，C 1(1，1，2)(1) (0，2，0)， (0，0，2)， (2，0，0)，A1B1 A1A AC 设平面 AA1C 的一个法向量 n(x，y，z)，则 即 即nA1A 0，nAC 0，) 2z 0，2x 0，) x 0，z 0.)取 y1，则 n(0
18、，1，0)所以 2n，即 n.A1B1 A1B1 所以 A1B1平面 AA1C.(2)易知 (0，2，2)， (1 ，1，0)， (2，0，2) ，AB1 A1C1 A1C 设平面 A1C1C 的一个法向量 m(x 1，y 1，z 1)，则 即mA1C1 0，mA1C 0，) x1 y1 0，2x1 2z1 0，)令 x11，则 y11，z 11，即 m(1 ，1，1)所以 m0 12(1)210，AB1 所以 m.又 AB1平面 A1C1C，AB1 所以 AB1平面 A1C1C.【点拨】用向量证明直线与平面平行，可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，也可以通过证明直线的方向
19、向量与平面的法向量垂直，当然，直线要在平面外用向量证明直线和平面垂直，可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直，也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行(2015安徽淮南二模) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC AA 13，BC 2，D 是 BC 的中点，F是 CC1 上一点，且 CF2.(1)求证：B 1F平面 ADF；(2)若 ，求证：PF平面 ADB1.C1P 13C1A1 证明：因为 ABAC，D 是 BC 的中点，所以 ADBC，取 B1C1 的中点 D1，则 DD1平面 ABC，分别以CB，AD，DD 1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立
20、空间直角坐标系，因为 ABACAA 13，BC 2，所以A(0， 2 ，0) ，B (1，0，0) ，C(1，0，0)，A 1(0，2 ，3) ，B 1(1，0，3)，C 1(1，0，3) ，因为2 2CF2，所以 F(1，0，2) (1) (2，0，1)， (0 ，2 ，0) ， (1，0，2)，因为 0， 0，所以 B1FB1F DA 2 DF B1F DA B1F DF 平面 ADF.(2)因为 (1，2 ，0) ，C1P 13C1A1 13 2 (13， 223，0)所以 P ，所以 .( 23， 223，3) PF ( 13，223， 1)设平面 ADB1 的法向量为 n(x 0，y
21、 0，z 0)，则有nDA 0，nAB1 0，) 22y0 0，x0 22y0 3z0 0，)取 z01，则 n( 3，0，1)因为 n0，PF平面 ADB1，所以 PF平面 ADB1.PF 类型四 平面和平面的平行与垂直(2015安阳模拟)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，E ，F 分别为棱AD，PB 的中点，且 PDAD .求证：平面 CEF平面 PBC.证明：建立如图所示空间直角坐标系，则 A(1，0，0) ，P(0，0，1)，C(0，1，0) ，B(1，1，0)，E ，F(12，0，0)，设平面 CEF 的一个法向量为 n1(x，y，z)，(12，
22、12，12)则 得n1EF 0，n1EC 0，) 12y 12z 0， 12x y 0，)取 x1，则 n1 .(1，12， 12)同理求得平面 PBC 的一个法向量为 n2 .(0，12，12)因为 n1n210 0，12 12 12 12所以 n1n2.所以平面 CEF平面 PBC.【点拨】利用空间向量证明面面垂直的基本方法：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC 90，BC2，CC 14，点 E 在线段 BB1 上，且EB11 ，D，F，G 分别为 CC1，C 1
23、B1，C 1A1 的中点(1)求证：平面 A1B1D平面 ABD；(2)求证：平面 EGF平面 ABD.证明：以 B 为坐标原点，BA，BC，BB 1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0， 0， 0)，D (0，2，2)，B 1(0，0，4) ，E(0，0，3)，F(0，1，4)设 BAa，则 A(a，0，0)，G ，A 1(a，0，4)(a2，1，4)(1)因为 (a，0，0)， (0 ，2，2)， (0 ，2，2)，BA BD B1D 所以 0， 0.B1D BA B1D BD 所以 ， ，即 B1DBA，B 1DBD.B1D BA B1D BD 又 BAB
