1、二元一次方程组解法【例题讲解】:解方程组: )2(173yx解:一、代入消元法:A、由(1)得: y7x (3) (用含 x 的代数式表示 y) 把(3)代入(1)得:3x (7x )173x7x17 x5把 x5 代入(3)得: y2 2yB、 由(1)得: x7y (3) (用含 y 的代数式表示 x)把(3)代入(1)得:3 (7 y) y17213yy17 y2把 y2 代入(3)得: x5 5xC、由(2) 得: y173x (3) (用含 x 的代数式表示 y)把(3)代入(2)得:x (173x )7x173x7 x5把 x5 代入(3)得: y2 2yD、 由(2) 得: x
2、(3) (用含 y 的代数式表示 x )31把(3)代入(1)得: y717y3y21 y2把 y2 代入(3)得: x5 5x说明:把一个方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示,然后代入另一个方程 中,消去这个未知数,从而转化为一元一次方程。这种解法叫做代入消元法。一般取系数绝对值最小整数的未知数用另一个未知数的代数式表示。力求使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易。代入消元法的一般步骤: 求 表 示 式 ,代 入 消 元 ,回 代 得 解 ;二、加减消元法: 如由(1)用整体 2x224y 代入(2)消去 x 解题。E、把(2) (1)得:2 x10 (消去含 y 的代数式) x
3、5把 x5 代入(1)得:y2 25F、由(1)3 得:3x 3y 21 (3)把(3)(2)得:2 y4 (消去含 x 的代数式) y2把 x5 代入(1)得:y2 25y说明:先使两个方程中的某一个未知数的系数的绝对值相等,然后把方程的两边分别相 加或相减消去一个未知数,转化为一元一次方程,这种解法叫做加减消元法。(1)当某一个未知数的系数互为相反数时,用加法把这个未知数消去;(2)当某一个未知数的系数相等时,可用减法把这个未知数消去; (3)若含某一个未知数的系数不相等时,可用等式性质 2 乘以一个正数,把未知数的系数化成绝对值相等再进行加减,消去一个未知数。加减消元法的一般步骤:更 变
4、 常 数 ,加 减 消 项, 回 代 得 解 ;三、消常数项法: 由(1)17 得:17x 17y 119 (3)由(2)7 得: 21x 7y 119 (4)把(4)(3)得: 4 x10y x y25把 x y 代入(1)得:y2 5说明:当两个方程中的常数项绝对值相等或成整数倍时,可用加减法先消去常数项,得到两个未知数的直接倍分关系,再灵活运用代入法来解,简洁、迅速。消去常数项法的一般步骤:变 换 系 数 ,加 减 消 元 ,回 代 得 解 ;四、整体代入消元法:把(1)代入(2)得:2x717 x5把 x5 代入(1)得: y2 2yx说明:当某一个方程中含有另一个方程中的各项之和的整
5、数倍时,可用整体代入法解题,以达简单快捷的目的。总之,四种解法所得的结果都相同。在解题时就要根据实际情况,选择简便解法。一般地,二元一次方程组解法的策略:1、当某一个未知数的系数绝对值是 1 或一个方程的常数项为 0 时,宜用代入法较方便;2、当两个方程中,同一个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时,宜用加减法较方便;3、当两个方程中的常数项绝对值相等或成整数倍时,可用加减法消去常数项比较简捷;4、方程组中的每一个方程至少要用到一次; 解一次方程组的基本思路是逐步“消元”即多元 二元 一元。但对于一个具体的多元一次方程组来说,先消去哪一个未知数为好呢?这就要有敏锐的观察力和判断力。在确定消去某个
6、未知数后,任两个方程之间应用消元法时,只有都消去同一个未知数,才能达到消元的目的。主要是根据方程组中各系数的结构特征和特定条件,采用合理的方法和策略灵活运用消元,才能使之解法简捷; 二元一次方程组的特殊解法1. 换元法例 1. 解方程组 )2(.19672,yx消元 消元分析:此类方程组,若按一般的解法 ,则显得过程较繁,若进行未知数代换,可使计算简便.解:设 ,)4(96)3(,72byax则方程组化为 解得 ,把 a、b 的值代入(3),(4)得原方程组的解为.1,23.48,10yx2. 整体加减法例 2. (1)解方程组 yx.168349,分析:方程组中的 x、y 的系数绝对值在两个
7、方程中对调 ,可采用连续加减,化简系数.解:(1)+(2),得 132x+132y=264,所以 x+y=2 ,-,得 34x-34y=-68,所以 x-y=-2 ,由、得方程组 yx.2,解得 所以方程组的解为.2,0yx.,0(2)解方程组 yx.43157,解:+,得 88x-88y=-88,所以 x-y=-1 , -,得 58x+58y=174,所以 x+y=3, +,得 2x=2,所以 x=1,-,得 2y=4,所以 y=2.所以方程组的解为 .2,1yx3. 整体代入法例 3. (1)解方程组: .1)(2,3yx解:方程组化为 将 x+1=6y 代入 2(x+1)-y=11,.1
8、)(2,6yx得 12y-y=11,所以 y=1,x=5,所以方程组的解为 .1,5yx(2)解方程组 .215269)(4)(3yx)()( ,解:由方程,得 3(x+2)=9+4(y-1) ,将代入,得 29+4(y-1)-5(y-1)=12,整理,得 y-1=-2,所以 y=-1,将 y=-1 代入,得 x=- ,所以方程组的解为35.1,35yx4.常数消元消去常数项法解二元一次方程组,可使问题变的简单,减少计算量,但应注意因题而用.例 4.解方程组 )2(763181yx分析:观察方程组的特点,未知数中的系数相对较大,直接消去某个未知数,乘起来较麻烦,观察常数项是倍数关系,可采用消去常数项的方法求解。解:(1)2-(2),得 27x-9y=0,所以 y=3x, (3)把(3)代入(1),得 17x+21x=38,所以 x=1,y=3,所以方程组的解为 .3,1yx练习(一)答案:(1) (2) (3) (4) (5)3yx5yx2.mn1ts23xy(6) (7) (8) (9) (10) (11)152xy,12xy,2yx5yx7436xy练习(二)答案:1 2 3. 4. 5. .1,9yx.7,5yx.,3yx.192,40.4,yx