1、专项训练一：锐角三角函数的计算名师点金：锐角三角函数求值大致分为两类：一是求一般锐角三角函数值，二是求特殊锐角三角函数值，在解题过程中要根据已知条件，采取灵活的方法求一般锐角三角函数值类型 1：根据边的比值求函数值1在 RtABC 中，C 90，BC3，AC6，则cosB_，tanA_2直角三角形纸片 ABC 的两直角边长分别为 6，8.现将ABC 按如图所示的方式折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则 tanCBE 的值是_(第 2 题)类型 2：巧用网格或平面直角坐标系求锐角三角函数值3如图，将AOB 放置在 55 的正方形网格中，则 tanAOB 的值是( )A. B. C.
2、D.23 32 21313 313134如图，在平面直角坐标系中，点 P(3，m)是第一象限内的点，且 OP 与x 轴正半轴的夹角 的正切值为 ，则 sin 的值为( )43A. B. C. D.45 54 35 53(第 3 题)(第 4 题)(第 5 题)5如图，A，B，C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB 绕点 A 逆时针旋转得到ACB ，则 tanB的值为( )A. B. C. D.12 13 14 24类型 3：借助计算器求锐角三角函数值6用计算器求下列各式的值(结果精确到 0.000 1)(1)sin89；(2) cos45.32；(3)tan602541；(4)sin672
3、835.求特殊三角函数值类型 1：利用特殊锐角三角函数值进行简单的计算7求下列各式的值(1)2sin30 cos45；2(2)tan30sin60 sin30.类型 2：逆用特殊锐角三角函数值求角的度数8在ABC 中，如果 A，B 满足| tanA1| 0，那么(cosB 12)2 C _9求满足下列条件的锐角 .(1)sin2 ； (2)6cos(16)3 .22 3类型 3：巧用特殊锐角三角函数值求一般三角函数值10求 sin15，cos15 ，tan15的值专项训练二：三角函数与几何的综合名师点金：三角函数并不仅仅体现在直角三角形中，对于非直角三角形或其他图形中求三角函数值，往往转化到直
4、角三角形中去求，同时三角函数通常和几何图形中的三角形、四边形、相似形等综合考查，如求线段的长度、角的度数、某些角的三角函数值、几何图形的面积等三角函数与三角形的综合1(学科内综合题) 如图所示，在ABC 中，ADBC 于点 D，点 E 是 AC边的中点，BC 14，AD 12，sin B ，求：45(1)线段 DC 的长；(2)tanEDC 的值(第 1 题)三角函数与四边形的综合2如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于点 E，cos A ，BE4，求35tanDBE 的值(第 2 题)3如图，在四边形 ABCD 中，C60，B D 90 ，AD2AB ，CD3，求 BC 的长(第 3 题)
5、三角函数与相似形的综合4如图，矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 P，且 AD ，BP ，以点 P 为53 45直角顶点的直角三角形的两条直角边分别交线段 DC，BC 于点 E，F，连结EF，求 tan PEF 的值(第 4 题)5如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD5，P 是射线 BC 上的一个动点，过点 P 作 PEAP ，交射线 DC 于点 E，射线 AE 交射线 BC 于点 F，设 BPa.(1)当点 P 在线段 BC 上时 (点 P 与点 B，C 都不重合)，试用含 a 的代数式表示 CE；(2)当 a3 时，连结 DF，试判断四边形 APFD 的形状，并说明理由；(3)当 t
6、anPAE 时，求 a 的值12(第 5 题)专项训练三：三角函数与一次函数、反比例函数的综合名师点金：三角函数与一次函数、反比例函数的综合，一般是先根据三角函数关系式求出相关线段的长，然后由函数图象与几何图形的相交情况建立方程(组)，求得函数解析式从而求出点的坐标、线段长度、图形的面积等；反之，也有的根据函数解析式求出需要的线段的长，进而求得必要的三角函数值，以便于解决函数或几何中的其他问题三角函数与一次函数的综合1如图，已知 A 点坐标为(5，0)，直线 yxb(b0)与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，连结 AB，75，求 b 的值(第 1 题)2如图，在平面直角坐标系中，已知A