24、D B，所以 B1D面 ABD.因为 B1D面 A1B1D，所以平面 A1B1D平面 ABD.(2)因为 ， (0，1，1) ， (0，2，2) ，EG (a2，1，1) EF B1D 所以 0， 0.B1D EG B1D EF 所以 B1DEG，B 1DEF.因为 EGEFE，所以 B1D平面 EGF.又由(1)知 B1D平面 ABD，所以平面 EGF平面 ABD.类型五 空间距离(2017 宜昌市夷陵中学月考 )设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，则点 D1 到平面 A1BD 的距离是( )A. B. C. D.32 22 223 233解：如图建立坐标系则 D1(0，0，2
25、)，A 1(2，0，2)，B(2，2，0)， (2 ，0，0)， ( 2，2，0)，D1A1 DB (2 ，0， 2)，DA1 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y ，z )，则 所以nDA1 0，nDB 0，) 2x 2z 0，2x 2y 0.)令 z1，得 n (1，1，1)所以 D1 到平面 A1BD 的距离 d .故选 D.|D1A1 n|n| 23 233【点拨】利用空间向量求距离的基本方法：(1)两点间的距离设点 A(x1，y 1，z 1)，点 B(x2， y2，z 2)，则| AB| | .AB （x1 x2）2 （y1 y2）2 （z1 z2）2(2)点到平面的距离如图所
26、示，已知 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离为| | .BO |AB n|n|在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是 AA1 的中点，则点 A1 到平面 MBD 的距离是( )A. a B. a C. a D. a66 306 34 63解：以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD 1 所在射线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0) ，B(a，a，0)，M ，A 1(a，0，a)(a，0，a2)所以 ( a，0，a) ， ， .DA1 BM (0， a，a2) DM (a，0，a2)设 n(x，y，z )为平
27、面 MBD 的一个法向量，则 即nBM 0，nDM 0，) ay a2z 0，ax a2z 0. )取 z1，则 n .( 12，12，1)所以点 A1 到平面 BDM 的距离 d a.|DA1 n|n| 66故选 A.类型六 空间角(1)(2015天津)如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 A1A底面ABCD，ABAC ，AB1，AC AA 12，AD CD ，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点5()求证：MN平面 ABCD；()求二面角 D1ACB1 的正弦值；()设 E 为棱 A1B1 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段 A
28、1E 的长13解：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0，0，0) ，B(0，1，0)，C(2，0，0) ，D(1，2，0) ，A 1(0，0，2)， B1(0，1，2) ，C 1(2，0，2)， D1(1，2，2)因为 M，N 分别为 B1C 和 D1D 的中点，所以 M ，N (1， 2，1)(1，12，1)()证明：依题意，可得 n(0，0，1) 为平面 ABCD 的一个法向量， ，MN (0， 52，0)由此可得 n0.又因为直线 MN平面 ABCD，MN 所以 MN平面 ABCD.() (1，2，2)， (2，0，0)设 n1( x1，y 1， z1)为平面 AC
29、D1 的一个法向量，则 即AD1 AC n1AD1 0，n1AC 0，)不妨设 z11，可得 n(0 ，1，1)x1 2y1 2z1 0，2x1 0. )设 n2(x 2，y 2，z 2)为平面 ACB1 的一个法向量，则 由 (0，1，2)，得 不妨设n2AB1 0，n2AC 0，) AB1 y2 2z2 0，2x2 0. )z21，可得 n2(0 ，2，1) 因此有 cosn 1，n 2 ，于是n1n2|n1|n2| 1010sinn 1，n 2 .31010所以二面角 D1ACB1 的正弦值为 .31010()依题意，可设 ，其中 0，1 ，则 E(0， ，2)，从而 (1， 2，1)
