1、江苏省南京市鼓楼区 2016-2017 学年九年级（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）1一元二次方程 x2x2=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根2下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（ ）Ay=2x1 By= Cy=x x2 Dy= +x3一组数据 1，3，5，8，x 的中位数是 5，则下列 x 的取值中，满足条件的是（ ）A2 B3 C4 D64如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，连接 CD、BE 交于点 O，且 DEBC，OD=1，OC=3，AD=2
2、，则 AB 的长为（ ）A4 B6 C8 D95如图，A、B、C 是O 上的三个点，若C=28，则OBA 的度数为（ ）A28 B56 C57 D626如图，反比例函数 y1= 与二次函数 y1=ax2+bx+c 图象相交于 A、B、C 三个点，则函数 y=ax2+bx +c 的图象与 x 轴交点的个数是（ ）A0 B1 C2 D3二、填空题（本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）7已知 = ，则 = 8二次函数 y=x2+3x 图象的对称轴是 9线段 AB 长 10cm，点 P 在线段 AB 上，且满足 = ，那么 AP 的长为 cm10某公司 2016 奶奶 10 月份营业额为
3、 60 万元，12 月份营业额达到 100 万元，设该公司 11、12 两个月营业额的月均增长率为 x，则可列方程为 11已知A 的直径是 8，点 A 的坐标是（3，4），那么坐标原点 O 在A 的 （填“圆内 ”、“圆上”或“圆外” ）12已知圆锥的底面半径是 3cm，母线长是 5cm，则圆锥的侧面积为 cm2（结果保留 ）13如图（1）是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为 240，它的喷灌区是如图（2）所示的扇形如果 A，B 两点的距离为 18m，那么这种装置能够喷灌的草坪面积为 m 214如图，在 RtABC 中，AB=3 ，BC=6，ADBC，垂足为 D，
4、则 BD 的长为 15如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，图象过点 A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：abc0；b 24ac0；ab+c=0；若 B（m 2+1，y 1）、C（ m2+2，y 2）为函数图象上的两点，则 y1y 2；当1x3 时，y0其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）16如图，ABC 中，AB=17，AC=10 ，BC=21，则 ABC 的外接圆O 的半径的长为 三、解答题（本题共 11 小题，共 88 分）17（8 分）解方程（1）2x 2+5x=4（2）2（x2） 2=（x2）18（8 分）初二某班体育老师对 A、B 两组各 10 名男生“立定
5、跳远”项目进行了检测，两组成绩（满分 13 分）如下：A 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12B 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两组的平均成绩；（2）哪个组成绩比较整齐？19如图（1），ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 = 求证：ADEABC（2）将矩形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成图（2），若矩形 ABCD 内部空白部分面积总和是 10cm2，则阴影部分面积总和是 cm 220（7 分）甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规划规定：两队之间进行 2局比赛，3 局比赛必须全部打完，只要赢满 2 局的队为
6、获胜队，假设甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同（1）甲 3 局全胜的概率是 ；（2）如果甲队已经赢得了第 1 局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图 ”或“列表”方法写出解答过程）21（8 分）已知关于 x 的方程（k 21）x 2+（2k+1 ）x+1=0（1）若方程有实数根，求 k 的取值范围；（2）若方程有两个互为相反数的实数根，求 k 的值，并求此时方程的根22（6 分）如图，图中小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 与ABC是关于点 G 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上（1）画出位似中心点 G；（2）若点 A、B 在平面直角坐标系中的坐标分别为（
7、2，1），（1，3），点P（m，n）是线段 AC 上任意一点，则点 P 在ABC上的对应点 P的坐标为 23（8 分）如图，一块长方形铁皮的长是宽的 2 倍，四个角各截去一个正方形，制成高是 5cm，容积是 500cm3 的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽24（8 分）已知：如图，ABC 的中线 BD、CE 交于点 O（1）求证： = ；（2）求证：ABC 的三条中线交于一点25（10 分）已知二次函数 y1=ax2+bx+c 的图象可以由二次函数 y2=2x2 的图象平移得到且经过点（2，10）和（0，6）（1）求二次函数 y1 的表达式，并写出此函数图象顶点 D 的坐标；（2）求二次函数
