1、学优中考网 第三单元 第 19 课时函数的综合知识点回顾：知识点一：分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其函数关系式（或图象）也不同的函数，如分段计费问题，实际上是复合函数问题。 分段函数的应用题解答时需分段讨论、分段计算。 例 1.（2009 年吉林省）A、B 两地相距 45 千米，图中折线表示某骑车人离 A 地的距离y 与时间 x 的函数关系有一辆客车 9 点从 B 地出发，以 45 千米/时的速度匀速行驶，并往返于 A、B 两地之间 （乘客上、下车停留时间忽略不计） （1）从折线图可以看出，骑车人一共休息 次，共休息 小时；（2）请在图中画出 9 点至 15 点之间客车与
2、 A 地距离 y 随时间 x 变化的函数图象；（3）通过计算说明，何时骑车人与客车第二次相遇【解析】 （1）无论是观察函数图象、写出函数关系式，还是解决函数问题，弄清变量的含义是关键。本题中 y 表示“骑车人（客车）与 A 地距离” ， 骑车人休息时时间 x 增大而 y 值不变。 （2）从实际看“骑车人与客车相遇”是在相同的时间骑车人与客车与 A 地的距离相同，从图象看是两函数图象的交点。【解答】 （1）两，两；（2）见下图：（3）设直线 EF所表示的函数解析式为 .ykxb把 (10,),45EF分别代入y/千米453010 11 12 13 14 1590 x/时FEy/千米453010
3、11 12 13 14 1590 x/时学优中考网 ykxb，得：1045，解得 0.kb，直线 EF所表示的函数解析式为 450.yx把 3y代入 5,x得 3210x答：10 点 40 分骑车人与客车第二次相遇.同步检测：（2009 年湖北孝感） 5 月份，某品牌衬衣正式上市销售5 月 1 日的销售量为 10 件，5 月 2 日的销售量为 35 件，以后每天的销售量比前一天多 25 件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少 15 件，直到 5 月 31 日销售量为 0设该品牌衬衣的日销量为 p（件） ，销售日期为 n（日） ， p 与 n 之间的关系如图
4、所示（1）写出 p 关于 n 的函数关系式 p = （注明 n 的取值范围） ； （2）经研究表明，该品牌衬衣的日销量超过 150 件的时间为该品牌衬衣的流行期请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？ （3）该品牌衬衣本月共销售了 件 来源:学优中考网【解析】 （1）函数图象是折线，有两支，因此 p 关于 n 的函数关系式有两种，是分段函数。销售日期 n 为正整数，因此函数图象是一些离散的点。 （2）由“衬衣的日销量超过150 件” ，即两支函数的函数值大于 150，列不等式求解。【解答】（1） 251(24631nnp ， 且 为 整 数 ) ， 且 为 整 数 ； （2）由题意，有：
5、50.； 解得， 3621n，整数 n 的值可取 7，8，9，20 共 14 个学优中考网 该品牌衬衣本月在市面的流行期为 14 天（3）4335 件知识点二：借助函数与方程、不等式求极值问题在实际问题中通过建立一次函数以刻画数量关系，再利用不等关系得一个变量的极端值，利用一次函数的增减性求另一变量的极值，从而找到最佳方案。例 2.（2009 年湖北恩施）某超市经销 A、 B两种商品， A种商品每件进价 20 元，售价 30 元； B种商品每件进价 35 元，售价 48 元（1）该超市准备用 800 元去购进 、 两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大（其中 B种商品不少
6、于 7 件）？来源 :学优中考网 xyzkw（2）在“五一”期间，该商场对 A、 两种商品进行如下优惠促销活动： 来源:学优中考网打折前一次性购物总金额 优惠措施不超过 300 元 不优惠超过 300 元且不超过 400 元 售价打八折超过 400 元 售价打七折促销活动期间小颖去该超市购买 A种商品，小华去该超市购买 B种商品，分别付款210 元与 268.8 元促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？【解析】 （1）超市经销两种商品所获利润随 A、B 两种商品的件数发生变化，即与两个变量有关，联想解方程时所用消元思想，因此寻找 A、B 两种商品的件数之间
7、的另一关系（准备用 800 元去购进 A、 B两种商品）建立方程，结合二者关系得得润与 B种商品件数的关系。（2）促销期间小颖、小华去该超市购买 、 种商品付款 210 元与 268.8 元，关键是分析他们是否享受优惠方案、享受了哪种优惠方案。【解答】 （1）解：设购进 A、B 两种商品分别为 x件、 y件 ，所获利润 w元，则：80352yxw解之得： 4029yw 是 的一次函数，随 的增大而减少，又y 是大于等于 7 的整数，且 x 也为整数，当 8y时， 最大，此时 26x所以购进 A 商品 26 件，购进 B 商品 8 件才能使超市经销这两种商品所获利润最大学优中考网 （2）3000
8、.8=240 4000.7=280 210240, 240268.8280小颖去该超市购买 A 种商品未超过 300 元不优惠，小华去该超市购买 B 种商品超过300 元且不超过 400 元，售价打八折。小颖去该超市购买 A 种商品:21030=7(件)小华去该超市购买 B 种商品:268.80.848=7(件)小明一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品：730+748=546400小明付款为：5460.7=382.2(元)答：小明付款 382.2 元 同步检测：（2009 年辽宁朝阳）某学校计划租用 6 辆客车送一批师生参加一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力现有甲、乙两种客车，它们的
9、载客量和租金如下表设租用甲种客车 x辆，租车总费用为 y 元甲种客车 乙种客车载客量（人/辆）45 30租金（元/辆）280 200（1）求出 y（元）与 x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；（2）若该校共有 240 名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用 1650 元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？【解析】 （1）问题 2 中隐含了两个不等关系租车总费用不超过预支租车费用 1650元，载客量不少于 240，由此得到租车方案，以计算租车费用是否可以结余。 （2）结余的多少，可利用一次函数的增减性求解，也可分别求函数值再予以比较。【解答】（1） 28
