1、1初高中数学衔接教材目 录引 入 乘法公式第一讲 因式分解1. 1 提取公因式1. 2. 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1. 3 分组分解法1. 4 十字相乘法（重、难点）1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）22 二次函数2.2.1 二次函数 yax 2bxc 的图象和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用第三讲 三角形的“四心 ”乘法公式2我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；2()abab（2）完全
2、平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；23()（2）立方差公式 ；2abab（3）三数和平方公式 ；2()ccca（4）两数和立方公式 ；33()（5）两数差立方公式 22对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算： 22(1)(1)()xxx解法一：原式= 2= 42= 6x解法二：原式= 2(1)(1)x= 3= 6例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abc22abc解： 22()()8练 习1填空：（1） （ ） ；21()943aba（2） ；(m264(m)(3 ) 2)cc2选择题：（1）若 是一个完全平方式，则 等于 （ ）2
3、xkk（A） （B） （C ） （D ）214213m216m（2）不论 ， 为何实数， 的值 （ ）ab8ab（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数第一讲 因式分解3因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x 23x 2； （2）x 24x12；（3） ； （4） ()aby1y解：（1）如图 111，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有
4、x23x2(x1)( x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个 x 用 1来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得x24x12(x2)( x6)（3）由图 114，得2)aby()ayb（4） xy (xy) 1x(x1) (y+1) （如图 1 15 所示） 课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1） _。652x（2） _。（3） _。（4） _。（5） _。ax12（6） _。8（7） _。（8） _。942m（9） _。65x（10） _。21y2、 3 x3、若 则 ， 。4baa b二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正
5、确的）1、在多项式（1） （2） （3） （4）672x 862x1072x（5） 中，有相同因式的是（ ）1A、只有（1） （2） B、只有（3） （4） 12xx图 1111211图 1122611图 113aybyxx图 11411xy图 1154C、只有（3） （5） D、 （1）和（2） ；（3）和（4） ；（3）和（5）2、分解因式 得（ ）238baA、 B、 C、 D、1ababa 1ba3 13、 分解因式得（ ）0bA、 B、 4 5C、 D、124、若多项式 可分解为 ，则 、 的值是（ ）ax3bxaA、 ， B、 ， C、 ， D、 ，10ab02102b10a2b5
6、、若 其中 、 为整数，则 的值为（ ）mx2 mA、 或 B、 C、 D、 或9939三、把下列各式分解因式1、 2、3262pqp 22365a3、 4、642y 82b2提取公因式法例 2 分解因式：（1） （2） ba52 329xx解： （1） =)1(5a（2） = =329xx3()2(3)= ()或 32321)83()8x3(1)2x 22()(x 2课堂练习：一、填空题：1、多项式 中各项的公因式是_。xyzyx46222、 _。nm3、 _。24、 _。zz5、 _。yxyx6、 分解因式得_。5236291ba7计算 = 二、判断题：（正确的打上“” ，错误的打上“”
7、）1、 （ ）ba24252、 （ ）bamba3、 （ ）52315623 xxx4、 （ ）nn3：公式法例 3 分解因式： （1） （2）64a223yx解：(1) =64a )()4()()(22 aa(2) =2yx )3(43 yxyxy 课堂练习一、 ， ， 的公因式是_。22ba23ba二、判断题：（正确的打上“” ，错误的打上“” ）1、 （ ） 1.032.1.0301.9422 xxx2、 （ ）babab4 4823、 （ ）5 654、 （ ）yxyxyx 25、 （ ）cca 五、把下列各式分解1、 2、229nm 31x3、 4、224x 24分组分解法例 4 （
8、1） （2） xyx3222456xyxy（2） =2456y()= = ()()33)或 =22xyx22()(456xyxy= ()(4)6= 36课堂练习：用分组分解法分解多项式（1） （2）byaxyx222 912642baba5关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于 x 的方程 的两个实数根是 、 ，则二次三项式20abx1x2就可分解为 .2(0)abc12x例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1） ； （2） 2 24xy解： （1）令 =0，则解得 ， ，1121 =2x()()xx= 2（2）令 =0，则解得 ， ，224xy1(2)x
9、y1(2)xy = ()xy练 习1选择题：多项式 的一个因式为 （ ）2215xy（A） （B） （C） （D ）3xy3xy5xy2分解因式：（1）x 26x8； （2）8a 3b 3；（3）x 22x1； （4） (1)(2)xyx习题 121分解因式：（1） ； （2） ； 3a439x（3） ； （4） 22bcacb2254yxy2在实数范围内因式分解：（1） ； （2） ； 253x 3x7（3） ； （4） 224xy22()7()1xx3 三边 ， ， 满足 ，试判定 的形状ABCabc22abcabcABC4分解因式：x 2x (a 2a)第二讲 函数与方程2.1 一元二次
10、方程2.1.1 根的判别式情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1） (2) (3) 032x012x032x我们知道，对于一元二次方程 ax2bx c0（a0） ，用配方法可以将其变形为 24()bacx因为 a0，所以，4a 20于是（1）当 b24ac 0 时，方程 的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1， 2 ；24bac（2）当 b24ac 0 时，方程 的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1 x2 ；（3）当 b24ac 0 时，方程 的右端是一个负数，而方程的左边 一定大于2()bxa或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，