30、又 n(0，0，1)A1E A1B1 NE 为平面 ABCD 的一个法向量，所以 cos ，n ，解得 2.又NE NE n|NE |n| 1（ 1）2 （ 2）2 12 13 7因为 0，1，所以 2.7所以线段 A1E 的长为 2.7【点拨】(1)当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行(2) 求二面角的正弦值，可分三步，第一步：求出两个平面的法向量；第二步：求出两个法向量夹角的余弦值；第三步：由二面角范围0，知正弦值为正，由余弦值可得正弦值(3)直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，则直线 NE 的方向向量13与平面 ABCD 的法向量的夹角余弦值为 ，由此确定点
31、 E 的位置NE 13(2)(2017全国卷)如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD CBD ，AB BD.()证明：平面 ACD平面 ABC；()过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值解：() 证明：由题设可得ABDCBD，从而 ADDC，又ACD 是直角三角形，所以ADC90，取 AC 的中点 O，连接 DO，BO，则 DOAC，DOAO.又由于DOB 为二面角 DACB 的平面角在 RtAOB 中，BO 2AO 2AB 2，又 ABBD ，所以 BO2DO 2BO 2
32、AO 2AB 2BD 2，故DOB 90.所以平面 ACD平面 ABC.()由题意可知 VDACEV BACE，即 B，D 到平面 ACE 的距离相等，即 E 为 BD 的中点，以 O 为原点， 为 x 轴正方向， 为 y 轴正方向， 为 z 轴正方向，设| AC|a，建立空间直角坐标系，OA OB OD 则 O(0，0，0)，A ， D ，B ，E .(a2，0，0) (0，0，a2) (0，32a，0) (0，34a，a4)易得： ， ， ，设平面 AED 的法向量为 n1，平面 AEC 的法向量AE ( a2，34a，a4) AD ( a2，0，a2) OA (a2，0，0)为 n2，则
33、 可取 n1( ，1， )，AE n1 0，AD n1 0，) 3 3可取 n2(0，1， )，AE n2 0，OA n2 0，) 3设二面角 DAEC 为 ，易知 为锐角，则 cos .|n1n2|n1|n2| 77【点拨】(1)在空间直角坐标系中，因为两条异面直线的夹角与它们的方向向量的夹角是相等或互补的，所以可以通过求出两方向向量的夹角 (0 ，) 来求两异面直线的夹角 ，但要注意 与 的区别与联系，这里 cos|cos |.(2)因为二面角的大小与它们的法向量的夹角是相等或者互补的关系，所以可通过它们的法向量的夹角来求二面角的大小(1)(2016天津)如图，正方形 ABCD 的中心为
34、O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB BE 2.()求证：EG 平面 ADF；()求二面角 OEFC 的正弦值；()设 H 为线段 AF 上的点，且 AH HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值23解：依题意，OF平面 ABCD，如图，以 O 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向AD BA OF 建立空间直角坐标系，可得 O(0，0，0)，A( 1，1，0)， B(1，1，0)，C(1，1，0)，D (1，1，0)，E( 1， 1，2)，F(0，0，2)，G (1，0，0) ()证明： (2，0，0)
35、， (1，1，2) AD AF 设 n1(x 1，y 1，z 1)为平面 ADF 的法向量，则 即n1AD 0，n1AF 0，) 2x1 0，x1 y1 2z1 0.)不妨设 z11，可得 n1(0 ，2，1)，又 (0，1，2)，可得 n10，又因为直线 EG平面 ADF，所以EG EG EG平面 ADF.()易证 (1，1，0)为平面 OEF 的一个法向量OA (1 ，1，0)， (1，1，2) EF CF 设 n2(x 2，y 2，z 2)为平面 CEF 的法向量，则 即n2EF 0，n2CF 0，) x2 y2 0， x2 y2 2z2 0.)不妨设 x21，可得 n2(1， 1，1)
36、 因此有 cos ，n 2 ，OA OA n2|OA |n2| 63于是 sin ，n 2 .OA 33所以，二面角 OEFC 的正弦值为 .33()由 AH HF，得 AH AF.23 25因为 (1 ，1，2)，所以 ，AF AH 25AF (25， 25，45)进而有 H ，从而 ，( 35，35，45) BH (25，85，45)因此 cos ，n 2 .BH BH n2|BH |n2| 721所以直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 .721(2)(2017江苏)如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中， AA1平面 ABCD，且AB AD2，AA 1 ，BAD120
