1、第二章 圆2.6 弧长与扇形面积第 1 课时 弧长及其相关量的计算教学目标：【知识与技能】理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算.【过程与方法】经历弧长公式的推导过程,进一步培养学生探究问题的能力.【情感态度】调动学生的积极性,在组织学生自主探究,相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神.【教学重点】弧长公式及其运用.【教学难点】运用弧长公式解决实际问题.教学过程：一、情境导入，初步认识如图是某城市摩天轮的示意图,点 O 是圆心，半径 r 为 15m,点 A、B 是圆上的两点，圆心角AOB =120.你能想办法求出 AB 的长度吗？【教学说明】学生根据 AB 是 120是 周长可直
2、接求出 AB 的长，为下面推13导出弧长公式打好基础.二、思考探究，获取新知问题 1 在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧长_.【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识,同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等,则另外两组量也分别相等,结论自然不难得出.问题 2 1 度的圆心角所对的弧长 l=_.问题 3 半径为 R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长 l=_.【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.结论:半径为 r 的圆中，n的圆心角所对的弧长 l 为236018l注：已知公式中 l、r、n 的其中任意两个量，可求出第
3、三个量.三、典例精析，掌握新知例 1 已知圆 O 的半径为 30cm,求 40 度的圆心角所对的弧长.(精确到 0.1cm)解： .40320.981nRl cm答：40 度的圆心角所对的弧长约为 20.9cm.【教学说明】此题是直接导用公式.例 2 如图,在ABC 中，ACB=90,B=15,以 C 为圆心，CA 为半径的圆交点 D，若 AC=6，求弧 的长.AD【分析】要求弧长,必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数,即只需求出ACD 的度数即可.解:连接 CD.因为B=15,BCA =90,所以A=90-B=90-15=75.又因为 CA=CD,所以CDA= A=75.所以DCA=180-
4、2A=30.所以 的长= =.D30618【教学说明】在求弧长的有关计算时,常作出该弧所对应的圆心角.例 3 如图为一个边长为 10cm 的等边三角形，木板 ABC 在水平桌面绕顶点 C 沿顺时针方向旋转到ABC 的位置.求顶点 A 从开始到结束所经过的路程为多少？解：由题可知ACB=60.ACA=120.A 点经过的路程即为 AA的长.等边三角形的边长为 10cm.即AA的半径为 10cm.AA的长= (cm).12083答：点 A 从开始到结束经过的路程为 cm.203【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.四、运用新知，深化
5、理解1.一个扇形的圆心角为 60，它所对的弧长为 2cm，则这个扇形的半径为（）A.6cm B.12cmC. cm D. cm2362.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点 A 到点 B，甲虫沿着 、 、 、 的路A1D2EA3FGB线爬行，乙虫沿着路线 爬行，则下列结论正确的是（）CA.甲先到 B 点 B.乙先到 B 点C.甲乙同时到达 D.无法确定3.如果一条弧长等于 l,它所在圆的半径等于 R，这条弧所对的圆心角增加 1，则它的弧长增加（）A. B. C. D.1n80R180l13604.(山东泰安中考）如图，AB 与O 相切于点 B， AO 的延长线交O
6、 于点C，连结 BC，若 ABC=120,OC =3,则 的长为（）ACA. B.2C.3 D.5第 4 题图 第 5 题图5.一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平线无滑动翻滚（如图），那么 B 点从开始到结束时所走过的路径长度是_. 来源:gkstk.Com【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中,多是一些基础题,关键是理解公式的推导过程后,在 l、n、r 中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了.【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5. 43五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾本小节的知识点.2.通过本节课的学习,你掌握了那些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.【教学说明