11、一元二次方程 ax2bx c0（a0）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a 0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0 ） ，有（1） 当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2 ；4b（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根8x1x 2 ；ba（3）当 0 时，方程没有实数根例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x 23x30； （2）x 2ax1 0； （3） x2ax(a1) 0； （4）x 22xa 0解：（1）3
12、241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a 241(1)a 240，所以方程一定有两个不等的实数根， 214ax22x（3）由于该方程的根的判别式为a 241(a1)a 24a4(a 2)2，所以，当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x 21；当 a2时，0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x 2a 1（3）由于该方程的根的判别式为2 241a44a4(1 a)，所以当 0，即 4(1 a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根， ；1x2x当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根x1x 2 1；当 0，即 a1 时，方程没有实数根说明：在第 3，4
13、小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题92.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bx c0（a0）有两个实数根， ，14bx24bacx则有；2212acba2244(4)bbccx a 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2bxc 0（ a0）的两根分别是 x1，x 2，那么 x1x 2 ，x 1x2 这一bca关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为 1 的
14、一元二次方程 x2px q0，若 x1，x 2 是其两根，由韦达定理可知 x1x 2p，x 1x2q，即 p(x 1x 2)，qx 1x2，所以，方程 x2px q0 可化为 x2(x 1x 2)xx 1x20，由于 x1，x 2 是一元二次方程x2pxq0 的两根，所以， x1，x 2 也是一元二次方程 x2(x 1x 2)xx 1x20因此有以两个数 x1，x 2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是x2(x 1x 2)xx 1x20例 2 已知方程 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值56k分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根
15、但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值解法一：2 是方程的一个根，52 2k 260，k7所以，方程就为 5x27x 60，解得 x12，x 2 35所以，方程的另一个根为 ，k 的值为73解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1 ，x 1 6由 （ ）2 ，得 k7355所以，方程的另一个根为 ，k 的值为7310例 3 已知关于 x 的方程 x22(m 2)xm 240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值分析： 本题可
16、以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x1，x 2 是方程的两根，由韦达定理，得x1x 22(m 2)，x 1x2m 24x 12x 22x 1x221，(x 1x 2)23 x 1x2 21，即 2(m 2)23(m 24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或 m17当 m1 时，方程为 x26x 50， 0，满足题意；当 m17 时，方程为 x230x 2930， 30 2412930，不合题意，舍去综上，m17说明：（1）在本题的
17、解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由“ 两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例 4 已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y ，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是 x，y ，则 xy4， xy12 由，得 y4x ， 代入，得x(4 x)12，即 x24x 12 0，x 12，x
18、 26 或,y,.y因此，这两个数是2 和 6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x24x 12 0的两个根解这个方程，得x1 2，x 26所以，这两个数是2 和 6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x30 的两根（1）求| x 1x 2|的值； 11（2）求 的值；21x（3）x 13x 23解：x 1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x 30 的两根， ， 5123（1）| x 1x 2|2x 12+ x222 x 1x2(x 1x 2)24 x 1x2 253()4() 6 ，
19、49| x 1x 2| 7（2） 22211121 5325()()() 3749xx（3）x 13x 23(x 1x 2)( x12x 1x2x 22)(x 1x 2) ( x1x 2) 23x 1x2( )( )23( ) 5358说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则， ，4bac24bx| x 1x 2|224baca4|bac于是有下面的结论：若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，则| x1x 2|
20、（其中|a b2 4ac） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围解：设 x1，x 2 是方程的两根，则x1x2a40， 且 (1) 24( a4)0 由得 a4，由得 a a 的取值范围是 a4174练 习1选择题：（1）方程 的根的情况是 （ ）2230xk（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根12（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2 (2m1)xm 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 （ ）（A）m
