1、解码专训一：分式的意义及性质的巧用名师点金：1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义分母为零；(2)分式有意义分母不为零；( 3)分式值为零 分子为零且分母不为零 ；(4)分式值为正数 分子、 分母同号；( 5)分式值为负数 分子、 分母异号2分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础 分式的识别1在 ， ， ，2m， ， 中，不是分式的式子有( )3x4x 2 5x2 7 4x 25 x2 1 2m2m个A1 B2 C3 D42请你从 a 1，3，2，x 25 中任选 2 个构成分式，共有_个分式有无意义的条件3无论 a 取何值，下列分式总有意义的
2、是( )A. B. C. D.a 1a2 a 1a2 1 1a2 1 1a 14当 x_时，分式 无意义x 1x2 15已知不论 x 为何实数，分式 总有意义，试求 m 的取值范围3x 5x2 6x m分式值为正、负数或 0 的条件6若 的值为正数，则 x 的取值范围是( )x 2x2 2x 1Ax2 Bx1Cx 2 且 x1 Dx17(中考 常德 )若分式 的值为 0，则 x_x2 1x 18已知分式 的值为 0，求 a 的值及 b 的取值范围a 1a2 b2分式的基本性质及其应用9下列各式正确的是( )A. B. ab a2b2 ab aba bC. D. ab a cb c ab abb
3、210要使式子 从左到右变形成立，x 应满足的条件是( )1x 3 x 2x2 x 6Ax2 Bx2Cx 2 Dx211已知 0，求 的值x4 y6 z7 x 2y 3z6x 5y 4z来源:gkstk.Com12已知 xyz 0，xyz0，求 的值x|y z| y|z x| z|x y|解码专训二：分式运算的八种技巧名师点金：分式的加减运算中起关键作用的就是通分但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常达到事半功倍、化繁为简的效果约分计算法1计算： .a2
4、6aa2 3a a2 9a2 6a 9顺次相加法2计算： .1x 1 1x 1 2xx2 1 4x3x4 1整体通分法3计算：a 2 .4a 2换元通分法4计算：(3m2n) (3m2n) 2 .（3m 2n）33m 2n 1 2n 3m3m 2n 1裂项相消法 (即 1n（n 1） 1n 1n 1)5计算： .1a（a 1） 1（a 1）（a 2） 1（a 2）（a 3） 1（a 99）（a 100）整体代入法6已知 ， ， ，求 的值1a 1b 16 1b 1c 19 1a 1c 115 abcab bc ac倒数求值法7已知 1，求 的值xx2 3x 1 x2x4 9x2 1消元法8已知
5、 4x3y6z 0， x2y7z 0，且 xyz0，求 的5x2 2y2 z22x2 3y2 10z2值解码专训三：分式求值的方法与技巧名师点金：分式的求值既突出了式子的化简计算，又考查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点，灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果常见的分式求值技巧有：设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值、化简求值等直接代入法求值1(中考 鄂州 )先化简，再求值： ，其中 a 1.(2a 1 a 2a2 1) aa 1 2活用公式求值2已知 x25x10，求 x4 的值1x43已知 xy12，xy9，求 的值x2 3xy y2x2y xy2整体代入法求值4(中
6、考 乌鲁木齐 )先化简，再求值： ，其中 a(a 2a2 2a 1 aa2 4a 4) a 4a满足 a24a10.巧变形法求值5已知实数 x 满足 4x24x10，求 2x 的值12x设参数求值6已知 0，求 的值x2 y3 z4 x2 y2 2z2xy yz xz解码专训四：巧用分式方程的解求字母的值名师点金：巧用分式方程的解求字母的值主要体现在以下几方面：(1)利用方程解的定义求字母的值，解决这类问题的方法是将其解代入分式方程，即可求出待定字母的值；(2) 利用分式方程有解、有增根、无解求字母的取值范围或值时，一般都是列出关于待定字母的不等式或方程，通过解不等式或方程得到字母的取值范围或
7、值利用分式方程解的定义求字母的值1已知关于 x 的分式方程 与分式方程 的解相同，求2x 4 mx 32x 1x 1m22m 的值利用分式方程有解求字母的取值范围2若关于 x 的方程 2 有解，求 m 的取值范围x 2x 3 mx 3利用分式方程有增根求字母的值3若关于 x 的方程 2 有增根，则 m _. xx 1 m1 x4若关于 x 的方程 有增根，则增根是多少？并求方程mx2 9 2x 3 1x 3产生增根时 m 的值利用分式方程无解求字母的值5(中考 东营 )若关于 x 的方程 a 无解，则 a 的值为_x ax 16已知关于 x 的方程 m4 无解，求 m 的值x 4x 3 m3