8、 y1=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点坐标；（3）若 ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，则写出 k 的取值范围为 ；（4）若 mxm+4 时， 10y 18，则 m 的值为 26（8 分）为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为 30 元/盒的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每盒售价 40 元时，每天能出售 500 盒，并且售价毎上涨 1 元，其销售量将减少 10 盒，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的 180%（1）求每天销售利润 y（元）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式，并求每天销售利润的最大值；（2）如果超市想要每天获得利润不少于
9、 8000 元，求售价的范围27（10 分）如图，已知O 过边长为 4 的正方形 ABCD 顶点 A、B（1）若O 与边 CD 相似请用直尺和圆规作出O（保留作图痕迹，不写作法）；求O 的半径；（2）过点 O 作 MNAB，分别交 AB、CD 于点 M、N，O 与边 AD 交于点 E，与线段 MN 交于点 F，连接 EN、AF，当DEN 与AFM 相似时，画出图形，并在图形下方直接写出O 的半径长（注：若有多种情况，每种情况单独用一个图形表示）2016-2017 学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）1一元
10、二次方程 x2x2=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【考点】根的判别式【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断【解答】解：=（1） 241（2）=90，所以方程有两个不相等的两个实数根故选 A【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（=b 24ac）判断方程的根的情况一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根2下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（ ）Ay=2x1
11、By= Cy=x x2 Dy= +x【考点】二次函数的定义【分析】分别利用函数的定义进而分析得出答案【解答】解：A、y=2x1，是一次函数，故此选项错误；B、y= ，是反比例函数关系，故此选项错误；C、 y=xx2，是二次函数关系，故此选项正确；D、y= +x 是复合函数，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键3一组数据 1，3，5，8，x 的中位数是 5，则下列 x 的取值中，满足条件的是（ ）A2 B3 C4 D6【考点】中位数【分析】方法一、分别求出 x=2、3、4、5 时数列的中位数即可得方法二、利用中位数的求法和此组数据的特点确定出 x 的
12、范围即可【解答】解：方法一、A、若 x=2，则数列为 1，2，3，5，8，中位数为 3，此选项错误；B、若 x=3，则数列为 1， 3，3，5 ，8，中位数为 3，此选项错误；C、若 x=4，则数列为 1，3，4，5，8，中位数为 4，此选项错误；D、若 x=6，则数列为 1， 3，5，6，8，中位数为 5，此选项正确；方法二、一组数据 1，3，5，8，x 共 5 个数，中位数是最中间的一个即：第三个数，比 5 小的数有两个 1 和 3，不小于 5 的是 5，8，x ，即 x5故选：D【点评】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中
13、间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数4如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，连接 CD、BE 交于点 O，且 DEBC，OD=1，OC=3，AD=2，则 AB 的长为（ ）A4 B6 C8 D9【考点】相似三角形的判定与性质【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 = = ，证明ADEABC ，根据相似三角形的性质计算即可【解答】解：DEBC， = = ，DEBC，ADE ABC， = = ，AB=3AD=6，故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键5如图
14、，A、B、C 是O 上的三个点，若C=28，则OBA 的度数为（ ）A28 B56 C57 D62【考点】圆周角定理【分析】先根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出圆心角AOB=56，再利用同圆的半径相等及等边对等角求出结论即可【解答】解：AOB=2C，C=28，AOB=56，OA=OB，OAB= OBA= =62，故选 D【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，应用了“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半”，比较简单6如图，反比例函数 y1= 与二次函数 y1=ax2+bx+c 图象相交于 A、B、C 三个点，则函数 y=ax2+bx +c 的图象与
