1、初中学习网中国最大初中学习网站 CzxxW.com | 我们负责传递知识！2、2、2、1 众数、中位数、平均数讲义编写者：数学教师孟凡洲一、 【学习目标】1、理解众数、中位数、平均数在样本数据中所代表的含义；2、会运用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数.二、 【自学内容和要求及自学过程】阅读教材 7273 页内容，回答 问题（众数、中位数、平均数）什么是众数、中位数、平均数？如何绘制频率分布直方图？如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？结论：众数：在一组数据中，出现次数最多的数称为众数；中位数：在按大小顺序排列的一组数据中，居于中间的数（或中间两数的平均数）称为中位数；平均数：一
2、般是一组数据和的算术平均数.这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.画频率分布直方图的一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图.利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字.（最高矩形的中点） ；估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等；估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.小知 识 帮您理解大道理教材前面一节在调查 100 位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是
3、 2.25 t（最高的矩形的中点），它告诉我们，该市的月均用水量为 2.25 t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告 诉我们到底多多少.请大家翻回到课本看看原来抽样的数据，有没有 2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25 怎么会是众数呢？ 为什么？（请大家思考作答）这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了，而2.25 是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.初中学习网中国最大初中学习网站 CzxxW.com | 我们负责传递知识！那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？在样本数据中，有 50%的个体小于或等于中位数，也有 50%的个体大于或
4、等于中位数.因此，在频率分布直方图中，矩形的面积 大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右 边的直方图的面积应该相等 .由此可以估计出中位数的值为 2.02.2.02 这个中位数的估计值，与 样本的中位数值 2.0 不一样 ，你能解 释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）课本显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02 t 左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高， 显然， 对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.中位数不受少数几个极端值的影响， 这在某些情况下是一个 优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能 举例说明 吗？对极端值不敏感有
5、利的例子：考察课本中表 21 中的数据，如果把最后一个数据错写成 22，并不会对样 本中位数产生影响.也就是 说对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响，而在 实际应 用中，人 为操作的失误经常造成错误数据.对极端值不敏感有弊的例子:某人具有初级计算机专业技术水平，想找一份收入好的工作，这时如果采用各个公司 计算机专业技 术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险:很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低，其原因是中位数 对极小的数据不敏感.这里更好的方法是同时用平均工资和中位数来作为参考指标，选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.对极端值不敏感的方法，
6、不能反映数据中的极端情况.同样的，可以从频率分布直方 图中估计平均数，上 图就 显示了居民用水的平均数，它等于频率分布直方 图中每个小矩形的面积 乘以小矩形底边中点的横坐标之和.由估计可知，居民的月均用水量的平均 值为 2.02 t.显示了居民月均用水量的平均数，它是频率分布直方 图的“重心”.由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质.也正因为这 个原因，与众初中学习网中国最大初中学习网站 CzxxW.com | 我们负责传递知识！数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于 样本数据全体的信息 .从图上可以看出，用水量
7、最多的几个居民对平均数影响较 大， 这是因为他们的月均用水量与平均数相差太多了. 总之，众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述，可以作为总体相应特征的估计.样本众数易计算，但只能表达 样本数据中的很少一部分信息，不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中 间数据的信息，与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响， 绝对值 越大的数据，对平均数的影响也越大三者相比，平均数代表了数据更多的信息，描述了数据的平均水平，是一组数据的 “重心”.三、 【综合练习与思考探索】例 1、 若 M 个数的平均数是 X，N 个数的平均数是 Y，则这M+N 个数的平均数是_；如果两组数 x1，x 2，
8、x n 和 y1，y 2，y n 的样本平均数分别是 x 和 y，那么一组数 x1+y1，x 2+y2，x n+yn 的平均数是_结论： ； .NYX例 2、某校高一年级的甲、乙两个班级（均为 50 人）的语文测试成绩如下（总分：150 分） ，试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些甲班：112 86 106 84 100 105 98 102 94 10787 112 94 94 99 90 120 98 95 119108 100 96 115 111 104 95 108 111 105104 107 119 107 93 102 98 112 112 9992 102 93 84
9、94 94 100 90 84 114乙班：116 95 109 96 106 98 108 99 110 10394 98 105 101 115 104 112 101 113 96108 100 110 98 107 87 108 106 103 97107 106 111 121 97 107 114 122 101 107107 111 114 106 104 104 95 111 111 110结论：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平，因此，分别求出甲、乙两个班的平均分即可用计算器分别求出甲班的平均分为101.1，乙班的平均分为 105.4，故这次考试乙班成绩要好于甲班
10、例 3、从甲、乙两个公司各随机抽取 50 名员工月工资：初中学习网中国最大初中学习网站 CzxxW.com | 我们负责传递知识！甲公司：800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 2001 2001 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2001 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 5001 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1
11、500 2 000 2 000 2 0002 000 2 000 2 500 2 500 2 500乙公司：700 700 700 700 700 700 700 700 700700 700 700 700 700 700 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 0001 000 1 000
12、 6 000 8 000 10 000试计算这两个公司 50 名员工月工资平均数、众数、中位数，并估计这两个企业员工平均工资.结论：甲公司：员工月工资平均数 1 240，众数 1 200，中位数 1 200；乙公司：员工月工资平均数 1 330，众数 1 000，中位数 1 000；从总体上看乙公司员工月工资比甲公司少，原因是乙公司有几个收入特高的员工影响了工资平均数.拓展提升小知 识 帮您解决大 问题“用数据说话” ， 这是我们经 常可以听到的一句话.但是，数据有时也会被利用，从而产生误导.例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达
13、到几十万元.这时，年收入的平均数会比中位数大得多.尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市 场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问.你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释?这句话的目的是谨防利用人们对统计术语的模糊认识进行误导(蒙骗).使学生能够正确理解在日常生活中像“我们单位的收入水平比别的单位高”这类话的模糊性，这里的“ 收入水平”是指员工收入数据的某个中心点，即可以是中位数、平均数或众数，不同的解释有不同的含义.在这里应该注意以下几点:1.样本众数通常用来表示分类变量的中心值，容易 计算，但是它只能表达样本数据中的很少一部分信
14、息，通常用于描述分类变量的中心位置 .初中学习网中国最大初中学习网站 CzxxW.com | 我们负责传递知识！2.中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据) 的影响，容易计算，它仅利用了数据中排在中 间数据的信息.当样本数据 质量比较差，即存在一些错误数据(如数据的 录入错误、测量错误等)时，应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值，可以利用 计算机模拟样 本，向学生展示错误数据对样本中位数的影响程度.3.平均数受样本中的每一个数据的影响， “越离群”的数据，对平均数的影响也越大.与众数和中位数相比，平均数代表了数据更多的信息 .当样本数据质量比较差时，使用平均数描述数据的中
15、心位置可能与实际 情况产生较大的误差.可以利用计算机模拟样本，向学生展示 错误数据对样 本平均数的影响程度.在体育、文艺等各种比 赛的评分中，使用的是平均数.计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分 ”的方法，就是 为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量保证公 平性.4.如果样本平均数大于样本中位数， 说明数据中存在许多 较大的极端值; 反之，说明数据中存在许多较小的极端 值.在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我 们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策.5.使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置，从而产生一些误导作用 .四、 【作业】1、必做题：习题 2.2A 组 3.2、选做题：总结本节所学知识，形成文字到笔记本上 .