7、BC 是直角三角形，ACB 90，A( 3， 0)， C(1，0)，tan BAC .34(1)写出过点 A，B 的直线对应的函数解析式；(2)在 x 轴上找一点 D，连结 DB，使得ADB 与ABC 相似(不包括全等) ，并求点 D 的坐标(第 2 题)三角函数与反比例函数的综合3如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y 的图象上，第二象限2x内 的点 B 在反比例函数 y 的图象上，且 OAOB ，cosBAO ，求 k 的kx 33值(第 3 题)4(14济南)如图，反比例函数 y (x0)的图象经过点 A(2 ，1)，射线kx 3AB 与反比例函数的图象交于另一点 B(1，a)，
8、射线 AC 与 y 轴交于点C， BAC75 ，ADy 轴，垂足为 D.(1)求 k 的值；(2)求 tanDAC 的值及直线 AC 的解析式(第 4 题)专项训练四：思想方法荟萃名师点金：本章主要学习了锐角三角函数、解直角三角形及其应用，体现的主要思想方法有：方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等方程思想1(中考 南充 )马航 MH370 失联后，我国政府积极参与搜救某日，如图，我国两艘专业救助船 A，B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物 P 在救助船 A 的北偏东 53.5方向上，在救助船 B 的西北方向上，船 B 在船 A 正东方 向 140 海里处(参考数据：sin
9、36.50.6，cos 36.50.8，tan 36.50.74)(1)求可疑漂浮物 P 到 A，B 两船所在直线的距离；(2)若救助船 A、救助船 B 分别以 40 海里/时，30 海里/ 时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达 P 处(第 1 题)分类讨论思想2一条东西走向的高速公路上有两个加油站 A， B，在 A 的北偏东 45方向还有一个加油站 C，C 到高速公路的最短距离 CD 是 30 千米，B，C 间的距离是 60 千米，想要经过 C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P 到 B，C 的距离相等，请求出交叉口 P 到加油站 A 的距离(结果保留根
10、号)转化思想3如图所示，已知四边形 ABCD，ABC 120 ，ADBA，CDBC ，AB30 ，BC50 ，求四边形 ABCD 的面积3 3(第 3 题)数形结合思想4(中考 铁岭 )如图所示，某工程队准备在山坡( 山坡视为直线 l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即 tan 的值测量员在山坡 P 处( 不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖 C 的仰角为 37，塔底 B 的仰角为 26.6.已知塔高 BC80 米，塔所在的山高 OB220 米， OA200 米，图中的点O，B， C，A ，P 在同一平面内，求山坡的坡度(参考数据 sin 26.60.45，tan 26.6 0.5
11、0； sin 370.60，tan 370.75)(第 4 题)答案专项训练一1. ；55 122. 点拨：设 AEx，则 BEx，CE8x，由题意得 62(8x)7242x 2，解得 x ，AE ，CE .254 254 74tanCBE .CEBC 746 7243B 4.A 5.B6解：(1)按键顺序为 ，显示结果为 0.999 847 695，sin 89sin890.999 8.(2)按键顺序为 ，显示结果为 0.703 146 544，cos45.320.703 cos45321.(3)按键顺序为 ，显示结果为 1.762 327 064，tan 60tan6025412541 1