37、.3()求异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值；()求二面角 BA1DA 的正弦值解：在平面 ABCD 内，过点 A 作 AEAD，交 BC 于点 E.因为 AA1平面 ABCD，所以 AA1AE，AA 1AD.如图建立空间直角坐标系 Axyz.因为 ABAD 2，AA 1 ， BAD120，则 A(0，0，0)，B( ，1，0)，D(0 ，2，0)，E( ，0，0)，3 3 3A1(0，0 ， )，C 1( ，1， )，3 3 3() ( ，1， )， ( ，1， )，A1B 3 3 AC1 3 3则 cos ， A1B AC1 A1B AC1 |A1B |AC1 | .（3， 1，
38、 3）（3，1，3）7 17因此异面直线 A1B 与 AC1 所成角的余弦值为 .17()平面 A1DA 的一个法向量为 ( ，0，0)AE 3设 m(x，y，z)为平面 BA1D 的一个法向量，又 ( ，1， )， ( ，3，0)A1B 3 3 BD 3则 则mA1B 0，mBD 0，) 3x y 3z 0， 3x 3y 0. )不妨取 x3，则 y ，z2，所以 m(3， ，2)为平面 BA1D 的一个法向量，3 3从而 cos ，m .AE AE m|AE |m| （3，0，0）（3，3，2）34 34设二面角 BA1DA 的大小为 ，则|cos | .34因为 0，所以 sin .1
39、cos274因此二面角 BA1DA 的正弦值为 .741在涉及正方体、长方体、直棱柱等几何体时，通过建立空间直角坐标系，实现向量的坐标运算解决几何问题简便有效，具体步骤为：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求相关点的坐标；(3)表示向量的坐标；(4)向量的坐标运算；(5)根据运算结果的几何意义表述有关问题2通过空间向量的坐标运算可解决立体几何中平行与垂直等位置关系问题，利用数量积可计算空间角和距离等问题，要注意空间角与向量夹角之间的区别和联系，求距离往往利用公式 计算，也|a| aa x2 y2 z2可利用 (e 为单位向量， 为 a，e 的夹角)来求一个向量在另一条直线上的射影长|ae|
40、 |a|cos |3用向量方法证明空间中的平行关系(1)线线平行证明两直线的方向向量平行(2)线面平行证明线面平行有三种方法：一是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；二是在平面内找一向量与直线的方向向量共线；三是证明直线的方向向量可以利用平面中的两不共线向量线性表示(3)面面平行证明面面平行有两种方法：一是证明两个平面的法向量平行；二是转化为线面平行、线线平行问题4用向量方法证明空间中的垂直关系(1)线线垂直证明两直线的方向向量垂直(2)线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行根据线面垂直的判定定理，转化为证直线与平面内的两条相交直线垂直的问题(3)面面垂直根据面面垂直的判定定理，转化为
41、证相应的线面垂直、线线垂直的问题证明两个平面的法向量互相垂直5用向量方法求空间角(1)两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求，但二者不完全相同，两异面直线所成角的取值范围是 ，而两向量所成角的取值范围是0，所以当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补(0， 2角作为两异面直线所成的角(2)利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角) 注意：直线与平面所成角的取值范围是 .0， 2(3)利用空
42、间向量求二面角，也可以有两种方法：分别在二面角 l 的面 ， 内，沿 ， 延伸的方向作向量 n1l，n 2l ，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；通过法向量求解设 m1 ，m 2，则两向量的夹角与该二面角相等或互补注意：二面角的取值范围是0，6空间距离空间中的距离有：点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、线到线的距离、线到面的距离、面到面的距离求距离的一般步骤是：一作作出表示距离的线段；二证证明它就是所要求的距离；三算计算其值(1)求空间中点到点的距离，可以利用两点间的距离公式，或转化为解三角形(2)利用三棱锥的底面与顶点的转换，可求三棱锥的高，即用等体积法求点到面的距离(3)空间中的各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，若用向量方法求空间距离，则点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面