7、】1.n 的圆心角所对的弧长 .180nRl2.学生大胆尝试公式的变化运用.来源:学优高考网 gkstk课堂作业：来源:学优高考网教材 P81 页第 1、2 题课外作业：完成学法中本课时的练习.教学反思：本节课是从如何计算摩天轮的弧长引入,到学生自己推导出弧长公式,并运用公式解决问题,培养学生动手、动脑的习惯,加深了对公式的理解,并用所学知识解决实际问题.体验了推导出公式的成就感.激发了学生学习数学的兴趣.第 2 课时 扇形面积教学目标：【知识与技能】1.掌握扇形的定义.2.掌握扇形面积公式的推导过程,会运用扇形的面积进行有关计算.【过程与方法】经过扇形面积公式的推导,培养学生抽象、理解、概括
8、、归纳能力和迁移能力.【情感态度】经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题,加强合作交流,集思广益.【教学重点】扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算.【教学难点】用公式求组合图形的面积来解决实际问题.教学过程：一、情境导入，初步认识如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图,你能求出做这把扇子用了多少纸吗?要想解决以上问题 ,需知道求扇形的面积的计算公式.今天我们就来学习扇形的面积.二、思考探究，获取新知1.扇形的定义圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形.【教学说明】1.强调它是一个封闭的图形;2.扇形包括两半径和弧内部的平面部分.2.扇形的面积公式同学们结合圆的面
9、积 S=R2，完成下列各题：（1）该圆的面积可看作是_的圆心角所在的扇形面积.(2)设圆的半径为 R,1的圆心角所在的扇形面积为_，2的圆心角所在的扇形面积为，3 的圆心角所在的扇形面积为 _，,n 的圆心角所在的扇形面积为_.学生解答【教学说明】(1)360(2) 2360R2360因此，在半径为 R 的圆中，圆心角为 n的扇形的面积为 S 扇形 = ,还可2360nR推导出S 扇形 = ,其中 l 为扇形的弧长.12lR例 1（教材例 3）如图，O 的半径为 1.5cm,圆心角AOB =58,求扇形OAB 的面积（精确到 0.1cm2).解：r=1.5cm,n=58,222581.583.
10、41.36060()Scm例 2 已知半径为 2 的扇形，其弧长为 ,则这个扇形的面积为多少？3【分析】已知扇形弧长为 l,所在圆的半径为 R 时，可直接利用扇形的面积公式：S 扇形 = 求解.解: S 扇形 = = .1lR142【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，这样计算更简便.3.组合图形的面积计算.例 3 如图,把两个扇形 OAB 与扇形 OCD 的圆心重合叠放在一起,且AOB =COD,连接 AC.(1)求证:AOC BOD;(2)若 OA=3cm,OC=2cm,AB 的长为 ,CD 的长为 ,求阴影部分的面积.32【教学说明】利用“ 边角边
11、”证明AOCBOD，阴影部分是不规则图形，可先将其转化为规则图形，再计算.(1)证明: AOB=COD,BOD =AOC.又OA =OB,OC=OD,AOCBOD.(2)延长 CD,交 OB 于点 F,设 AO 交 CD 于点 E.S AOC =S BOD,S 扇形 EOC=S 扇形 DOF，来源:gkstk.ComS 图形 AEC=S 图形 BFD.S 阴影 =S 扇形 OAB-S 扇形 OCD.135224【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系.三、运用新知，合作学习，深化理解1.如果一个扇形的弧
12、长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形” ，则半径为 2 的“等边扇形 ”的面积为（ ）A. B.1 C.2 D. 232.如图所示，一张半径为 1 的圆心纸片在边长为 a(a3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分” 的面积是（）A.a2- B.(4-)a2 C. D.4-3.如图，AB 是O 的直径， C、D 是 的三等分点.如AB果O 的半径为 1，P 是线段 AB 上的任意一点，则阴影部分的面积为_.4.如图所示，在ABC 中，AB= AC，A=120, BC= 23，A 与 BC 相切于点 D，且交 AB、AC 于 M、N 两点， 则图中阴影部分的面积