12、.762 3.(4)按键顺序为 ，显示结果为 0.923 721 753，sin 67sin6728352835 0.923 7.解：(1)原式 2 7.12 2 22110.(2)原式 33 3212 .312875 点拨： 由题意得： tanA10，cosB 0，12A45，B 60 ，C180(AB)180(45 60)75.解：(1)sin 2 ，9.222 45，22.5.(2)6cos(16)3 ，3cos(16) ，321630 ，46.10解：如图，在 RtABC 中，BAC30 ，C90，延长 CA 到D，使 ADAB，则D15，设 BCa ，则 AB2a ，AC a，CD(
13、23)a.3在 RtBCD 中，BD ( )a.BC2 CD2 a2 （7 43）a2 6 2sin15sinD ；cos15 cosD BCBD a（6 2）a 6 24 CDBD ；tan15tanD 2 .（2 3）a（6 2）a 6 24 BCBD a（2 3）a 3(第 10 题)专项训练二1解：(1)在 RtABD 中，AD12，sin B ，AB15.ADAB 45BD 9.AB2 AD2 152 122DCBC BD149 5.(2)过点 E 作 EFCD 于点 F.ADBC，EF AD，又点 E 为 AC 边的中点，EF 是ADC 的中位线EF AD6，DF DC .tan
14、EDC12 12 52 .EFDF 652 1252解：四边形 ABCD 是菱形，ADAB.cosA ，BE4，DEAB，设 ADAB 5x，AE3x，则355x3x4，x2，即 AD10，AE6，在 RtADE 中，由勾股定理得：DE 8，在 RtBDE 中，tanDBE 2.102 62DEBE 843解：延长 DA，CB 交于点 E，在 RtCDE 中， C60 ，CD3 ，DE3 ，EC 6.AD2AB，设 ABk，则3AD2k，C60 ， ABCD90， E30.在 RtABE 中，sin E ，tan ABAE 12E ，AE2AB 2k，EB AB k，DE4k3 ，解得 kAB
15、EB 33 3 3 3， EB ，BC6 .334 94 94 1544解：过点 E 作 EMAB 于点 M，PEMEPM90 ，FPB EPM90，PEM FPB.又EMPPBF90，EPM PFB. ，tanPEF .PFEP BPME BPAD 1225 PFEP 12255解：(1)设 CEy， 四边形 ABCD 是矩形，AB CD 4，BC AD 5，B BCDD 90.BP a，CEy，PC 5a ，DE4y，APPE，APE 90，APB CPE 90，APBBAP90，CPEBAP ，ABP PCE， BPCE，y ，即 CE .ABPC a2 5a4 a2 5a4(2)当 a
16、3 时，y ，即 CE ， 四边形 ABCD 是矩形， 32 534 32 32ADBC5，ADBF ，AED FEC， ，CF 3，PFPCCF 5.ADCF DECEADPF，四边形 APFD 是平行四边形在 RtAPB 中，AB4 ，BP3，B90，AP5PF ，四边形 APFD 是菱形(3)根据 tan PAE 可得 2，易得ABPPCE， 2，12 APPE BPCE ABPC得 2 或 2，解得 a3，y1.5 或 a7，y3.5.a 3 或 7.ay 45 a ay 4a 5专项训练三1解：直线 yxb(b0)是由直线 yx 向上平移 b 个单位得到的，BCO45.又75，BAO
17、BCO 754530. 在 RtABO 中， tanBAO ，BOtanBAOAO tan 305 .BBOAO 533.将B 的坐标代入 yxb 得：b .(0，533) (0，533) 5332解：(1)y x ；34 94(2)过点 B 作 BDAB，交 x 轴于 D，则 RtABCRtADB，点 D 即为所求由 tanDBC tan BAC ，BC3，得 CDBCtan DBC ，故34 94ODOC CD ，D .134 (134，0)3解：过 A 作 AEx 轴于点 E，过 B 作 BFx 轴于点F，OAOB，AOB 90 ，BOFEOA 90.BOF FBO90，EOAFBO.
