1、进 入,学案5 不等式的应用,考点一,考点二,考点三,返回目录,1.不等式常用于确定函数的定义域、值域、判断或证明函数的单调性、方程有无实根、曲线之间相交情况、字母的取值范围等. 2.能够运用不等式的性质、均值不等式及不等式的求解方法去分析解决实际应用题.,考点一 均值不等式型应用题,【例1】某单位用木料制作如图6-5-1所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x,y分别为多少(精确到0.001 m)时用料最省?,返回目录,【分析】先用面积公式找出x与y之间的关系，再用x表 示周长L，即找出L与x的函数关系式，最后用重
2、要不等式求出取最值时的x,y的值.,返回目录,返回目录,【评析】（1）求某些函数的最值，用到重要不等式. （2）实际问题，应用不等式时要注意在实际的定义域内验证等号是否成立.,返回目录,对应演练,用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2 m2的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为 h m，盖子边长为 a m. （1）求a关于h的函数解析式； （2）设容器的容积为V m3，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值.（求解本题时，不计容器的厚度）,返回目录,（1）设h是正四棱锥的斜高.由题设，得a2+4 ha=2h2+ a2= ，解得a= (h0). （2）由V= a2h= (h0),得V= . 而h+
3、 2 =2,所以V ， 当且仅当h= ,即h=1时取等号. 故当h=1时，V有最大值，V的最大值为 m3.,返回目录,考点二 解不等式形式应用题,【例2】某段城铁线路上依次有A,B,C三站,AB=5 km,BC=3 km.在列车运行时刻表上,规定列车8时整从A站发车, 8 时07分到达B站并停车1分钟,8时12分到达C站.在实际运行时, 假设列车从A站正点发车,在B站停留1分钟,并在行驶时以同 一速度 v km / h匀速行驶,列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差. (1)分别写出列车在B,C两站的运行误差; (2)若要求列车在B,C两站的运行误差之和
4、不超过2分钟,求v的取值范围.,返回目录,【解析】 (1)列车在B,C两站的运行误差(单位:分钟)分 别是 和 . (2)由于列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟 , 所以 2(*) 当0v 时,(*)式变形为2,解得39v ;,【分析】先根据运算误差定义写出在B，C两站的运行误差表达式，再求和得到不等式，解不等式可得v的取值范围.,返回目录,当 时,(*)式变形为 7- +11- 2 解得 v . 综上所述,v的取值范围为 .,返回目录,【评析】本题的关键是对运行误差的定义的理解.通过零点分段解所列不等式.,返回目录,对应演练,有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家
5、电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销 ：买一台单价为 780元，买两台每台单价都为 760 元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？,返回目录,假设某单位需购买x台影碟机.在甲商场购买花费 y1=(800-20x)x元，其中800-20x440，解得 1x18.在乙商场购买花费y2=80075%x,xN*.(800-20x)x-600x,1x18440x-600x,x18,xN*200x-20x2,1x18,xN* -160x,x18 20x(10-x). 当y1-y
6、20时,得1x10,xZ. 综上可知，若少于10台，在乙商场购买花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买10台以上，在甲商场购买花费较少.,则y1-y2=,=,返回目录,考点三 不等式在数列函数中的应用,【分析】应用数列的有关知识求出an的表达式后，将1表示为m，n的关系，利用分析法或放缩法等加以证明.,【例3】设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11,且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B,n=1,2,3,其中A，B为常数. （1）求A与B的值； （2）证明数列an为等差数列； （3）证明不等式 1对任何正整数m，n都成立.,返回目录,返回目录,（2
7、）证明：由(1)得（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn =-20n-8 所以（5n-3）Sn+2-（5n+7）Sn+1=-20n-28 -得 （5n-3）Sn+2-（10n-1）Sn+1+（5n+2）Sn=-20 所以 （5n+2）Sn+3-（10n+9）Sn+2+（5n+7）Sn+1=-20， -得 （5n+2）Sn+3-（15n+6）Sn+2+（15n+6）Sn+1-（5n+2）Sn=0. 所以an+1=Sn+1-Sn， 所以（5n+2）an+3-（10n+4）an+2+（5n+2）an+1=0. 因为5n+20,所以an+3-2an+2+an+1=0， 所以an+3-an+2=an+2
8、-an+1，n1. 又a3-a2=a2-a1=5，所以数列an为等差数列.,返回目录,（3）证明：由（2）可知，an=1+5（n-1）=5n-4， 要证 1, 只要证5amn1+aman+2 . 因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4) =25mn-20(m+n)+16, 故只要证5（5mn-4）1+25mn-20(m+n)+16+2 , 即只要证20m+20n-372 . 因为2 am+an=5m+5n-85m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37, 所以命题得证.,返回目录,【评析】本题是不等式与数列相结合的综合题，主要考查数列的相关性质和递推数列的解
9、决方法以及不等式的证明问题.由于数列问题与正整数n有着密切的联系，因此数列中有关不等式的证明常会用到放缩法、数学归纳法等数学方法.,返回目录,对应演练,已知f(x)=|x2-1|+x2+kx. （1）若k=2,求f(x)=0的解； （2）若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2,求k的取值范围，并证明 4.,（1）当k=2时，f(x)=|x2-1|+x2+2x，要使f(x)=0有实根，则x2+2x必须小于0，即-2x0.2x2+2x-1,-2x-11+2x,-1x0. 令f(x)=0，解得x= 或x=- .,故f(x)=,返回目录,返回目录,返回目录,即证： , 又 k-1, 原不等式成立，即有 4.,返回目录,1.应用不等式解决数学问题时 ，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系 ，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解. 2.应用不等式解决应用问题时,先应弄清题意,根据题意列出不等式或函数式,再利用不等式的知识求解.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
