1、第六章 实数复 习 学 案一数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数 x 的平方等于 a，那么，这个数 x 就叫做 a 的 ；也即，当时，我们称 x 是 a 的平方根，记做： 。因此：)0(2ax _当 a=0 时，它的平方根只有 个，也就是 本身；当 a0 时，也就是 a 为正数时，它有 个平方根，且它们是互为 ，通常记做：。当 a0 时，也即 a 为 时，它不存在平方根。例 1. （1） 的平方是 64，所以 64 的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若 的平方根是2，则 x= ； 的平方根是 x16（4）当 x 时， 有意义。x23（5）一个正数的平方根分别是 m 和 m-
2、4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？【2】算术平方根（1）如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，2记为：“ ”，读作， “根号 a”，其中，a 称为被开方数。_特别规定：0 的算术平方根仍然为 。（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即： 0。 （a 0）（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： ；而平方根具有a两个互为相反数的值，表示为： 。例 2.（1） 下列说法正确的是 （ ）A1 的立方根是 ； B ；（C） 、 的平方根是
3、 ； （ D） 、0 没有平方根；124813（2）下列各式正确的是（ ）A、 B、 984.3.3C、 D、725（3） 的算术平方根是 。2)(（4）若 有意义，则 _。x1x（5）已知ABC 的三边分别是 且 满足 ，求 c 的取值范围。,cba0)4(32ba（6）已知：A= 是 的算术平方根，B= 是 的立方根。求y3y3yxyxAB 的平方根。（7） （提高题）如果 x、y 分别是 4 的整数部分和小数部分。求 x y 的值.3【3】立方根（1）如果 x 的立方等于 a，那么，就称 x 是 a 的立方根，或者三次方根。记做： ，读作，3 次根号 a。注意：这里的 3 表示的是开根的
4、次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。（1） 平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有 数才能有平方根。例 3.（1） 64 的立方根是 （2）若 ，则 b 等于（ ） 9.28,.33abA. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列说法中： 都是 27 的立方根， ， 的立方根是 2，y364。482其中正确的有 （ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个【4】立方根与平方根的区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和 0 有平方根，负
5、数没有 根，正数的平方根有 个，并且互为 数，0 的平方根只有一个且为 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小） n倍，算术平方根扩大（或缩小） n倍，例如502,5.题型规律总结：1、平方根是其本身的数是 ；算术平方根是其本身的数是 和 ；立方根是其本身的数是 和 。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是 平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数 。3、 本身为非负数，有非负性，即 0； 有意义的条件是 。aa4、公式：( )2= （a0） ； = （a 取任何数） 。来源:学优高考网35、区分( )2=a（a0），与 = 26.非负数的重要性质：若几个非
6、负数之和 ，则每一个非负数都为 0（此性质应用很广，务必掌握）。【5】无理数（1） 小数叫做无理数；它必须满足“无限” 以及“不循环” 这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（2） a.特殊意义的数，如：圆周率 以及含有 的一些数，如：2- ，3 等；（3） b.开方开不尽的数，如: 等；39,52（4） c.特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01（两个 1 之间依次多 1 个 0）等。（5） 应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 等；无理数也不一定带根号，9如： 来源:gkstk.Com（6） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数
7、和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为 1 的分数） ，而无理数则不能写成分数形式。例 4.（1）下列各数：3.141、0.33333、 、 、 、0.303000300007525.303（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2） 、其中是有理数的有；是无理数的有。 （填序号）（2）有五个数:0.125125,0.1010010001,- , , 其中无理数有 ( )个432A 2 B 3 C 4 D 5 一、填空题来源:学优高考网1、 （-0.7） 2 的平方根是 2、若 a=25, b=3,则 a+b= 3、已知一个正数
8、的两个平方根分别是 2a2 和 a4，则 a 的值是 4、 _5、若 m、n 互为相反数，则 _nm56、若 ，则 a_0a27、若 有意义，则 x 的取值范围是 3x8、16 的平方根是4”用数学式子表示为 9、大于- ，小于 的整数有_个。2 1010、一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，则 a=_ _，x=_ _。11、当 时， 有意义。_312、当 时， 有意义。13、当 x时， x1有意义。14、当 _时，式子 2有意义。15、若 有意义，则 能取的最小整数为 4aa16 点 A 在数轴上表示的数为 ，点 B 在数轴上表示的数为 ，则 A， B 两点的距离为_17若
9、 ，则 =_ _。0)13(2yx25yx二、选择题1 9 的算术平方根是（ ）A-3 B3 C3 D812下列计算正确的是（ ）A =2 B =9 42(9)81C. D.63下列说法中正确的是（ ）A9 的平方根是 3 B 的算术平方根是26C. 的算术平方根是 4 D. 的平方根是214 64 的平方根是（ ）A8 B4 C2 D 25 4 的平方的倒数的算术平方根是（ ）A4 B C- D8146下列结论正确的是（ ） A B )(29)3(2C D1567以下语句及写成式子正确的是（ ）来源:gkstk.ComA、7 是 49 的算术平方根，即 74B、7 是 的平方根，即2)(7)
10、(2C、 是 49 的平方根，即 49D、 是 49 的平方根，即8下列语句中正确的是（ ）A、 的平方根是 B、 的平方根是 933C、 的算术平方根是 D、 的算术平方根是9下列说法：(1) 是 9 的平方根；(2)9 的平方根是 ；(3)3 是 9 的平方根；(4)9 的平方根是3，其中正确的有（ ）A3 个 B2 个 C 1 个 D4 个10下列语句中正确的是（ ）A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根 C、3 的平方是 9，9 的平方根是 3 D、 是 1 的平方根11如图，数轴上表示 1， 的对应点分别为 A，B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 表示的数是（ ） A 1 B1 C2 D 2三、利用平方根解下列方程（1） （2x-1） 2-169=0； （2）4（3x+1） 2-1=0；四、解答题1、求 的平方根和算术平方根。9722、计算 的值来源:gkstk.Com33841673已知 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2-b2 的值 .4、若 a、b、c 满足 ，求代数式 的值。01)5(32cacb5.已知实数 、 、 在数轴上的位置如图所示：化简 6.化简下列各式：(1) | -3.142| （ 2) | - | 7.化简：8.已知： =0，求实数 a, b 的值。