13、是_（保留 ).5.如图，O 的半径为 R，直径 ABCD，以 B 为圆心，以 BC 为半径作弧 ，求图中阴影部分的面积.C【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时，它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求出组合图形的面积.【答案】1.C 2. D 3. 4.335.解：S 阴 =S 半圆 OCAD+SBCD -S 扇形 BCED= 2211RR四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么? 还有哪些疑惑 ?2.教师强调：扇形的概念.圆心角为 n的扇形面积 S 扇 = (l 为扇形的弧长） .21360nRl组合图形的面积.课堂作业：
14、教材 P81 练习第 3 题，习题 2.5A 组 3 题课外作业：完成学法中本课时的练习.教学反思：本节课从基本的生活用品扇子引入,到学生自主推导出扇形的两种面积公式,并运用公式解决了组合图形的面积.由简单到复杂,由特殊到一般的解题过程，使学生掌握由浅入深，由简单到复杂的解题技能,而复杂图形又是由简单图形组成,培养学生对数学产生浓厚的兴趣.湘教版九年级数学第二章 圆2.6 弧长与扇形面积同步测试一选择题（共 8 小题）1如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为 2，B =135，则的长（ ）A2 B C D232在半径为 6 的O 中，60圆心角所对的弧长是（ ）A B2 C4
15、 D63如图，O 是ABC 的外接圆，O 的半径为 3，A=45，则 的长是（ ）A B C D 3424594如图，已知ABCD 的对角线 BD=4cm，将ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180，则点 D 所转过的路径长为（ ）A4 cm B3 cm C2 cm D cm5如图，扇形 AOB 中， AOB =150，AC=AO =6，D 为 AC 的中点，当弦 AC沿扇形运动时，点 D 所经过的路程为（ ）A3 B C D43326如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，CDB=30 ，CD= ，则阴影部23分图形的面积为（ ）A4 B2 C D 237如图，在ABC 中，CA=CB，AC
16、B=90，以 AB 的中点 D 为圆心，作圆心角为 90的扇形 DEF，点 C 恰在 EF 上，设BDF= （0 90 ） ，当 由小到大变化时，图中阴影部分的面积（ ）A由小到大 B由大到小C不变 D先由小到大，后由大到小8如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细） ，则所得扇形 DAB 的面积为（ ）A6 B7 C8 D9二填空题（共 8 小题）9如图，在ABCD 中，AD=2 ，AB=4，A=30，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 ） 10圆心角
17、为 120，半径长为 6cm 的扇形面积是 cm 211圆心角为 120的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为 （结果保留 ） 12如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90，AB =4 以 A 为圆心，2AC 长为半径作弧，交 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ）13已知扇形的圆心角为 120，所对的弧长为 ，则此扇形的面积是 8314圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形的弧长是 cm 15已知扇形的圆心角为 120，弧长为 2，则它的半径为 16如图，在矩形 ABCD 中，AB=4 ，AD=2，以点 A 为圆心，AB 长为半径画圆弧交边 DC 于点 E，则 的长
18、度为 三解答题（共 2 小题）17如图，在ABC 中，AB= AC分别以 B、C 为圆心，BC 长为半径，BC 下方画弧，设两弧交于点 D，与 AB、AC 的延长线分别交于点 E、F ，连接AD、BD、CD若 BC=6，BAC =50，求弧 ED，弧 FD 的长度之和（结果保留） 18如图所示，正方形网格中，ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） （1）把ABC 沿 BA 方向平移后，点 A 移到点 A1，在网格中画出平移后得到的A 1B1C1；（2）把A 1B1C1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90，在网格中画出旋转后的A1B2C2；（3）如果网格中小正方形的边长为 1，求点 B 经过（ 1） 、 （2）变换的路径总长参考答案一选择题（共 8 小题）1B 2B 3B 4C 5C 6D 7C 8D二填空题（共 8 小题）93- 1012 113 128-2 13 144 153 161323三解答题（共 2 小题）来源:学优高考网 gkstk17 18
