1、第 16讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.2013全国卷 已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程;(2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线 ,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时, 求 |AB|.试做 命题角度 圆锥曲线的最值问题常用的方法有三种:一是转化为函数的最值问题,先引入变量,再构建函数, 然后去求值域;二是转化为基本不等式问题,利用已知或者隐含的不等关系,构建不等式求解;三是数形结合, 利用圆锥曲线的几何意义求解 .2.2016全国
2、卷 已知 A 是椭圆 E: + =1 的左顶点,斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A,M 两点,点2423N 在 E 上, MA NA.(1)当 |AM|=|AN|时,求 AMN 的面积 ;(2)当 2|AM|=|AN|时,证明: 0).(1)证明: kb0)的一个焦点,点 P(0,2)在椭圆短轴2222CD 上,且 =-1.(1)求椭圆 C2的方程;(2)设 Q 为椭圆 C2上的一个不在 x 轴上的动点, O 为坐标原点,过椭圆的右焦点 F2作 OQ 的平行线,交 C2于 M,N 两点,求 QMN 面积的最大值 .听课笔记 【考场点拨】求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键:(1)公式意识,把
3、求三角形的面积转化为求距离、求角等 ;(2)方程思想,即引入参数,寻找关于参数的方程;(3)不等式意识,寻找关于参数的不等式 ,利用基本不等式等求最值 .【自我检测】如图 M5-16-1,已知 ABC 的三个顶点都在椭圆 : + =1(a0,b0)上, 且椭圆 的中心 O 和2222右焦点 F 分别在 ABC 的边 AB,AC 上,当 A 点在椭圆的短轴端点时,图 M5-16-1原点 O 到直线 AC 的距离为 a.12(1)求椭圆 的离心率;(2)若 ABC 面积的最大值为 2 ,求椭圆 的方程 .2解答 2范围问题2 已知 F1,F2分别是椭圆 +y2=1 的左、右焦点 .24(1)若 P
4、 是第一象限内该椭圆上一点,且 =- ,求 P 点坐标;1 254(2)设过定点 M(0,2)的直线与椭圆交于不同两点 A,B,且 AOB 为锐角( O 是坐标原点), 求直线的斜率 k 的取值范围 .听课笔记 【考场点拨】圆锥曲线的范围问题的常见解法:(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等,则可利用这些关系去求参数的范围 .【自我检测】已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点且与此抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, |AB
5、|0)的焦点,直线 l 交抛物线于 A,B 两点且与 x轴交于点 M(m,0)(m0).(1)求抛物线的方程;(2)若点 M(m,0)(m0)关于原点的对称点为 N,求证: ANO= BNO.听课笔记 【考场点拨】圆锥曲线的证明问题,常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等, 一般是以直线与圆锥曲线为载体,综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证 .【自我检测】已知椭圆 G: + =1 的左焦点为 F,左顶点为 A,离心率为 e,点 M(t,0)(t0.由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 .4又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入 + =
6、1,得 7y2-12y=0.2423解得 y=0 或 y= ,所以 y1= .127 127因此 AMN 的面积 S AMN=2 = .12 127 12714449(2)证明:将直线 AM 的方程 y=k(x+2)(k0)代入 + =1,得( 3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.2423由 x1(-2)= ,得 x1= ,162123+42 2(342)3+42故 |AM|=|x1+2| = .1+2121+23+42由题设,直线 AN 的方程为 y=- (x+2).1故同理可得 |AN|= .121+232+4由 2|AM|=|AN|得 = ,即 4k3-6k2+3k-8=0
7、.23+42 32+4设 f(t)=4t3-6t2+3t-8,则 k 是 f(t)的零点 .f(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20, 所以 f(t)在(0, + )上单调递增 .又 f( )=15 -260,因此 f(t)在( 0,+ )上有唯一的零点,且零点 k 在(3 3,2)内 ,所以 0,y0),则 =(- -x,-y)( -x,-y)=x2+y2-3=- ,即 x2+y2= .1 2 3 354 74由 解得 故 P 1, . 2+2=74,24+2=1, 2=1,2=34, =1,=32, 32(2)显然 x=0 不满足题设条件,可设直线的方程为 y=kx+2(k0),
8、设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 得(1 +4k2)x2+16kx+12=0,24+2=1,=+2,x 1x2= ,x1+x2=- ,由 = (16k)2-4(1+4k2)120,121+42 161+42即 16k2-3(1+4k2)0,得 k2 .34又 AOB 为锐角, cos AOB0, 0, =x1x2+y1y20,又 y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,x 1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2) +2k +4= -121+42 ( 161+42) 12(1+2)1+42+4= 0,k 21,解
9、得 k1 或 k0,且 k-4|FM|,所以点 N 的轨迹 E 为椭圆, 且 2a=4,c= ,所以3a=2,b=1,所以轨迹 E 的方程为 +y2=1.24(2)(i)当 AB 为长轴(或短轴) 时 ,依题意知,点 C 就是椭圆的上、下顶点之一 (或左、右顶点之一),此时 S ABC= |OC|AB|=2.12(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k,直线 AB 的方程为 y=kx(k0) .由 得 = , = ,24+2=1,=, 2 41+422 421+42所以 |OA|2= + = .224(1+2)1+42由 |AC|=|BC|知, ABC 为等腰三角形, O
10、 为 AB 的中点, OC AB,所以直线 OC 的方程为 y=- x.1由 解得 = , = ,所以 |OC|2= + = .24+2=1,=1 2424+22 44+2 224(1+2)4+2则 S ABC=2S OAC=|OA|OC|= = .4(1+2)1+42 4(1+2)4+2 4(1+2)(1+42)(4+2)由于 = ,(1+42)(4+2)(1+42)+(4+2)2 5(1+2)2当且仅当 1+4k2=4+k2,即 k=1 时等号成立,所以 S ABC ,85此时 ABC 面积的最小值是 .85因为 2 ,所以 ABC 面积的最小值为 ,85 85此时直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.
