1、高三数学试卷（理科）2019 年 1 月 8 日第卷1已知全集 UR，集合 ，Bx|x0，则（ A）1|2xAUBA （1，0）B （ ，1）C （ 1， 0D （，02若复数 z 满足 2z12i，则 zA 1iB 2C iD 13若向量 ， ，则(1,2)AB(4,2)CACA 25B 5C 20D254右图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为 1，靶中各圆的半径依次加 1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到 9 环）的概率是A 20B 5CD 205设 x，y 满足约束条件 则 z2xy 的最小值是10,5,xyA8B7C6D46在公差为 2 的等差数列a n中，a 32a
2、54，则 a42a 7A4B2C6D87某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为 1，则该几何体的体积为A 42083B 16CD 328已知圆 C：（x3） 2（y4） 21 与圆 M 关于 x 轴对称，Q 为圆 M 上的动点，当 Q 到直线 yx2 的距离最小时，Q 的横坐标为A 2B C 23D 9大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十” 的推论主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是：偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10
3、项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前 100 项而设计的，那么在两个“ ”中，可以先后填入An 是偶数，n100B n 是奇数， n100C n 是偶数， n100Dn 是奇数，n10010在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是A甲、乙B乙、丙C丙、丁D甲、丁11将函数 的图象向左平移 个单位长sin23co
4、syx(0)2度后得到 f（x）的图象若 f（x）在（ ， ）上单调递减，则4 的取值范围为A ， 32B ， 6C ， 1D ， 212设双曲线 ： （a 0，b0）的左顶点与右焦点分21xy别为 A，F，以线段 AF 为底边作一个等腰AFB，且 AF 边上的高 h|AF|若AFB 的垂心恰好在 的一条渐近线上，且 的离心率为 e，则下列判断正确的是A存在唯一的 e，且 e（ ，2）B存在两个不同的 e，且一个在区间（1， ）内，另一个在区2间（ ，2）内C存在唯一的 e，且 e（1， ）2D存在两个不同的 P，且一个在区间（1， ）内，另一个在区2间（2， ）内2第卷二、填空题13若 x1
5、 是函数 的一个极值点，则 a_3()afx14设正项等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若S7S 53（a 4a 5） ，则 的最小值为_3794a15若 的展开式中 x3 的系数为 80，则21()xxa_ 16在四面体 ABCD 中，AD底面ABC， ， BC2，点 G 为ABC 的重心，若四面体10ABCABCD 的外接球的表面积为 ，则 tanAGD_9三、解答题17在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，已知ab1， ，3sinB2sinA2coscs1（1）求角 C 的大小；（2）求 的值b18如图，三棱锥 BACD 的三条侧棱两两垂直，BC BD2， ，E
6、，F ，G 分别是棱 CD，AD，AB 的中23A点（1）证明：平面 ABE平面 ACD；（2）求二面角 AEGF 的余弦值19自 2013 年 10 月习近平主席提出建设“一带一路” 的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州福州广州海口北海（广西）河内吉隆坡雅加达科伦坡加尔各答内罗毕雅典威尼斯的 13 个城市中选择 3 个城市建设自己的工业厂房，根据这 13 个城市的需求量生产某产品，并将其销往这 13 个城市（1）求所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内的概率；（2）已知每间工业厂房的月产量为 10 万件，若一间
7、厂房正常生产，则每月可获得利润 100 万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损 50 万该公司为了确定建设工业厂房的数目n（10n13，nN *） ，统计了近 5 年来这 13 个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：月需求量（单位：万件）100 110 120 130月份数 6 24 18 12若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？20已知椭圆 C1： （a b0）的左、右焦点分别为21xyF1，F 2，右顶点为 A，且 C1 过点 ，圆 O 是以线段 F1F2 为3(,)2B直径的圆，经过点 A 且倾斜角为 30的直
8、线与圆 O 相切（1）求椭圆 C1 及圆 O 的方程；（2）是否存在直线 l，使得直线 l 与圆 O 相切，与椭圆 C1 交于C， D 两点，且满足 ？若存在，请求出直线 l 的方程，|DC若不存在，请说明理由21已知函数 ln()axg（1）求 g（x）的单调区间与最大值；（2）设 f（ x）xg（x）在区间（0，e（e 为自然对数底数）上的最大值为1ln10 ，求 a 的值22选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）21,xy以直角坐标系的原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 （2sin cos）
