1、一、椭圆的定义、标准方程、几何性质 1.有关a,b,c,e的计算 1-1【2017 浙江，2】椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3B 5 3C 2 3D 5 9【答案】B 【解析】 试题分析： 9 4 5 33 e ，选B学科网 【考点】 椭圆的简单几何性质 【名师点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 c b a , , 的方程或不等式，再根据 c b a , , 的关系消掉b得到 c a, 的关系式，建立关于 c b a , , 的方程或 不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 1-2 【2013 年 （广 东卷 ） 文科
2、 】已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 (1,0) F ，离心率等于 2 1 ，则 C 的方程是（ ） A 1 4 3 2 2 y xB 1 3 4 2 2 y xC 1 2 4 2 2 y xD 1 3 4 2 2 y x【答案】D 【解析】 1 1, , 2, 3, 2 c c e a b a 选 D. 【学科网考点定位】椭圆的方程. 1-3 （15年广东文科） 已知椭圆 （ ） 的左焦点为 ，则 （ ） A B C D 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得： ，因为 ，所以 ，故选 C 考点：椭圆的简单几何性质 1-4 (2016 年高考山东卷文)已知椭圆C: 2 2 + 2 2
3、= 1（ab0）的长轴长为 4，焦距为 2 2. （I）求椭圆C 的方程； 【答案】()22 1 42 xy . 1-5 【2013 年 （ 山东 卷） 文】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦 点在x轴上，短轴长为 2，离心率为 2 2 . (I)求椭圆C的方程; 【解析】(I)设椭圆C的方程为 22 22 10 xy ab ab , 由题意知 2 2 2 2 2 22 a b c c a b ，解得 2, 1. ab 因此椭圆C的方程为 2 2 1. 2 x y 1-6（2016 年高考北京卷文）已知椭圆 C： 过点 A（2,0 ）， B（0,1）两点. （I）求椭圆 C
4、 的方程及离心率； 【答案】 （） 1-7【2017 北京，文 19】已知椭圆C 的两个顶点分别为A ( 2 ,0 )，B(2,0)，焦点在x 轴上，离 心率为 3 2 （）求椭圆C的方程； 【答案】（） 2 2 1 4 x y ； 试题解析：（）设椭圆C的方程为 22 22 1( 0, 0) xy ab ab . 由题意得 2, 3 , 2 a c a 解得 3 c . 22 22 1 xy ab 2 2 1 4 x y 3 2 e所以 2 2 2 1 b a c . 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y . 1-8（15年陕西文科）如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 .(I)求椭圆 的
5、方程； 【答案】(I) ； 试题分析：(I)由题意知 ，由 ，解得 ，继而得椭圆的方程 为 ； 1-9 【2013 年 （江 西卷 ） 文 科】 椭圆 22 22 : 1( 0) xy C a b ab 的离心率 3 2 e ， 3 ab . （1）求椭圆C的方程； 【答案】 （1） 2 22 2 3 = 1 , 4 , 2 , 2 b e a b a b a ， 2 2 3 1, 2, 1. 4 x a b b a y ， 1-10 （2016年天津卷文数）设椭圆 1 3 2 2 2 y a x （ 3 a ）的右焦点为F ，右顶点为A， 已知 | | 3 | | 1 | | 1 FA e
6、OA OF ，其中O为原点，e为椭圆的离心率. （）求椭圆的方程； 【答案】 （） 22 1 43 xy 1-11【2017 课标 1，文 12】设 A、B 是椭圆C： 22 1 3 xy m 长轴的两个端点，若C上存在点 22 22 : 1( 0) xy E a b ab (0, 1) A 2 2 E 2 2 1 2 x y 2 ,1 2 c b a 2 2 2 a b c 2 a 2 2 1 2 x y M满足AMB=120，则m 的取值范围是 A (0,1 9, ) B (0, 3 9, ) C (0,1 4, ) D (0, 3 4, ) 【答案】A 【解析】 试题分析：当03 m ，
7、焦点在x轴上，要使 C 上存在点 M 满足 120 AMB ，则 tan 60 3 a b ，即 3 3 m ，得01 m ；当 3 m ，焦点在y 轴上，要使C上存在 点M 满足 120 AMB ，则 tan 60 3 a b ，即 3 3 m ，得 9 m ，故m的取值范 围为 (0,1 9, ) ，选A 【考点】椭圆 【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题解答问题的关键 是利用条件确定 b a, 的关系，求解时充分借助题设条件 120 AMB 转化为 3 60 tan b a ，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦 点位置进行逐一讨论2.
