1、期末复习(二) 勾股定理01 知识结构勾股定理 勾 股 定 理 直 角 三 角 形 边 长 的 数 量 关 系互 逆 定 理勾 股 定 理 的 逆 定 理 直 角 三 角 形 的 判 定 )02 典例精讲命题点 1 勾股定理的证明【例 1】 以图 1 中的直角三角形 为基础，可以构造出以 a、b 为底，以 ab 为高的直角梯形(如图2)，请你利用图 2，验证勾股定理来源:学优高考网图 1 图 2【思路点拨】 利用梯形面积的两种算法列出等式证明【解答】 RtABERtECD ，AEBEDC.又EDCDEC90，AEBDEC90.AED90.S 梯形 ABCDS RtABES RtDECS RtA
2、ED， (ab)(ab) ab ab c2.12 12 12 12整理得 a2b 2c 2.来源:gkstk.Com【方法归纳】 勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积1如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是 a、b，斜边长为 c)和一个边长为 c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形(1)画出拼成图形的示意图；(2)证明勾股定理解：(1)如图(2)证明：用大正方形的面积证明c2(b a)24 abb 2a 2.12命题点 2 勾股定理与逆定理【例 2】 如图，每个小正方形的 边长为 1.(1)求四边形 ABCD 的周长
3、；(2)求证：BCD90.【思路点拨】 (1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出BCD 的三边长，利用勾股定理的逆定理证明【解答】 (1)根据勾股定理可知：AB3 ，BC ，CD ，AD5 ，2 34 34 2四 边形 ABCD 的周长8 2 .2 34(2)证明：连接 BD.BC ，CD ，DB 2 ，34 34 17BC2CD 2BD 2.BCD 是直角三角形，即BCD90.【方法归纳】 正方格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出勾股定理的逆定理是证明一个角等于 90的一种思路本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明2(白银中考)等腰ABC 中，ABAC10 cm，BC1
4、2 cm，则 BC 边上的高是 8cm.3如图，已知：在正方形 ABCD 中，E 是 BC 中点，F 在 AB 上，且 AFFB31.请判断 EF 与DE 的位置关系，与同学交流 ，并说明理由解：EF 与 DE 垂直，即 EFDE.理由如下：连接 DF，设正方形边长为 a，则ADDCa，AF a，BF a，BEEC a.34 14 12在 RtDAF 中，DF 2AD 2AF 2 a2.2516在 RtCDE 中，DE 2CD 2CE 2 a2.54在 RtEFB 中， EF2FB 2BE 2 a2.516DE2EF 2 a2 a2 a2DF 2，54 516 2516DFE 为直角三角形 E
5、FDE.命题点 3 勾股定理在实际生活问题中的应用【例 3】 如图，小丽想知道自家 门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点 A，在点 A 的对岸选取一个参照点 C，测得CAD30 ；小丽沿岸向前走 30 m 选取点B，并测得CBD60.请根据以上数据 ，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度【思路点拨】 过点 C 作 CEAD 于点 E.设 BEx，先根据等腰三角形的判定得出 BC 的长，再在 RtBCE 中，利用勾股定理和直角三角形中 30角的性质求出 x 的值即可【解答】 过点 C 作 CEAD 于点 E.由题意得，AB30 m，CAD 30，CBD 60 ，
6、ACBCAB30.ABBC30 m.设 BEx，在 RtBCE 中，CBD60，BC30，来源:学优高考网BCD30.BC2x，则 CE x.3又BC 2BE 2CE 2，即 900x 23x 2.解得 x15，则 CE15 m.3答：小河的宽度为 15 m.3【方法归纳】 利用勾股定理解决生活中的实际问题 ，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形，再合理地设出未知数，利用勾股定理求解4如图所示，某三条公路的交叉地带是一个三角形，经测量这个三角形的三边长分别是 AC130 m，BC140 m ，AB 150 m ，市政府准备将其规划为绿 化用地，请求出这块绿化地的面积解：过点 A 作 BC 边
7、上的高 AD.设 BDx，则 CD140x.在 RtABD 中，AD 2AB 2BD 2150 2x 2.在 RtACD 中，AD 2AC 2CD 2130 2(140x) 2.1502 x2130 2(140x) 2.解得 x90.来源:学优高考网AD 120.1502 x2SABC BCAD 1401208 400( m2)12 12答：这块绿化地的面积为 8 400 m2.命题点 4 图形的折叠与勾股定理【例 4】 如图，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上点 F 处，已知CE3，AB8，则 BF6.【思路点拨】 在 RtEFC 中，先根据折叠的性质和勾股
8、定理求出 CF 的长再设 BFx，并用含 x 的代数式表示出 AF，在 RtABF 中，利用勾股定理即可求出 BF 的长【方法归纳】 解决有关折叠的问题时 ，通常利用勾股定理这个等量关系建立方程5(安徽中考)如图，Rt ABC 中，AB9，BC6，B 90，将ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为( C)A. B. C4 D553 5203 期末复习卷一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1有六根细木棒，它们的长度分别为 2、4、6、8、10、12(单位：cm) ，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为(C)A2