8、x7已知关于 x 的分式方程 1.x ax 2 5x(1)若方程的增根为 x2，求 a 的值；(2)若方程有增根，求 a 的值；(3)若方程无解，求 a 的值解码专训五：六种常见的高频考点热门题名师点金：本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现分式方程是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中分式的识别与求解1已知代数式 .a2 b2a b(1)是分式，还是整式？(2)若 a3，b2，求 的值a2 b2a b(3)当 a，
9、b 具有怎样的关系时，代数式无意义？(4)当 a，b 具有怎样的关系时，代数式的值为 0?来源:gkstk.Com运用分式的基本性质化简求值2化简求值： ，其中 x2，y3.4x2 8xy 4y22x2 2y2分式的有关运算3(中考 临沂 )计算： _aa 2 4a2 2a4化简： (m1)_(1 1m 1)5计算下列各题(1) ；4aa2 1 1 a1 a 1 a1 a(2) .mm 3 69 m2 2m 3分式方程的增根6若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值1x 1 mx 2 2m 2（x 1）（x 2）解分式方程7(中考 菏泽 )解分式方程： 1.2x2 4 xx 2分式方程的应用8
10、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务，这是记者与驻军工程指挥官的一段对话(如图)：(第 8 题)通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数解码专训六：思想方法荟萃名师点金：本章涉及的思想方法有：数形结合思想、方程思想、整体思想、消元思想、类比思想等在分式的学习过程中，若能灵活运用这些思想方法，往往会给你带来意想不到的效果数形结合思想1如图，点 A，B 在数轴上，它们所对应的数分别是 4， ，且点2x 23x 5A，B 到原点的距离相等，求 x 的值(第 1 题)方程思想2已知 ，求 A，B 的值 来源:学优高考网3x 5（x 1）（x 2） Ax 1
11、 Bx 2整体思想3已知实数 a 满足 a24a80，求 的值1a 1 a 3a2 1a2 2a 1a2 6a 94已知 ax 22 013，bx 22 014，cx 22 015，且 abc24，求 cab 的值bac abc 1a 1b 1c消元思想5已知 2x3yz 0， 3x2y6z 0，且 z0，求 的值x2 y2 z22x2 y2 z2类比思想6观察下面一类分式方程的解的规律：x 3 ，x 13，x 2 ；2x 23 23x 4 ，x 14，x 2 ；2x 24 24.(1)若 x a (a0)，猜想 x1_，x 2_；2x 2a(2)试用求出关于 x 的方程 x a (a0)的解
12、的方法，证明你的猜想；2x 2a(3)利用你猜想的结论，解关于 x 的方程 x aError! (a1)2x 1答案解码专训一1C 点拨： ，2m， 不是分式4x 25 x2 126 点拨：以 a1 为分母，可构成 3 个分式；以 x25 为分母，可构成3 个分式，所以共可构成 6 个分式3B 4.15解：x 26xm(x3) 2(m9) 因为(x 3) 2 0，所以当 m90，即 m9 时，x 26xm 始终为正数，分式总有意义6C 点拨：x 22x1(x1) 2.因为已知分式的值为正数，所以x20，x10.解得 x2 且 x1.71 点拨：由题意得 x210，x10，解得 x1.8解：因为
13、分式 的值为 0，所以 a10 且 a2b 20.解得 a1 且a 1a2 b2b1.9D 10.D11解：设 k(k0)，则 x4k，y6k，z7k.所以 x4 y6 z7 x 2y 3z6x 5y 4z .4k 26k 37k64k 56k 47k 37k22k 372212解：由 xyz 0， xyz0 可知，x，y，z 必为两正一负或两负一正当 x，y，z 为两正一负时，不妨设 x0，y 0，z 0，则原式 x| x| 1111 ；当 x，y，z 为两负一正时，不妨设y| y| z| z|x0，y0，z 0，则原式 1111.x| x| y| y| z| z|解码专训二1解：原式 a（
14、a 6）a（a 3） （a 3）（a 3）（a 3）2 .a 6a 3 a 3a 3 9a 3点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可使计算过程简化2解：原式 x 1x2 1 x 1x2 1 2xx2 1 4x3x4 1 2xx2 1 2xx2 1 4x3x4 1 2x（x2 1） 2x（x2 1）（x2 1）（x2 1） 4x3x4 1 4x3x4 1 4x3x4 1 4x3（x4 1） 4x3（x4 1）（x4 1）（x4 1）.8x7x8 1点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的