8、利用椭圆上一点坐标求椭圆方程： 2-1 【2013 年 （ 上海 ） 文 】 设AB是椭圆 的长轴， 点C在 上， 且 4 CBA 若 4 AB ， 2 BC ，则 的两个焦点之间的距离为 【答案】 46 3【解析】 不妨设椭圆 的标准方程为 22 2 1 4 xy b ， 于是可算得 (1,1) C ，得 2 4 4 6 ,2 33 bc 【学科网考点定位】考查椭圆的定义及运算，属容易题. 2-1 【2013 年 （ 安徽 文） 】 已知椭圆 22 22 : 1( 0) xy C a b ab 的焦距为 4， 且过点 ( 2 3) P ， . （）求椭圆C的方程； 【答案】 （1）因为椭圆过
9、点 ( 2 3) P ， 22 23 1 ab 且 2 2 2 a b c 2 8 a 2 4 b 2 4 c 椭圆 C 的方程是 22 1 84 xy 2-2 （2016 年高考四川卷文）已知椭圆E： 22 22 1( 0) xy ab ab 的一个焦点与短轴的两 个端点是正三角形的三个顶点，点 1 ( 3, ) 2 P 在椭圆E 上. ()求椭圆E 的方程； 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y ； 2-3 【2017 山东，文 21】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: 22 22 1 xy ab (ab0)的离心 率为 2 2 ,椭圆C 截直线y=1所得线段的长度为22 .()求
10、椭圆C的方程； 【答案】() 22 1 42 xy ; 2-4 【2013 年 天津 （文 ） 】设椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab 的左焦点为F, 离心率为 3 3 , 过点 F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 43 3 . () 求椭圆的方程; 【答案】 ()设 ( ,0) Fc ，由 3 3 c a 知， 3 ac ，过点 F且与 x轴垂直的直线为xc ， 代入椭圆方程有 22 22 () 1 cy ab ，解得 6 3 b y ，于是 26 3 b = 43 3 ，解得 2 b ，又2 2 2 a c b ，从而 3 a ， 1 c ，所以椭圆的方程为 22 1
11、32 xy . 3.椭圆的焦点三角形问题 3-1 【2013 年 大纲 全国 文 科】已知 12 1,0 , 1,0 FF 是椭圆 C的两个焦点，过 2 F 且垂直 于 x轴的直线交 C于A、B两点，且 3 AB ， 则C的方程为（ ） （A） 2 2 1 2 x y （B） 22 1 32 xy （C） 22 1 43 xy （D） 22 1 54 xy 【答案】C 【解析】如图， 2 13 | | | | 22 AF AB ， 12 | | 2 FF ，由椭圆定义得 1 3 | | 2 2 AF a . 在 12 Rt AFF 中， 2 2 2 2 2 1 2 12 3 | | | | |
12、 | () 2 2 AF AF FF . 由得 2 a ， 2 2 2 3 b a c .椭圆 C的方程为 22 1 43 xy .应选 C. 【学科网考点定位】椭圆方程的求解. 3-2 【2013 年新 课标 数 学（文 ） 】 设椭圆 C： 22 22 1( 0) xy ab ab 的左、右焦点分别 为 1 F 、 2 F ，P是 C上的点， 2 PF 1 F 2 F ， 12 PFF =30 ，则 C 的离心率为（ ） （A） 3 6（B） 1 3（C） 1 2（D） 3 3【答案】D 【解析】 由题意,设 2 | PF x ，则 1 | | 2 PF x ， 12 | | 3 FF x
13、 ， 所以由椭圆的定义知：23 ax ， 又因为23 cx ，所以离心率为 3 3 ，故选 D. 【学科网考点定位】本小题主要考查椭圆的定义、几何性质、数形结合与化归的数学思想， 属中低档题，熟练椭圆的基础知识是解答好本类题目的关键. 3-3 【2013 年 （福 建） 文 科】椭圆 22 22 : 1( 0) xy r a b ab 的左、右焦点分别为 12 2. F F c 、 ，焦距为 若直线 1 2 2 1 3 2 , y x c M MFF MFF 与椭圆r的一个交点 满足 则该椭圆的离心率等于 . 答案 31 解析注意到直线过点 ( ,0) c 即为左焦点 1 F ，又斜率为 3
14、，所以倾斜角为 0 60 ，即 0 12 60 MFF . 又 故 0 21 30 MF F ，那么 0 21 90 F MF . 0 1 1 2 1 cos60 2 2 MF FF c c ， 0 2 1 2 3 sin 60 2 3 2 MF FF c c ， 12 2 2 2 31 2 3 c c c e a MF MF cc . 学科网考点定位考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征.属于 难题. 3-4（15年福建文科）已知椭圆 的右焦点为 短轴的一个端点 为 ，直线 交椭圆 于 两点若 ，点 到直线 的距 离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A B C