9、、4、8 B4、8、10C6、8 、10 D8、10、122在 RtABC 中，C90，已知 ab34，c 15，则 a 等于(B)A8 B9 C12 D133下列各命题的逆命题成立的是(C)A全等三角形的对应角相等B如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C两直线平行，同位角相等D如果两个角都是 45，那么这两个角相等4要登上 12 m 高的建筑物， 为了安全需使梯子底端离建筑物 5 m，则梯子的长度至少为(B)A12 m B13 m C14 m D15 m5下列选项中，不能用来证明勾股定理的是(D )6如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 是( A)A直角三角形 B锐角三角
10、形C钝角三角形 D以上答案都不 对7如图，ABC 和DCE 都是边长为 4 的等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，连接 BD，则 BD 的长为(D)A. B2 C3 D43 3 3 38已知 a，b，c 是三角形的三边长，如果满足(a6) 2 0，那么下列说法中不正确b 8 |c 10|的是(C)A这个三角形是直角三角形B这个三角形的最长边长是 10C这个三角形的面积是 48D这个三角形的最长边上的高是 4.89设 a、b 是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为 6，斜边长为 2.5，则 ab 的值是(D )A1.5 B2 C2.5 D310(荆州中考)如图，已知圆柱底面的周长
11、为 4 dm，圆柱高为 2 dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属 丝的周长最小为(A)A4 dm2B2 dm2C2 dm5D4 dm5二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)11如果三角形的三边分别为 ， ，2，那么这个三角形的最大角的度数为 90.2 612如图，数轴上点 A 表示的数是 .213(无锡中考)如图，ABC 中，CD AB 于 D，E 是 AC 的中点，若 AD6，DE5，则 CD 的长等于 8来源:gkstk.Com14已知|x12|(y 13) 2 和 z210z25 互为相反数，则 x，y，z 为三边的三角形是直角三角形15(滨州中考)如
12、图，在平面直角坐标系中，将长方形 AOCD 沿直线 AE 折叠( 点 E 在边 DC 上)，折叠后顶点 D 恰好落在边 OC 上的点 F 处，若点 D 的坐 标为(10 ，8)，则点 E 的坐标为(10，3) 16如图，在离水面高度为 5 m 的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为 30，此人以每秒 0.5 m 收绳则当收绳 8 秒后船向岸边移动了(5 )m(结果保留根号)3 11三、解答题(共 52 分)17(8 分) 如图，已知某山的高度 AC 为 800 米，从山上 A 处与山下 B 处各建一个索道口，且BC1 500 米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车 每分钟走 5
13、0 米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？解：根据已知可得ACB90.在 RtABC 中，根据勾股定理，得 AB 1 700( 米)AC2 BC2 8002 1 50021 7005034(分钟)答：大约 34 分钟后，欢欢才能达到山顶18(10 分) 已知，如图，以ABC 中，C60，AB14 ，AC10，AD 是 BC 边上的高，求 BC的长解：C60 ，AD 是 BC 边上的高，CAD30.AC10，CD5.AD 5 .BD 11.3 AB2 AD2BC51116.19(10 分) 在ABC 中，am 2n 2，b2mn，cm 2n 2，其中 m，n 是正整数，且 mn，试判断ABC
14、 是否是直角三角形解：m，n 是正整数，且 mn，cb，ca.a2b 2(m 2n 2)2(2mn) 2m 42m 2n2n 44m 2n2m 42m 2n2n 4.又c 2(m 2 n2)2m 42m 2n2n 4，a2b 2c 2.ABC 是直角三角形20(12 分) 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中 A 和DBC 都应为直角工人 师傅量得这个零件各边尺寸如图 2 所示：图 1 图 2(1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？(2)求这个零件的面积解：(1)这个零件符合要求AB2AD 23 24 225，BD 25 225，AB2AD 2BD 2.A90.又BD 2BC 25
15、212 2169，DC213 2169，BD2BC 2DC 2.DBC90.(2)由(1)知A90，DBC90，这 个零件的面积为：34 51236.12 1221(12 分) 如图，一根长度为 50 cm 的木棒的两端系着一根长度为 70 cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？解：分两种情况：(1)如图 1，当B 90时，设 BCx m，则 AC(70x) m.在 RtABC 中，AC 2AB 2 BC2，即(70x) 250 2x 2，解得 x ，1207则 AC70x .3707答：该点将绳子分成长度分别为 cm 和 cm 的两段1207 3707(2)如图 2，当C 90时，根据勾 3 股 4 弦 5 可知这两段绳子的长度分别为 30 cm 和 40 cm.