9、m（1）求曲线 C 的普通方程；（2）若 l 与曲线 C 相切，且 l 与坐标轴交于 A，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程23选修 45：不等式选讲已知函数 f（x）3|xa|3x1| ，g（ x）|4x1|x 2|（1）求不等式 g（x）6 的解集；（2）若存在 x1，x 2R ，使得 f（x 1）和 g（x 2）互为相反数，求a 的取值范围高三数学试卷参考答案（理科）1C2A3B4D5B6B7A8C9D10C11D12A13314415216217解：（1）由 ，得 cos2CcosC0，2coscs1ABC所以 2cos2CcosC10，解得 ，cosC1（舍去） cos从而
10、3（1）因为 3sinB2sinA，所以 3b2a又 ab1 ，所以 a 3，b2根据余弦定理口可得 ，9467c所以 72cb18 （1）证明：因为 BCBD，E 是棱 CD 的中点，所以BECD 又三棱锥 BACD 的三条侧棱两两垂直，且 BCBDB ，所以 AB 平面 BCD，则 ABCD 因为 ABBEB ，所以 CD平面 ABE，又 平面 ACD，所以平面 ABE平面 ACDCD（2）解：以 B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz，则 A（0，0， ） ， G（0，0， ） ，E（1，1，0） ，F （0，1，233） ，3， ，(0,1)GF(1,03)EF设平面
11、EFG 的法向量为 n（x，y，z） ，则 ，即 ，0nEF30y令 ，则 3x(,1)由（1）知，平面 AEG 的一个法向量为 ，(2,0)CD所以 236cos,4CDn由图可知，二面角 AEG F 为锐角，故二面角 AEGF 的余弦值为 6419解：（1）记事件 A 为“该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内”，则 ，381215()1()43CPA所以该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内的概率为 1543（2）设该产品每月的总利润为 Y当 n10 时，Y 1000 万元当 n11 时，y 的分布列为Y 950 1100P 0.1 0.9所以 E（Y）9500.1110
12、00.91085 万元当 n12 时，y 的分布列为Y 900 1050 1200P 0.1 0.4 0.5所以 E（Y）9000.110500.412000.51110 万元当 n13 时，Y 的分布列为Y 850 1000 1150 1300P 0.1 0.4 0.3 0.2所以 E（Y）8500.110000.411500.313000.2 1090万元综上可知，当 n12 时，E（Y）1110 万元最大，所以欲使公司该产品的总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房 12 间20解：（1）易知 F1（c，0） ，F 2（c，0） ，A（a，0） ，圆 O的方程为 x2y 2c 2由题可知
13、 ，解得 a2， ，c 122sin3014cabc3b所以椭圆 C1 的方程 ，圆 0 的方程为 x2y 212143xy（2）假设存在直线 l 满足题意（i）当直线 l 的斜率不存在时，此时 l 的方程为 x1当 l：x1，C（1， ） ，D（1， ） ， ， ，所3232|2OCD|3以 |OD同理可得，当 l：x 1 时， |（ii）当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 ykxm，设C（ x1，x 2） ，D（x 2，y 2） ，因为直线 l 与圆 O 相切，所以 ，即 m2k 21，2|1k联立方程组 ，整理得（34k 2）214ykxmx28kmx4m 2120，由根与系数的
14、关系得 122834kmx因为 ，所以 ，则 ，|OCD|OCDC0OD即 x1x2y 1y20所以 x1x2（kx 1m ） （kx 2m ）（1 k 2）x1x2km（x 1x 2） m20，所 ，2248()334kKk整理得 7m212k 2 120，联立，得 k21，此时方程无解由（i） （ii）可知，不存在直线 l 满足题意21解：（1）g（x）的定义域为（0，） 因为 ，所以 令 g（x）0，得 xeln()xa21ln()gx当 x（0，e）时， g（x）0，在（0，e）上 g（x）是增函数；当 x（e， ）时，g（x）0，在（ e，）上 g（x）是减函数，所以 max1()(
15、)ge（2）因为 f（x）xg（x）axlnx，所以 ，1()fxax（0，e，则 ,)e若 ，则 f（x）0，从而 f（x）在（0，e上是增函数，1ae所以 f（x） maxf（e）ae10，不合题意若 ，则由 f（x）0 ， ，得 1()fxa10xa由 ，得 ，1()0fxa1ea从而 f（x）在（ 0， 上为增函数，在 ，e为减函数，a所以 ma()()1ln()1ln0f由 ，得 a101lnl22解：（1）由 y2t 1，得 ，12yt，即（y1） 22（x1） ，22()xt故曲线 C 的普通方程为（y1） 22（x1） （2）由 （2sincos）m，得 2yxm，联立 ，得
16、y22y2m 10，2()()yx因为 l 与曲线 C 相切，所以 44（2m1）0，m 1所以 l 的方程为 2y x1，不妨假设 A（0， ） ，则 B（1，0） ，2线段 AB 的巾点为（ ， ） 24所以 ，又 OAOB，5|2AB故以 AB 为直径的圆的直角坐标方程为 ，22215()()(4xy其对应的极坐标方程为 1sinco223解：（1）由题意可得 ，3,21()54,xgx当 x2 时， 3x36，得 x1，无解；当 ，5x16，得 ，即 ；4x7514x当 ，3x36，得 34x综上，g（x）6 的解集为 |（2）因为存在 x1，x 2R ，使得 f（x 1）g（x 2）成立，所以y|yf （x） ，xRy|yg（x） ，xR 又 f（ x） 3|xa| |3x1| （3x3a）（ 3x1）|3a 1| ，由（1）可知 g（x） ，则 g（x）（， 94 94所以 ，解得 9|3|4a1352a故 a 的取值范围为 ，