15、 D 【答案】A 考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式 3-5 【2013 年 （浙 江 ） 文 科】如图 12 , FF 是椭圆 2 2 1 :1 4 x Cy 与双曲线 2 C 的公共焦点， 22 22 : 1( 0) xy E a b ab F M :3 4 0 l x y E , AB 4 AF BF M l 4 5 E 3 (0, 2 3 (0, 4 3 ,1) 2 3 ,1) 4A、B 分别是 1 C 、 2 C 在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是 （ ） A、2 B、3 C、 3 2D、6 2【答案】D 【解析】解决此类问
16、题有三种思路，一是求出 , abc三个量中的任何两个，然后利用离心率 的计算公式求解.二是求出 , ac或 , ab 或 , cb之间关系，然后利用离心率的计算公式求解.三 是构造出关于离心率e的方程来求解.此题中关键是灵活的应用椭圆和双曲线的定义构造出 方程即可求解. 由已知得 12 ( 3, 0), ( 3, 0) FF ，设双曲线实半轴为a ，由椭圆及双曲线的定义和已 知得到： 21 2 21 22 12 | | | | 4 | | | | 2 2 | | | 12 AF AF AF AF a a AF AF ，所以双曲线的离心率为 36 2 2 c a ，所以选 D. 【学科网考点定位
17、】此题考查椭圆和双曲线的定义、性质的应用. 3-6 【2013 年 （辽 宁） 文 科】已知椭圆 22 22 : 1( 0) xy C a b ab 的左焦点为 , FC 与过原点的直线相交于 , AB 两点， , . 10, 8, AF BF AB BF 连接 若 4 cos ABF , 5 C 则 的离心率为（ ） （A） 3 5（B） 5 7（C） 4 5（D） 6 7答案B 解析 AFB 三角形 中，由余弦定理可得： 2 2 2 | | | | | | 2 | | | cos AF AB BF AB BF ABF 代入得： 2 4 36 | | 100 2 10 | | 5 BF BF
18、 ，解得| | 8 BF ,由此可得三角形 ABF 为直 角三角形. OF=5，即 c=5. 由 椭 圆 为 中 心 对 称 图 形 可 知 ： 当 右 焦 点 为 2 F 时， 2 AFB BFA ,2 5 2 14, 7, 7 a AF AF a e 学科网考点定位本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质. 3-7 2014 重庆卷 如图 1 5，设椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点 D 在椭圆上，DF 1 F 1 F 2 ， |F 1 F 2 | |DF 1 | 2 2，DF 1 F 2 的面积为 2 2 . (1)求该椭
19、圆的标准方程 图 1 5 解：(1)设F 1 (c，0)，F 2 (c，0)，其中c 2 a 2 b 2 . 由 |F 1 F 2 | |DF 1 | 2 2得|DF 1 | |F 1 F 2 | 2 2 2 2 c. 从而SDF 1 F 2 1 2 |DF 1 |F 1 F 2 | 2 2 c 2 2 2 ，故c1. 从而|DF 1 | 2 2 .由DF 1 F 1 F 2 得|DF 2 | 2 |DF 1 | 2 |F 1 F 2 | 2 9 2 ，因此|DF 2 | 3 2 2 ， 所以 2a|DF 1 |DF 2 |2 2，故a 2，b 2 a 2 c 2 1. 因此，所求椭圆的标准方
20、程为 x 2 2 y 2 1. 4. 椭圆的离心率问题 4-1（2016 年新课标文）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l的距离为 其短轴长的 1 4 ,则该椭圆的离心率为 （A） 1 3（B） 1 2（C） 2 3（D） 3 4【答案】B 【解析】 试题分析：如图,由题意得在椭圆中, 11 OF c,OB b,OD 2b b 42 来源:学科网在 Rt OFB 中,| OF | | OB | | BF | | OD | ,且 2 2 2 a b c ,代入解得 22 a 4c ,所以椭圆得离心率得 1 e 2 ,故选 B. 考点：椭圆的几何性质 【名师点睛】求椭圆或双曲线离心
21、率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等 式,再转化为关于 a,c的齐次方程,方程两边同时除以 a的最高次幂,转化为关于 e的方程,解方 程求 e . 4-2 【2013 年 （ 四川 ） 文 科】从椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab 上一点P 向x轴作垂线，垂足 恰为左焦点 1 F ， A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且 / AB OP（O是坐标原点） ，则该椭圆的离心率是（ ） （A） 2 4（B） 1 2（C） 2 2（D） 3 2答案】C 【解析】 由已知， 点 ( , ) P c y 在椭圆上， 22 22 () 1 cy ab
22、， 解得 2 ( , ) b Pc a ，又 / AB OP， 2 bb a ac ，即bc ，所以 22 2 2 2 2 1 2 cc e a b c ，故椭圆的离心率 2 2 e ，选 C. 【易错点】P 点纵坐标的计算，两直线平行的充要条件，离心率的计算. 【学科网考点定位】本题考查椭圆的标准方程、简单几何性质以及两直线平行的充要条件， 课本习题改编，中等题. 4-3 【2017课标 3，文 11】已知椭圆C： 22 22 1 xy ab ，（ ab0）的左、右顶点分别为A 1 ， A 2 ，且以线段A 1 A 2 为直径的圆与直线 20 bx ay ab 相切，则C 的离心率为（ ）