15、方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑3解：原式 a 21 4a 2 a2 4a 2 4a 2 .a2a 2点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式的分母看成“1”，然后通分相加减4解：设 3m2nx，则原式x x 2 x3x 1 xx 1x（x2 1） x3（x 1） x2（x2 1） x（x 1）（x 1）（x 1） 2x（x 1）（x 1）.2（2n 3m）（3m 2n 1）（3m 2n 1）5解：原式 1a 1a 1 1a 1 1a 2 1a 2 1a 3 1a 99 1a 100 1a 1a 100.100a（a 100）点拨：对于分子是 1，
16、分母是相差为 1 的两个整式的积的分式相加减，常用 进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项1n（n 1） 1n 1n 16解： ， ， ，1a 1b 16 1b 1c 19 1a 1c 115上面各式两边分别相加，得 2 ，(1a 1b 1c) 16 19 115所以 .1a 1b 1c 31180易知 abc0，所以 .abcab bc ac abcabc（ab bc ac）abc 11c 1a 1b 180317解：由 1，知 x0，xx2 3x 1所以 1.所以 x3 1，即 x 2.x2 3x 1x 1x 1x因为 x 29 117，x4 9x2 1x2 1x2 (x 1x)2 所以
17、 .x2x4 9x2 1 178解：以 x，y 为主元，将已知的两个等式化为 4x 3y 6z，x 2y 7z. )所以 x3z， y2z(z0)所以原式 13.59z2 24z2 z229z2 34z2 10z2点拨：此题无法直接求出 x，y，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值来源:学优高考网 gkstk解码专训三1解：原式( )2a 1 a 2（a 1）（a 1） a 1a 2（a 1） （a 2）（a 1）（a 1） a 1a .3a 1当 a 1 时，原式 .232 1 1 3222解：由 x25x10 得
18、 x0，x 5.1xx 4 2 2527.1x4 (x2 1x2)2 (x 1x)2 22 点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答3解：x2 3xy y2x2y xy2x2 2xy y2 xyxy（x y）（x y）2 xyxy（x y）因为 xy12，xy9，所以原式 .122 9912 17124. 解：原式 .（a 2）（a 2） a（1 a）a（a 2）2 aa 4 1（a 2）2由 a24a10，得(a2) 25，代入上式，结果为 .155解：4x 24x10，(2x 1)2 0，2x1.原式1 2.116解：设 k0，则 x2k，y3k，
19、z4k.x2 y3 z4所以x2 y2 2z2xy yz xz（2k）2 （3k）2 2（4k）22k3k 3k4k 2k4k .27k226k2 2726解码专训四1解：解分式方程 ，得 x3.将 x3 代入 ，得 .解32x 1x 1 2x 4 mx 27 m3得 m .m 22m 2 .67 (67)2 67 48492解：去分母并整理，得 xm40.解得 x4 m.分式方程有解，x4m 不能为增根又原方程若有增根，则增根为 x3，4m3.解得 m1.当 m1 时，原分式方程有解314. 解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x3)(x3)0，所以 x3 或 x3 是原方程的增根
20、原方程两边同乘(x3)(x 3) ，得 m2(x3)x3.当 x3 时，m2(33)33，解得 m6；当 x3 时，m2(33)33，解得 m12.综上所述，当原方程的增根是 x3 时，m6；当原方程的增根是 x3时，m12.点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的 m 的值51 或16解：原方程可化为(m3)x4m8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无实根，则 m30 且 4m80，此时 m3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则 3，解得 m1.经检验，4m 8m 3m1 是方程 3 的解4m 8m 3综
