1、242 圆的对称性第 2 课时 垂径定理学前温故1在 RtABC 中，C90，AC2，BC4，CM 是中线，以 C 为圆心， 为半5径画圆，则 A、B、M 与圆的位置关系是( )AA 在圆外，B 在圆内，M 在圆上BA 在圆内，B 在圆上，M 在圆外CA 在圆上，B 在圆外，M 在圆内DA 在圆内，B 在圆外，M 在圆上解析：Rt ABC 中，AB 2 ，CM AB ，又 2 4，故 A22 42 20 512 5 5在圆内，B 在圆外，M 在圆上答案：D2已知平面上一点到O 的最长距离为 8 cm，最短距离为 2 cm，则O 的半径是_来源:学优高考网解析：本题分两种情况：(1)点 P 在O
2、 内部时，如图所示， PA8 cm，PB2 cm，直径 AB8210(cm)，半径 r AB 105(cm)；(2)点 P 在O 外部时，如图12 12所示，直径 ABPA PB 826(cm)，半径 r 63(cm) 12答案：3 cm 或 5 cm新课早知1圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线2垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧3定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧4圆心到弦的距离叫做弦心距1垂径定理【例 1】 赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9 米，跨度(弧所对的弦长 )为 37.4 米，
3、你能求出赵州桥的拱高 (弧的中点到弦的距离)吗？分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决解：如图， 表示主拱桥，设 所在圆的圆心为 O.过点 O 作 OCAB 于 D，交ABAB于点 C.A根据垂径定理，则 D 是 AB 的中点，C 是 的中点，CD 为拱高AB在 Rt OAD 中，AD AB 37.4 18.7(m) ，OA27.9 m，12 12OD 20.7(m) OA2 AD2 27.92 18.72CDOC OD27.920.77.2(m)赵州桥的拱高为 7.2 m.点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长：弦长 a、圆半径 r、弦心距 d、弓形高h.它们之间的关系
4、有 rhd( 或 rhd)，r 2d 2( )2.a22垂径定理的推论【例 2】 学习了本节课以后，小勇逆向思维得出了一个结论：“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧” ，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由分析：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，而圆心到弦的两端距离相等，所以圆心在弦的垂直平分线上来源:gkstk.Com解：小勇得出的结论正确来源:学优高考网理由：如图，CD 是 AB 的垂直平分线，连接 OA、OB.因为 OA=OB，所以点 O 在 AB 的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心由垂直于弦的直径的性质，可知弦 AB 的垂直平分线 CD 平分弦 AB 所对
5、的两条弧点拨：除本题的结论外，由垂径定理还可引申得到如下的结论：来源:学优高考网 gkstk(1)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧；(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等1如图，将半径为 2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为( )A2 cm B. cm3C2 cm D2 cm3 5答案：C来源:gkstk.Com2如图，在O 中，AB、AC 为互相垂直的两条相等的弦，ODAB ，OEAC，D、E 为垂足，则四边形 ADOE 为 ( )A矩形 B平行四边形C正方形 D直角梯形答案：C3(2011浙江嘉兴中考)如图，半径为 10 的O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦的弦心距为( ) A6 B8C10 D12答案：A4如图，DE 是O 的直径，弦 ABDE，垂足为 C，若 AB6，CE1，则OC_，CD_.答案：4 95如图，已知在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点求证：AC BD.证明：过 O 作 OEAB 于 E，则 AEEB，CEED.AECEBEDE.ACAECE，BDBE DE，ACBD.