15、x 轴交点的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；抛物线与 x 轴的交点【分析】当 y1=y2 时，得到方程 ax2+bx +c=0，方程的解即反比例函数 y1= 与二次函数 y1=ax2+bx+c 图象交点的横坐标，于是得到函数 y=ax2+bx +c 的图象与x 轴交点即是 ax2+bx +c=0 的解，即可得到结论【解答】解：当 y1=y2 时，得 =ax2+bx+c，即 ax2+bx +c=0，方程的解即反比例函数 y1= 与二次函数 y1=ax2+bx+c 图象交点的横坐标，反比例函数 y1= 与二次函数 y1=ax2+bx+c 图象相交于 A、B、
16、C 三个点，函数 y=ax2+bx +c 的图象与 x 轴交点即是 ax2+bx +c=0 的解，函数 y=ax2+bx +c 的图象与 x 轴交点的个数是 3 个，故选 D【点评】本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，函数图形与方程的关系，正确的理解题意是解题的关键二、填空题（本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）7已知 = ，则 = 【考点】比例的性质【分析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可【解答】解： = ，5（2a +3b） =12（a+2b ），整理得，2a=9b，所以， = 故答案为： 【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积8二次函数
17、 y=x2+3x 图象的对称轴是 直线 x= 【考点】二次函数的性质【分析】把二次函数解析式化为顶点式可求得答案【解答】解：y= x2+3x=（x ） 2+ ，抛物线对称轴为直线 x= ，故答案为：直线 x= 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y=a（x h） 2+k 中，对称轴为 x=h，顶点坐标为（h，k）9线段 AB 长 10cm，点 P 在线段 AB 上，且满足 = ，那么 AP 的长为 55 cm 【考点】黄金分割【分析】设 AP=x，根据线段 AB 长 10cm，得出 BP=10x，再根据 = ，求出x 的值即可得出答案【解答】解：设 AP
18、=x，则 BP=10x， = ， = ，x 1=5 5， x2=5 5（不合题意，舍去），AP 的长为（5 5）cm故答案为：5 5【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键10某公司 2016 奶奶 10 月份营业额为 60 万元，12 月份营业额达到 100 万元，设该公司 11、12 两个月营业额的月均增长率为 x，则可列方程为 60（1+x）2=100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设平均每月的增长率为 x，根据 10 月份的营业额为 60 万元，12 月份的营业额为 100 万元，分别表示出 11、12 月的营业额，即
19、可列出方程【解答】解：设平均每月的增长率为 x，根据题意可得：60（1+x） 2=100故答案为：60（1+x） 2=100【点评】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道 10 月份的钱数和增长两个月后 12 月份的钱数，列出方程11已知A 的直径是 8，点 A 的坐标是（3，4），那么坐标原点 O 在A 的 圆外 （填“ 圆内” 、“圆上”或“圆外” ）【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离 d，则 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内【解答】解：
20、d=8，r=4 ，OA= =54，故答案为：圆外【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 dr 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上，当 dr时，点在圆内12已知圆锥的底面半径是 3cm，母线长是 5cm，则圆锥的侧面积为 15 cm2（结果保留 ）【考点】圆锥的计算【分析】圆锥的侧面积=底面周长 母线长2【解答】解：底面圆的半径为 3cm，则底面周长=6c，侧面面积= 65=15cm2【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解13如图（1）是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为 240，它的喷灌区是如
21、图（2）所示的扇形如果 A，B 两点的距离为 18m，那么这种装置能够喷灌的草坪面积为 72 m 2【考点】扇形面积的计算；旋转的性质【分析】作 OCAB，根据垂径定理得出 AC=9，继而可得圆的半径 OA 的值，再根据扇形面积公式可得答案【解答】解：过点 O 作 OCAB 于 C 点OCAB ，AB=18 ，AC= AB= 18=9（cm），OA=OB，AOB=360240=120，AOC= AOB= 120=60在 RtOAC 中，OA 2=OC2+AC2，又OC= OA，r=OA=6 S= r2=72（m 2）故答案是：72【点评】本题主要考查垂径定理和扇形的面积公式，熟练掌握垂径定理求
