1、2.2.2 静电场的散度与旋度,静电场的散度和高斯定理设静止电荷分布在V区域中，空间任意点r的电场强度为,利用关系式,两边取散度，由于与源座标无关，可将其移到积分号中，得,再利用函数的挑选性，得,显然可以合并写成更简单的形式，即有,高斯定理的微分形式,两边取体积分，考虑散度定理（即数学中的高斯定理），有,高斯定理的积分形式,对静电场高斯定理的讨论,空间任意点电场的散度只与当地的电荷分布有关 静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场穿过任意闭合面的电通量正比于闭合面所包围的总电量 电场散度与电场是不同的物理量无电荷处，源的强度(散度）为零，但电场不一定为零,静电场的旋度和环路定理,由于
2、式中微分算子与源座标无关，可以从积分号中提出，得,两边取旋度，得,当做任意标量,利用矢量恒等式 得,环路定理的微分形式,利用斯托克斯公式，得,环路定理的积分形式,等式两端在任意曲面S上进行面积分，有,对环路定理的讨论,空间中静电场旋度处处为零，静电场中不存在旋涡源，电力线不构成闭合回路 静电场沿任意闭合回路的积分都为零电场旋度和电场强度是不同的两个物理量，从不同角度描述同一个物理对象 虽然空间中电场的旋度处处为零，但电场却可能存在，二者没有必然的联系,静电场的性质矢量场的性质可以用其散度和旋度全面地描述。前者描述矢量场场线扩散的状况，而后者则描述矢量场场线的形状。有源场。电力线由电荷发出，电荷
3、是电场的源无旋场。电力线不构成闭合回路有源无旋的静电场呈现扩散状的分布形式,在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。,利用高斯定理计算电场强度,具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：,球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。,带电球壳,多层同心球壳,无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。,轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。,例题 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a ，电荷密度为 0 。,解：（1）球外某点的场强,（2）求球体内一点的场强,由,由,小结：真空中静电场的基本方程,微分形式,积分形式,静电场性质：是一
4、种有源无旋场，是保守场。,静电场的源：电荷,讨论：对静电场，恒有：,为标量函数,静电场可以由一标量函数的梯度表示。,例 电量Q均匀分布在半径为a的球形区域中，求空间的电场分布、电场的散度和旋度 。,解：电量Q均匀分布在球形区域中，其体密度为,高斯定理得,得,导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。,恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本节时， 注意类比法的应用。,下 页,上 页,返 回,2.3 真空中恒定磁场的基本规律,恒定磁场由恒定电流产生，又称静磁场。,2.3.1 安培力定律 磁感应强度,两
5、个电流元间的作用力真空中的两个恒定电流元之间也存在相互作用力，载流回路 C1 对载流回路 C2 作用力的数学表达式为,式中，,载流回路 C2 对载流回路 C1 的作用力,安培力定律的积分形式,对安培力定律的讨论,满足牛顿第三定律只给出作用力的大小和方向，没说明作用力如何传递,磁感应强度磁力是通过磁场来传递的电流或磁铁在其周围空间会激发磁场B，当另外的电流或磁铁处于这个磁场中时，会受到力（磁力）的作用载流回路C1对载流回路 C2 的作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回路 C2中的电流 I2 的作用力。描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度 ，单位为T（特斯拉）。,根据安培力定律，有,其
6、中,处于磁场中的电流元Idl所受的磁场力dF与该点磁场B、电流元强度和方向有关，即,安培力公式,稳恒电流回路 C 在空间任意点 M 处产生的磁感应强度,电流元 产生的磁感应强度,体电流产生的磁感应强度,面电流产生的磁感应强度,毕奥萨伐尔定律,运动电荷的磁场 定向流动的电荷形成电流。设某区域电荷密度为，速度v，将形成电流密度J=v，则电流元为Id l=JdV=vdV=qv，得,洛伦兹力公式 点电荷在磁场B中以速度v运动时所受的力：,注：1.安培力公式给出的是磁场中电流元的受力，而洛伦兹 力给出的则是运动点电荷在磁场中的受力。2.由于运动电荷 形成电流，故安培力公式和洛伦兹力公式本质相同，都是电
7、荷受的力，只是讨论角度不同。,3.几种典型电流分布的磁感应强度,载流直线段的磁感应强度：,载流圆环轴线上的磁感应强度：,（有限长）,（无限长）,例 有限长直线电流的磁感应强度。,解：在导线上任取电流元 Idl，其方向沿着电流流动的方向，即 z 方向。由比奥萨伐尔定律，电流元在导线外一点P处产生的磁感应强度为,其中,当导线为无限长时，10，2,例 2.3.1 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。,轴线上任一点P ( 0, 0, z )的磁感应强度为,可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分量相互抵消。,当场点P 远离圆环，即z a 时，因 ，故,在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即,由于,