21、（B ）m 1414（C）m ，且 m0 （D）m ，且 m0 2填空:（1）若方程 x23x 10 的两根分别是 x1 和 x2，则 12（2）方程 mx2x2m0（m0）的根的情况是 （3）以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知 ，当 k 取何值时，方程 kx2ax b0 有两个不相等的实数根？86|ab4已知方程 x23x 10 的两根为 x1 和 x2，求(x 13)( x23) 的值习题 2.1A 组1选择题:（1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2（2）下列四个说法：方程 x22x 70 的两根之和为
22、2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 ；3方程 3 x22x 0 的两根之和为2，两根之积为 0其中正确说法的个数是 （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个（3）关于 x 的一元二次方程 ax25x a 2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或12填空:（1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k （2）方程 2x2x 40 的两根为 ，则 2 2 （3）已知关于 x 的方程 x2ax 3a0 的一个根是2，则它的另一个根是（4）方程 2
23、x22x 10 的两根为 x1 和 x2，则| x 1x 2| 3试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数B 组1选择题:若关于 x 的方程 x2(k 21) xk10 的两根互为相反数，则 k 的值为 （ ）（A）1，或1 （B）1 （C）1 （D）02填空:（1）若 m，n 是方程 x22005x10 的两个实数根，则 m2nmn 2mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a 2bab
24、 2b 3 的值是 133已知关于 x 的方程 x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2(x1x 2)x 1x2，求实数 k 的取值范围4一元二次方程 ax2bx c0（a0）的两根为 x1 和 x2求：（1）| x 1x 2|和 ；（2）x 13x 235关于 x 的方程 x24x m0 的两根为 x1，x 2 满足| x 1 x2|2，求实数 m 的值C 组1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）（A） （B）3 （C ）6 （D）93（2）若 x1，x
25、2 是方程 2x24 x10 的两个根，则 的值为 （ ）12x（A）6 （B）4 （C）3 （D） 32（3）如果关于 x 的方程 x22(1m) xm 20 有两实数根 ，则 的取值范围为 （ ）（A） （B） （C） 1 （D）1 11（4）已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，那么方程 cx2( ab)x 0 的根的情况是 4c（ ）（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根2填空：若方程 x28xm0 的两根为 x1，x 2，且 3x12x 218，则 m 3 已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk 10
26、的两个实数根（1）是否存在实数 k，使(2 x1x 2)( x12 x2) 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使 2 的值为整数的实数 k 的整数值；1x（3）若 k2， ，试求 的值124已知关于 x 的方程 2()04mx（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根 x1，x 2 满足| x2| x1|2，求 m 的值及相应的 x1，x 25若关于 x 的方程 x2x a 0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围1422 二次函数2.2.1 二次函数 yax 2bxc 的图象和性质情境设置：可先让学生
27、通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1） (2) (3) 教师可采用计算机绘图软件辅助教学2xy2x32x问题 1 函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x 2，y x2，y2x 2 的图象，通过这些函数1图象与函数 yx 2 的图象之间的关系，推导出函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间所存在的关系先画出函数 yx 2，y2x 2 的图象先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 18 8 2 0 2 8 18从表中不难看出，要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2 的值扩大两倍就可以了再
28、描点、连线，就分别得到了函数 yx 2，y2x 2 的图象（如图 21 所示） ，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x 2 的图象可以由函数 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y x2，y 2x2 的图象，并研究这两个函数图象与函数 yx 2的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 y ax2(a0)的图象可以由 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在二次函数 yax 2(a0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题 2 函数 ya(xh) 2k
29、与 yax 2 的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y 2(x1)21 与 y2x 2 的图象（如图 22 所示） ，从函数的同学我们图 2.2-2xyO1y2x 2y2(x1) 2y2(x1) 21yx 2y2x 2图 2.2-1xOy15不难发现，只要把函数 y2x 2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y2(x 1)21 的图象这两个函数图象之间具有 “形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y3x 2，y3(x1) 21 的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，