21、上所述，m3 或 1.7解：(1)原方程去分母并整理，得(3a)x 10.因为原方程的增根为 x2，所以(3a) 210.解得 a2.(2)因为原分式方程有增根，所以 x(x2) 0.解得 x0 或 x2.因为 x0 不可能是整式方程(3a)x 10 的解，所以原分式方程的增根为x2.所以(3 a)210.解得 a2.(3)当 3a0，即 a3 时，整式方程(3a)x10 无解，则原分式方程也无解；当 3a0 时，要使原方程无解，则由 (2)知，此时 a2.综上所述，a3 或2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于 0 的整式方程的解分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于 0
22、 或整式方程无解来源:学优高考网解码专训五1解：(1)是分式(2) ab，当 a3，b2 时，原式1.a2 b2a b （a b）（a b）a b(3)当 ab 时，代数式无意义(4)当 ab 时，代数式的值为 0.2解：原式 .4（x y）22（x y）（x y） 2（x y）x y当 x2，y3 时，原式 .2（2 3）2 3 253. 4.ma 2a5解：(1)原式 4a（a 1）（a 1） （a 1）2（a 1）（a 1） （a 1）（1 a）（a 1）（a 1）4a （a 1）2 （a 1）2a2 10.(2)原式 mm 3 6（3 m）（3 m）m 32 mm 3 3m 31.6解
23、：将分式方程去分母得：x2m(x1)2m2，因为方程有增根，所以 x1 或 x2.把 x1 代入 x2m(x1)2m2 得 m ，把 x2 代32入 x2m(x1) 2m 2，得 m2，所以 m 的值是2 或 .327解：方程两边同时乘 x24，得 2x(x2)x 24，解得 x3.经检验，x3 是原方程的解8解：设原来每天加固 x 米，根据题意得 9，解得600x 4 800 6002xx300.检验：当 x300 时，2x0(或分母不等于 0)，x300 是原方程的解，故该地驻军原来每天加固 300 米点拨：解决与对话有关的实际问题，应根据对话的内容确定相等关系，根据相等关系列出方程解码专
24、训六1解：由题意得 4.去分母，得 2x24(3x5)解得 x2.2，经2x 23x 5检验，x2.2 是原方程的根所以 x 的值是 2.2.点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上 A，B 两点的位置情况并结合已知条件“点 A，B 到原点的距离相等”可知， A，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出 x 的值2解： ，3x 5（x 1）（x 2） Ax 1 Bx 2 .3x 5（x 1）（x 2） A（x 2） B（x 1）（x 1）（x 2） （A B）x （2A B）（x 1）（x 2）解得A B 3，2A B 5.) A 83，B 13.)点拨：本题先将等式的右边通分，然
25、后根据两个分式相等，分母相等，则分子相等，构建关于 A，B 的二元一次方程组，即可求出 A，B 的值，体现了方程思想的运用3解：原式 1a 1 a 3（a 1）（a 1） （a 1）2（a 3）2 1a 1 a 1（a 1）（a 3） .由 a24a 80 得 a2 4a8，故原式 .4（a 1）（a 3） 4a2 4a 3 411点拨：本题根据已知条件求出 a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子4解：a x22 013，bx 22 014，cx 22 015，ba 1，c b 1，ca2.又abc24， cab bac abc 1a 1b 1c c2 b2 a2 bc
26、ac ababc .（a b）2 （a c）2 （b c） 22abc 1 4 148 18点拨：本题利用了整体思想由已知条件，分别求出 ba，c b 及 ca的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加减运算法则计算，分子利用完全平方公式变形后，将 ba，c b，ca 及 abc 的值整体代入计算，即可求解5解：由 2x3yz 0 ，3x2y6z 0，z0，得到 解2x 3y z，3x 2y 6z. )得 所以原式 .x 4z，y 3z.) 16z2 9z2 z232z2 9z2 z2 1320点拨：本题将 z 看成已知数，解方程组求出 x 与 y，然后代入原式消去x，y 这两个未知数，从而简便求值，体现了消元思想6解：(1)a；2a(2)x a (a0)，ax 22a a 2x2x.ax 2(a 22)x2a 0，即2x 2a(xa)(ax 2)0.x 1a，x 2 .经检验，x 1a，x 2 均是原方程的根2a 2a(3)原方程可化为 x1 a 1 .x1 a1 或 x1 .2x 1 2a 1 2a 1x 1a，x 2 .经检验， x1a，x 2 均是原方程的根a 1a 1 a 1a 1点拨：本题先观察规律，然后由猜想到论证，并依此规律解决相关问题体现了归纳、类比思想在解方程中的应用