22、得圆的半径是解题的关键14如图，在 RtABC 中，AB=3 ，BC=6，ADBC，垂足为 D，则 BD 的长为 【考点】勾股定理【分析】根据直角三角形的性质得到C=30，根据同角的余角相等得到BAD=C=30，根据直角三角形的性质解答即可【解答】解：BAC=90，AB=3 ，BC=6 ，C=30，BAC=90 ，AD BC，BAD=C=30，BD= AB= ，故答案为： 【点评】本题考查的是直角三角形得到性质，掌握 30所对的直角边是斜边的一半是解题的关键15如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，图象过点 A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：abc0；b 24ac0；ab
23、+c=0；若 B（m 2+1，y 1）、C（ m2+2，y 2）为函数图象上的两点，则 y1y 2；当1x3 时，y0其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：抛物线开口向下，a 0；抛物线的对称轴为直线 x= =10，b0；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，c0，abc0，故正确；抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，故正确；抛物线的对称轴是 x=
24、1，与 x 轴的一个交点是（3，0），抛物线与 x 轴的另个交点是（ 1，0），当 x=1 时， y=0，即 ab+c=0，故正确；B（m 2+1，y 1）、C（m 2+2，y 2）在对称轴右侧，m 2+1m 2+2，y 1y 2，故错误；1 x3 时，抛物线在 x 轴上方，y0，故正确故答案为：【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x 轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键16如图，ABC 中，AB=17，AC=10 ，BC=21，则 ABC 的外接圆O 的半径的长为 【考点】三角形的外接圆与外心【分析】作 AEBC 于 E，根据勾股定理求得 EC，进而
25、求得 AE，作直径 AD，连接 BD，易证得ABD AEC ，得出 = ，即可求得直径，进而求得半径【解答】解：作 AEBC 于 E，AB 2BE2=AC2EC2，设 EC=x，17 2（ 21x） 2=102x2，解得 x=6，EC=6，AE= =8，作直径 AD，连接 BD，ABD=90 ，D=C，ABD AEC， = ，即 = ，AD= ，O 的半径的长为： 故答案为 【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，相似三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键三、解答题（本题共 11 小题，共 88 分）17解方程（1）2x 2+5x=4（2）2（x2） 2=（x2）【
26、考点】解一元二次方程因式分解法；解一元二次方程 配方法【分析】（1）公式法求解可得；（2）因式分解法求解可得【解答】解：（1）原方程整理可得：2x 2+5x4=0，a=2，b=5，c=4，b 24ac=2542（4）=570，则 x= ；（2）2（x2） 2（x2）=0，（x2）（2x5）=0，则 x2=0 或 2x5=0，解得：x=2 或 x= 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18初二某班体育老师对 A、B 两组各 10 名男生“立定跳远”项目进行了检测，两
27、组成绩（满分 13 分）如下：A 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12B 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两组的平均成绩；（2）哪个组成绩比较整齐？【考点】方差【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；（2）根据方差的计算公式计算可得，再根据方差的意义比较后可得答案【解答】解：（1） = =12（分），= =12（分）；（2） = 4（1312） 2+3（1212） 2+2（1112） 2+（1012） 2=1.2，= 7（1312） 2+（1212） 2+（11 12） 2+（612） 2=4.4，S 甲 2S 乙 2，甲组比较整齐【
28、点评】本题主要考查平均数和方差，熟练掌握方差的计算公式和方差的意义是解题的关键19（1 ）如图（1），ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 = 求证：ADE ABC（2）将矩形 ABCD 对角线平均分成 12 段，连接成图（2），若矩形 ABCD 内部空白部分面积总和是 10cm2，则阴影部分面积总和是 24 cm 2【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断（2）设矩形 ABCD 的面积为 S，由题意 S+（ ）S +（ ）S=10 ，解方程即可【解答】（1）证明： = ，A=A ，ADE ABC（2）解：设矩形 ABC
29、D 的面积为 S，由题意 S+（ ）S+（ ）S=10，解得 S=24，故答案为 24【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程思想思考问题，属于中考常考题型20甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规划规定：两队之间进行 2 局比赛，3 局比赛必须全部打完，只要赢满 2 局的队为获胜队，假设甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同（1）甲 3 局全胜的概率是 ；（2）如果甲队已经赢得了第 1 局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图 ”或“列表”方法写出解答过程）【考点】列表法与树状图法【分析】（1）画树状图展示所有 8 种等可能的