30、我们可以得到以下结论：二次函数 y a(xh) 2k(a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移 ”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax 2bxc(a0)的图象的方法：由于 yax 2bxca(x 2 )ca(x 2 )cbbx42b，4()b所以，yax 2bxc(a0)的图象可以看作是将函数 yax 2 的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax 2bxc(a0)具有下列性质：（1）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向上
31、；顶点坐标为 ，对称轴为直线24(,)bacx ；当 x 时， y 随着 x 的增大而减小；当 x 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x2bb2a时，函数取最小值 y a24a（2）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向下；顶点坐标为 ，对称轴为24(,)bac直线 x ；当 x 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小；当bb2ax 时，函数取最大值 y 2a24a上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题例 1 求二次函数 y 3x26x
32、 1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何值时，y随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象解：y 3x26x13(x1) 24，函数图象的开口向下；xyOx 2baA24(,)bac图 2.2-3xyOx 2baA2(,)4bac图 2.2-4xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图 2.2516对称轴是直线 x1；顶点坐标为(1，4) ；当 x1 时，函数 y 取最大值 y4；当 x1 时， y 随着 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点 A(1，4) ，与 x 轴交于点 B 和23(,0)C ，与
33、 y 轴的交点为 D(0，1)，过这五点画出图象（如图 25 所示） 23(,0)说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确函数 y ax2 bx c 图象作图要领：（1） 确定开口方向：由二次项系数 a 决定（2） 确定对称轴：对称轴方程为 bx2（3） 确定图象与 x 轴的交点情况，若0 则与 x 轴有两个交点，可由方程x2 bx c=0 求出若=0 则与 x 轴有一个交点，可由方程 x2 bx c=0求出若0 则与 x 轴有无交点。（4） 确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标
34、为（0，c）（5） 由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图（1） (2) (3) 62xy12xy12xy例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：x /元 130 150 165y/件 70 50 35若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量 y(销售价 x120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关
35、系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 ykx （ B）将 x130，y70；x150，y50 代入方程，有7013,5kb解得 k 1，b200 yx200设每天的利润为 z（元） ，则z(x+200)(x120) x 2320x24000(x160) 21600，当 x160 时，z 取最大值 1600答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元例 3 把二次函数 yx 2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx 2 的图像，求 b，c 的值17解法一：yx 2bx c(x+ )2
36、 ，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得b4c到 的图像，也就是函数 yx 2 的图像，所以，(4)b解得 b8，c1420,4bc解法二：把二次函数 yx 2bx c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx 2的图像，等价于把二次函数 yx 2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数yx 2bxc 的图像由于把二次函数 yx 2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y( x4) 22 的图像，即为 yx 28x 14 的图像， 函数 yx 28x14 与函数 yx 2bxc 表示同一个函数，b8
37、，c14说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题例 4 已知函数 yx 2，2 xa，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论解：（1）当 a2 时，函数
38、 yx 2 的图象仅仅对应着一个点( 2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x2；（2）当2a0 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 xa 时，函数取最小值 ya 2；（3）当 0a2 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 x0 时，函数取最小值 y0；（4）当 a2时，由图 226可知，当 xa 时，函数取最大值 ya 2；当 x0 时，函数取最小值y0说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助
39、于函数图象来直观地解决问题练 习1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A）y2x 2 （B）y 2x 24x2（C）y 2x 21 （D）y 2x 24x xyO2 aa24图 2.26xyO a2 24a22 xyO aa2418（2）函数 y2( x1) 22 是将函数 y2x 2 （ ） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 （C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的2填空题（1）二次函数 y2x 2mxn 图象的顶点坐标为(1，2)，则 m ，n （2）已知二次函数 yx 2+(m2)x2m，当 m 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m 时，函数图象的顶点在 x 轴上；当 m 时，函数图象经过原点（3）函数 y3( x2) 25 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x 时，函数取