23、A 6 3B 3 3C 2 3D 1 3【答案】A y x O B F D 【考点】椭圆离心率 【名师点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 , abc 的方程或不等式，再根据 , abc 的关系消掉b得到 , ac 的关系式，而建立关于 , abc 的方程 或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 4-4 （2016 年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆 22 22 1( ) xy ab ab 0 的 右焦点，直线 2 b y 与椭圆交于 , BC两点，且 90 BFC ,则该椭圆的离心率是 . 【答案】 6 3考点：椭圆离
24、心率 【名师点睛】 椭圆离心率的考查， 一般分两个层次， 一是由离心率的定义， 只需分别求出 , ac， 这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 , ac的比值，这注重于列式，即需 根据条件列出关于 , ac的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值. 4-5 （2016年新课标卷文）已知O为坐标原点，F 是椭圆C： 22 22 1( 0) xy ab ab 的 左焦点， , AB分别为C的左，右顶点.P 为C上一点，且PF x 轴.过点A的直线l与线 段PF 交于点M ，与 y 轴交于点E .若直线BM 经过OE的中点， 则C的离心率为 （ ） （A） 1 3（B） 1 2（C
25、） 2 3（D） 3 4【答案】A 考点：椭圆方程与几何性质 【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法： （1）直接求得 , ac的值，进而求得e 的值； （2）建立 , abc的齐次等式，求得 b a 或转化为关于e的等式求解；(3)通过特殊值或 特殊位置，求出e 4-6 【2017天津，文 20】已知椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab 的左焦点为 , () 0 F c ，右顶点为 A，点E 的坐标为(0, ) c ， EFA 的面积为 2 2 b . （I）求椭圆的离心率； 【答案】 （） 1 2【解析】 试题解析： （）解：设椭圆的离心率为e.由已知，可得 2 1 ()
26、 22 b c a c .又由 2 2 2 b a c ， 可得 22 20 c ac a ，即 2 2 1 0 ee .又因为01 e ，解得 1 2 e . 所以，椭圆的离心率为 1 2 .学科 【答案】 （1） 5. 求轨迹方程 5-1 【2017 课标 II，文 20】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C : x 2 2 + y 2 = 1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P满足 2 NP NM (1)求点 P的轨迹方程； 5-2 【2013 年( 陕西) 文 科】已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距 离的2倍. () 求动点
27、M的轨迹C的方程; 【答案】() 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点 N(1,0)的距离的2 倍，则 1 3 4 ) 1 ( 2 | 4 | 2 2 2 2 y x y x x . 所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为 1 3 4 2 2 y x . 25 5 a b 3 2 3 1 5 5 2 5 4 5 1 5 1 10 5 2 2 2 2 2 2 2 e a c a c a a b6. 直线与椭圆相交问题 6-1（2016年新课标卷文）已知A是椭圆E ： 22 1 43 xy 的左顶点，斜率为 0 kk 的 直线交E 与A，M 两点，点N 在E 上，MA NA . （）当 AM AN
28、时，求 AMN 的面积； 【答案】 （） 144 49 ； 试题解析： （）设 11 ( , ) M x y ，则由题意知 1 0 y . 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为 4 ， 又 ( 2,0) A ，因此直线AM 的方程为 2 yx . 将 2 xy 代入 22 1 43 xy 得 2 7 12 0 yy ， 解得 0 y 或 12 7 y ，所以 1 12 7 y . 因此 AMN 的面积 1 12 12 144 2 2 7 7 49 AMN S . 6-2 （2016年高考浙江卷文）如图，设椭圆 （a1）. （I）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、k 表示） ； 【答案】 （I） ； 2 2 2 1 x y a 2 2 22 2 1 1 ak k ak