30、结果数，再找出甲 3 局全胜的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出甲队最终获胜的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）画树状图为：共有 8 种等可能的结果数，其中甲 3 局全胜的结果数为 1，所以甲 3 局全胜的概率= ；故答案为 ；（2）画树状图为：共有 4 种等可能的结果数，其中甲队最终获胜的结果数为 3，所以甲队最终获胜的概率= 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率21已知关于 x 的方程（k
31、21）x 2+（2k+1）x+1=0 （1）若方程有实数根，求 k 的取值范围；（2）若方程有两个互为相反数的实数根，求 k 的值，并求此时方程的根【考点】根的判别式【分析】（1）分 k21=0 和 k210 考虑，当 k21=0 时求出 k 值，将其代入原方程解之即可得出方程有解；当 k210 时，根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围综上即可得出结论；（2）设方程的两根为 x1、x 2，根据根的判别式结合 x1、x 2 互为相反数即可得出关于 k 的分式方程，解之即可得出 k 的值，将 k 值代入原方程后解之即可得出结论【解答】解：（1
32、）当 k21=0 时，k=1，当 k=1 时，原方程为 3x+1=0，解得：x= ；当 k=1 时，原方程为x+1=0，解得：x=1；当 k210，即 k1 时，= （2k+1） 24（k 21）=4k+50，解得：k ，k 且 k1综上所述，k 时，方程有实数根（2）设方程的两根为 x1、x 2，方程有两个互为相反数的实数根，x 1+x2= =0，解得：k= ，经检验可得出 k= 是分式方程 =0 的解当 k= 时，原方程为 x2+1=0，解得：x 1= ，x 2= 当 k= 时，方程有两个互为相反数的实数根，此时方程的根为 x= 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根的判别
33、式以及根与系数的关系得出方程及不等式是解题的关键22如图，图中小方格都是边长为 1 的正方形，ABC 与ABC是关于点 G 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上（1）画出位似中心点 G；（2）若点 A、B 在平面直角坐标系中的坐标分别为（2，1），（1，3），点P（m，n）是线段 AC 上任意一点，则点 P 在ABC上的对应点 P的坐标为 （2m4，2n1） 【考点】作图位似变换【分析】（1）过两组对应点作直线，两直线的交点即为所求；（2）根据点 A 和点 A 的对应点、点 B 与点 B 的对应点坐标的变化规律可得【解答】解：（1）如图，点 G 即为所求点，（2）点 A（2，1）
34、对应点坐标为（22 4，1 21）即（8，1），点 B（1，3）的对应点坐标为（ 124，231），即（2，5），点 P（m ，n ）的对应点 P的坐标为（2m4，2n 1），故答案为：（2m4，2n1）【点评】此题主要考查了位似变换以及位似图形的性质，根据题意得出 O 点位置是解题关键23如图，一块长方形铁皮的长是宽的 2 倍，四个角各截去一个正方形，制成高是 5cm，容积是 500cm3 的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽【考点】一元二次方程的应用【分析】因为本题中容器的高是 5cm，长方形铁皮的长是宽的 2 倍，所以可设这块铁皮的宽是 xcm，则长是 2xcm，容器的底面面积是（ x1
35、0）（2x 10），利用其容积是 500cm3，可列出方程，进而求出答案【解答】解：设这块铁皮的宽是 xcm，根据题意得 5（x10）（2x10）=500，解得 x1=15， x2=0（舍去），所以 x=15，2x=30，答：这块铁皮的长是 30cm，宽是 15cm【点评】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键24已知：如图，ABC 的中线 BD、CE 交于点 O（1）求证： = ；（2）求证：ABC 的三条中线交于一点【考点】三角形的重心【分析】（1）根据三角形的重心的概念和性质证明；（2）延长 AO 与 BC 相交于点 F，过点
36、 B 作 BHCE 交 AO 的延长线于 H，连接CH，证明四边形 BHCO 是平行四边形，根据平行四边形的性质证明【解答】证明：（1）ABC 的中线 BD、CE 交于点 O，点 O 是ABC 的重心， = ；（2）如图，延长 AO 与 BC 相交于点 F，过点 B 作 BHCE 交 AO 的延长线于H，连接 CH，CE 是ABC 的中线，O 是 AH 的中点，BD 是ABC 的中线，OD 是ACH 的中位线，ODCH，四边形 BHCO 是平行四边形，BF=CF，AF 是ABC 的中线，即三条中线交于一点 O【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重
