1、第 16 讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.2018全国卷 设椭圆 C: +y2=1 的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点 M 的坐标为(2,0).(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;(2)设 O 为坐标原点 ,证明:OMA= OMB.试做 2.2016全国卷 已知椭圆 E: + =1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA NA.(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围.试做 3.2013全国
2、卷 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: + =1(ab0)右焦点的直线 x+y- =0交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 .(1)求 M 的方程 ;(2)C,D 为 M 上两点 ,若四边形 ACBD 的对角线 CDAB,求四边形 ACBD 面积的最大值.试做 命题角度 圆锥曲线中的证明、范围与最值问题(1)解析几何证明题综合性较强,一般涉及位置关系、范围、定值、定点等 ,常用方法为: 证明两直线平行或垂直的方法:a.若两直线的斜率均存在且两直线不重合,则一定有 l1l 2k1=k2;b.若两直线斜率均存在,则一定有 l1l 2k1k2=-1. 解决直线与圆
3、锥曲线位置关系的证明问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,得到一元二次方程,然后应用根与系数的关系建立方程(组), 解决问题.(2)求解范围问题的常见方法: 利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; 利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系; 利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; 利用基本不等式求出参数的取值范围; 利用函数的值域求范围.(3)求圆锥曲线面积的最值问题的方法: 转化为面积与某参量的函数,利用函数的性质求最值; 得到关于面积的关系式后,利用基本不等式或求导求最值; 结合圆锥曲线的几何
4、性质求最值.解答 1 最值问题1 已知 P 为椭圆 C: + =1 长轴上的一个动点,过点 P 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点,点 M 在第一象限,且 3 + =0.(1)若点 N 为 C 的下顶点,求点 P 的坐标;(2)若 O 为坐标原点 ,当OMN 的面积最大时,求点 P 的坐标.听课笔记 【考场点拨】求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键:(1)公式意识,把求三角形的面积转化为求距离、求角等;(2)方程思想,即引入参数,寻找关于参数的方程;(3)不等式意识,寻找关于参数的不等式,利用基本不等式等求最值 .【自我检测】已知抛物线 C:y=-x2,点 A,B 在抛物线上,且横坐标分别为
5、- , ,点 P 在曲线段 AB 上( 不包括点 A,B),过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q.(1)求直线 AP 的斜率 k 的取值范围;(2)求|PA| |PQ|的最大值.解答 2 范围问题2 已知椭圆 E: + =1(ab0)的焦距为 2c,且 b= c,圆 O:x2+y2=r2(r0)与 x 轴交于点M,N,P 为椭圆 E 上的动点,|PM|+|PN|= 2a,PMN 面积的最大值为 .(1)求圆 O 与椭圆 E 的方程;(2)设圆 O 的切线 l 交椭圆 E 于点 A,B,求|AB|的取值范围.听课笔记 【考场点拨】圆锥曲线的范围问题的常见解法:(1)几何法:若题目中的条件和
6、结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等,则可利用这些关系去求参数的范围.【自我检测】已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,ABC 的三个顶点都在抛物线上,且 + = .(1)求 B,C 两点的纵坐标之积;(2)设 = ,求 的取值范围 .解答 3 证明问题3 已知椭圆 G: + =1 的左焦点为 F,左顶点为 A,离心率为 e,点 M(t,0)(t0.当 t=4 时,椭圆 E 的方程为 + =1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 ,因此直线 AM
7、 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入 + =1 得 7y2-12y=0,解得 y=0 或 y= ,所以 y1= .因此AMN 的面积 SAMN=2 = .(2)由题意知 t3,k0,A(- ,0).将直线 AM 的方程 y=k(x+ )代入 + =1 得2(3+tk2)x2+2 tk2x+t2k2-3t=0.由 x1(- )= 得 x1= ,故|AM|=|x 1+ | = .由题设知,直线 AN 的方程为 y=- (x+ ),故同理可得|AN|= .由 2|AM|=|AN|得 = ,即(k 3-2)t=3k(2k-1).当 k= 时上式不成立,因此 t= .t3 等价于 = 0,得 3
8、m2-n2+40.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2= .由 3 + =0 得 y2=-3y1,所以 y1= ,y2= .因为 y1y2= ,所以 = ,得 n2= .OMN 的面积 S= |n|y1-y2|= = = = ,当且仅当 m2= 时等号成立,此时n2= = ,满足 0.又因为 x1=my1+n= n0,所以 n= ,故当 OMN 的面积最大时,点 P 的坐标为.【自我检测】解:(1)由题可知 A ,B ,设 P(xP,- ),- 0,当- 0,设 A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),则 x1+x2=- ,x1x2= .|AB|= =4 = = .令
9、 t= ,则 0 , p=1,故抛物线 C 的方程为 x2=2y.(2)证明:由(1)知 y0= ,由 得 4x2-16x-9=0,解得 x1=- ,x2= , |AF|= =5 .设 P m- 且 m ,则 M 的横坐标为 m, |AM|= .由题可知直线 PN 的方程为 y- =- (x-m),与 y=2x+ 联立, 可得 xN= , |AN|= = ,则 =5 ,故 =|AF|.|2oMa| |2oMa|备选理由 例 1 为考查点到直线的距离的最值问题 ,本题的难点在于转化条件得到动点 P 的轨迹,对于四边形 ABCD 的面积为 2 的转化,最好是把这个四边形的面积分成两个三角形的面积来
10、求解;例 2 为考查向量数量积的取值范围的问题 ,是求圆锥曲线中范围问题的巩固训练; 例3 的本质是证明线段相等,涉及椭圆的轨迹问题,运算量大,字母量多,综合考查学生的推理能力、运算求解能力.例 1 配例 1 使用 已知椭圆 M: + =1(ab0)的离心率为 ,A,B 分别为 M 的右顶点和上顶点,且|AB|= .(1)求椭圆 M 的方程 ;(2)若 C,D 分别是 x 轴负半轴、y 轴负半轴上的点,且四边形 ABCD 的面积为 2,设直线 BC 和AD 的交点为 P,求点 P 到直线 AB 的距离的最大值.解:(1)由 = ,c2=a2-b2,得 a=2b.c又|AB|= = ,所以 b=
11、1,a=2.所以椭圆 M 的方程为 +y2=1.(2)设 P(x0,y0),C(s,0),D(0,t),其中 s|BC|,所以点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆.设点 A 的轨迹方程为+ =1(y0,ab0),则 2a=6,2c=3 ,所以 a=3,c= ,所以 b2=a2-c2= ,所以点 A 的轨迹方程为 + =1(y0).设 T(x,y),因为点 T 在线段 AO 上,且|AT|=2|TO|,所以 A(3x,3y),代入 + =1,整理可得点 T 的轨迹 E 的方程是 x2+2y2=1(y0).(2)证明:设 M(m,0)(m0),由|OM|ON|=1 得 N ,设 Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3).由题意,直线 QM不与坐标轴平行,k QM= ,直线 QM 的方程为 y= (x-m).与椭圆 E 的方程联立,消去 y,并结合+2 =1,整理得(m 2+1-2mx1)x2-2m(1- )x+(2mx1- -m2 )=0,所以 x1x2= .同理 x1x3= =x1x2,所以 x2=x3 或 x1=0.当 x2=x3 时,PRx 轴,当 x1=0 时,x 2= ,x3= = =x2,PRx 轴.若 PRx 轴,则由椭圆的对称性知,|MP|=|MR|,所以MPR 是等腰三角形.