18、BFOOEA90，BFO OEA.在 RtAOB 中，cosBAO .设 AB ，则 OA1，AOAB 33 3根据勾股定理得：BO .2OBOA 1，S BFO S OEA 21.A 在反比例函数 y 的图22x象上，S OEA 1， S BFO 2，则 k4.4解：(1)k 2 12 ；3 3(2)由反比例函数 y (x0)得，点 B 的坐标为(1，2 )，于是有23x 3BAD 45 ，DAC 30，tanDAC ， AD2 ，则由 tanDAC33 3 可得 CD2，C 点的纵坐标是1，且直线过点 A(2 ，1)，则直线 ACCDAD 33 3的解析式为 y x1.33专项训练四1解：
19、(1)过点 P 作 PEAB 于点 E，由题意得， PAE 36.5，PBA 45 ，设 PE 为 x 海里，则 BEPEx 海里，AB140 海里，AE(140x)海里，在 RtPAE 中， tanPAE，即： 0.74 ，解得：x60，PEAE x140 x可疑漂浮物 P 到 A，B 两船所在直线的距离约为 60 海里(2)在 RtPBE 中，PE60 海里，PBE45 ，则 BP PE60 85( 海里) ，2 2B 船需要的时间约为： 2.83(小时)，8530在 RtPAE 中， sin PAE ，PEAPAPPEsin PAE600.6100(海里)，A 船需要的时间约为：1004
20、02.5(小时)，2.832.5，A 船先到达 P 处点拨：本题运用了方程思想，设出一条关键线段的长，将与之有联系的线段的长用含未知数的代数式表示出来，然后利用三角函数值建立方程来解决2解：分两种情况：(1)如图，在 RtBDC 中，CD30 千米，BC60 千米sin B ，B30.CDBC 12PB PC ，BCPB 30.在 RtCDP 中，CPDBBCP60 ，(第 2 题)DP 10 (千米)CDtanCPD 30tan60 3在 RtADC 中，A 45，ADDC30 千米APADDP (3010 )千米3(2)如图，同法可求得 DP10 千米，AD 30 千米3APADDP (3
21、010 )千米3答：交叉口 P 到加油站 A 的距离为(3010 )千米3点拨：本题运用了分类讨论思想，针对 P 点位置分两种情况讨论，即 P 可能在线段 AB 上，也可能在 BA 的延长线上3解：方法一：如图所示，过点 B 作 BEAD 交 CD 于点 E，过点 E作 EF AB 交 AD 于点 F，则 BEAB，EFAD ，四边形 ABEF 是矩形，CBE 12090 30，D3609090 120 60.在 RtBCE 中，BE 100，ECBCtanCBE50 tan30BCcosCBE 503cos30 50332 350 50.333在 RtDEF 中，DF 30.EFtan D
22、ABtan 60 3033ADAFDF BEDF10030130.S 四边形 ABCDS 四边形 ABEDS BCE (ADBE)AB BCEC (130100) 30 50 504 700 .12 12 12 3 12 3 3(第 3 题)方法二：如图所示，延长 DA，CB，交于点 E，则 ABE60 ，E30.在 RtABE 中，AEAB tan 6030 90，3 3BE 60 .ABcos60 3CEBEBC 60 50 110 .3 3 3在 RtDCE 中，DCCEtan 30 110 110.333S 四边形 ABCDS EDC S EAB 110110 9030 4 700 .
23、12 3 12 3 3点拨：本题运用了转化思想，方法一是适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；方法二是通过补形，把不规则四边形化为直角三角形两种方法的实质都是将四边形问题转化为直角三角形问题来求解4解：过点 P 作 PDOC 于 D，PEOA 于 E，则四边形 ODPE 为矩形在 RtPBD 中，BDP90，BPD26.6 ，BDPD tan BPDPDtan 26.6；在 RtCPD 中，CDP90，CPD37 ，CDPD tan CPDPDtan 37；CDBD BC ，PDtan 37PDtan 26.680，0.75PD0.50PD80，解得 PD320 米，BDPD tan 26.63200.50160( 米)，OB220 米，PE OD OBBD60 米，OE PD320 米，AEOEOA320200120(米)，tan 0.5.PEAE 60120点拨：本题运用了数形结合思想，通过解直角三角形求出某些线段的长，从而求出无法直接测量的宽度或高度、坡度等