37、心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍25（10 分）（2016 秋南京期末）已知二次函数 y1=ax2+bx+c 的图象可以由二次函数 y2=2x2 的图象平移得到且经过点（2， 10）和（ 0，6）（1）求二次函数 y1 的表达式，并写出此函数图象顶点 D 的坐标；（2）求二次函数 y1=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点坐标；（3）若 ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，则写出 k 的取值范围为 k8 ；（4）若 mxm+4 时， 10y 18，则 m 的值为 4 或2 【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象与几何变换【分析】（1）由二次函数 y1=ax2+bx+
38、c 的图象可以由二次函数 y2=2x2 的图象平移得到，得到 a=2，将（2，10）和（0，6）代入 y1=ax2+bx+c 得方程组，于是得到结论；（2）令 y=0，则2x 24x+6=0，解方程即可得到结论；（3）由2x 24x+6=k 有两个不相等的实数根，得到不等式即可得到结论；（4）根据题意列不等式即可得到结论【解答】解：（1）二次函数 y1=ax2+bx+c 的图象可以由二次函数 y2=2x2 的图象平移得到，a=2，将（2，10 ）和（ 0，6 ）代入 y1=ax2+bx+c 得 ，解得： ，y 1=2x24x+6；（2）令 y=0，则2x 24x+6=0，解得：x 1=1，x
39、2=3，二次函数 y1=2x24x+6 的图象与 x 轴交点坐标为（1，0），（3，0）；（3）2x 24x+6=k 有两个不相等的实数根，= （ 4） 24（2） （6 k）0，k8；故答案为：k8；（4）10 y18，10 2x24x+68，当10 2x24x+6 时，解得：4x2，mx m +4，m=4，或 m=2，当2x 24x+68 时，不符合 mx m+4m=4，或 m=2故答案为：4 或2【点评】本题考查了二次函数与 x 轴的交点，一元二次方程根的判别式，解不等式，根据题意列不等式是解题的关键26为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为 30 元/盒的某品牌粽子，根据市场预测
40、，该品牌粽子每盒售价 40 元时，每天能出售 500 盒，并且售价毎上涨 1 元，其销售量将减少 10 盒，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的 180%（1）求每天销售利润 y（元）与每盒售价 x（元）之间的函数关系式，并求每天销售利润的最大值；（2）如果超市想要每天获得利润不少于 8000 元，求售价的范围【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可得到结论；（2）根据题意，令利润等于 8000，然后再根据 y 关于 x 的关系式，从而可以解答本题【解答】解：（1）根据题意得：y=（x 3）50010（x40）=10x2+12
41、00x27000，配方得，y=10（x60） 2+9000，a 0 ，x60 时，y 随 x 的增大而减小，该品牌粽子售价不能超过进价的 180%，当 x=54 时，y 由最大值，此时， y=10（5460） 2+9000=8640，当售价为每盒 54 元时，获得的最大利润是 8640 元；（2）令 y=8000，10x 2+1200x27000=8000，解得：x 1=50， x2=70，50x70 时，y8000，x54，50x54 时，y8000，即超市想要每天获得利润不少于 8000 元，售价的范围是 50x54【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，
42、找出所求问题需要的条件27（10 分）（2016 秋南京期末）如图，已知O 过边长为 4 的正方形 ABCD顶点 A、B（1）若O 与边 CD 相似请用直尺和圆规作出O（保留作图痕迹，不写作法）；求O 的半径；（2）过点 O 作 MNAB，分别交 AB、CD 于点 M、N，O 与边 AD 交于点 E，与线段 MN 交于点 F，连接 EN、AF，当DEN 与AFM 相似时，画出图形，并在图形下方直接写出O 的半径长（注：若有多种情况，每种情况单独用一个图形表示）【考点】圆的综合题【分析】（1）如图 1 中，作线段 AB 的垂直平分线 EF，交 CD 于 F，连接AF，作线段 AF 的垂直平分线
43、MN 交 EF 于点 O，以点 O 为圆心，OA 的长为半径作O，O 即为所求如图 2 中，设O 与 AD、DC 分别交于点 E、F，FO的延长线交 AB 于 M，设 OA=x，则 AM=2，FO=x ，OM=4x，在 RtAMO 中，根据 OA2=OM2+AM2，列出方程求解即可（2）如图 3 中，当DEN MFA 时，设 AG=GE=OM=a，AE=FN=2a ，由NM=4，得 3a+r=4 在 RtAOM 中，由 OA2=OM2+AM2，得 22+a2=r2，解方程组即可解决问题如图 4 中，当O 与 CD 相切时，连接 BN只要证明DENMAN，即可解决问题【解答】解：（1）如图 1
44、中，作线段 AB 的垂直平分线 EF，交 CD 于 F，连接 AF，作线段 AF 的垂直平分线 MN 交 EF 于点 O，以点 O 为圆心，OA 的长为半径作O，O 即为所求如图 2 中，设O 与 AD、DC 分别交于点 E、F ， FO 的延长线交 AB 于 M，设OA=x，则 AM=2，FO=x，OM=4 x，在 RtAMO 中，AMD=90，OA 2=OM2+AM2，x 2=22+（4 x） 2，解得 x=2.5，O 的半径为 2.5（2）如图 3 中，当DEN MFA 时，AM=DN，DENMFA，FM=DE，AE=FN ，设O 的半径为 r，OM=a，OA=OE，OGAE，AG=GE，四边形 AMOG 是矩形，AG=GE=OM=a，AE=FN=2a，NM=4，3a+r=4 在 RtAOM 中，OA 2=OM2+AM2，