10、0(6)8012(6)yxx （2）可以有结余，由题意知 504324x 学优中考网 解不等式组得： 548x 预支的租车费用可以有结余x取整数 取 4 或 580ky随 x的增大而增大当 4时， 的值最小其最小值 1205元最多可结余 16501520=130 元知识点三：与二次函数有关的最优化问题在实际问题或数学问题中建立二次函数模型后，利用二次函数的最大（小）值可求有关最值和最优方案等问题。例 3.（改编 2009 年包头市）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数
11、ykxb，且 65时， y； 75x时， 4（1）求一次函数 的表达式；（2）若该商场获得利润为 W元，试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润恰好是 500 元，试确定销售单价 x是多少元？【解析】 （1）根据一次函数解析式的特征，直接根据题意列出二元一次方程组，就可以求出一次函数的解析式。（2）在确定函数关系式时，特别注意自变量的取值范围，由本题中“试销期间销售单价不低于成本单价”得 x60，由“获利不得高于 45%”得 x（1+45%）60，即x87，因此 6087 。对于求出二次函数的最值问题，同时要考虑在
12、自变量的取值范围；（3）这个问题是把二次函数问题转化为一元二次方程来考虑，要注意的是求出的结果必须要在二次函数的自变量的取值范围内。【解答】 （1）根据题意得 6574.kb，来源:学优中考网 xyzkw解得 20kb， 学优中考网 所求一次函数的表达式为 120yx （2） (60)12)WxA287(9)， 抛物线的开口向下， 当 90x时， W随 x的增大而增大，而 6087x ，当 87x时， 2()81当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元 （3）由 50W，得 207x，来源:学优中考网 xyzkw整理得， 2187x，解得， ， 因为 60 ，所以
13、，销售单价 70x 【评注】在二次函数中通过求函数的最大（小）值以解决求实际问题的最大利润、最优方案等，首先考虑利用二次函数 y=ax2+bx+c 当 x=- ba时， y 取最大（小）值 24acb来求，但当 x=- 2ba不在自变量的取值范围时，可利用二次函数的增减性由一个变量的极端值求另一变量的极值。同步检测:（改编 2009 年重庆市）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份 x 之间满足函数关系 5026yx，去年的月销售量 p（万台）与月份 x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月 份 1 月 5 月销售量 3.9 万台 4.3 万台（1）求去
14、年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系式。（2）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？【解析】月销往农村的销售金额 W等于每台的售价 y 乘以月销售量 p，而 5026yx，p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系，两者结合可写出利润 W与销售单价 之间的关系式。来源:xyzkw.Com【解答】 （1）设 p与 的函数关系为 (0)pkxb，来源:学优中考网 xyzkw学优中考网 根据题意，得 3.954kb， 解得 0.18k，所以， 0.18px（2）设月销售金额为 w万元，则：(.3)(5260)wy化简，得 2798x，所以， ()1当 x时，
15、取得最大值，最大值为 10125答：该品牌电视机在去年 7 月份销往农村的销售金额最大，最大是 10125 万元知识点四：存在探索性函数问题存在型探索题是指在一定的前提下，需探索某种数学关系是否存在解存在性探索题常用反演推理法，即先假设要探索的问题的结论成立，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论例 4.（2009 年湖南郴州）如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2， 1-） ，且 P（ -，2）为双曲线上的一点， Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、 B （1）写出正比例函数和反比例函数的关
16、系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得 OBQ 与 OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、 OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值【解析】 （1）先假定直线 MO 上存在这样的点 Q，使得 OBQ 与 OAP 面积相等。利用点 Q 在正比例函数图象上设 Q 的坐标，再通过方程有无实数解确定是否存在。 （2）在动点xyB hx = 2xAOMQPxy fx = 2xBCAOMPQ图 2图 1学优中考网 问题中分清变量与
17、常量，确定自变量与因变量，寻找其对应关系，再利用函数性质求解。【解答】 （1）设正比例函数解析式为 ykx，将点M（-2，-1）坐标代入得 12k=，所以正比例函数解析式为 12yx= 同样可得，反比例函数解析式为 2yx= （2）当点 Q 在直线 DO 上运动时，设点 Q 的坐标为 ()m， ， 于是： 21124OBSm =，而 ()2AP =-，所以有， 14，解得 所以点 Q 的坐标为 ()， 和 2(1)，- （3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP CQ， OQ PC，而点 P（ 1， 2）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只
18、需求 OQ 的最小值因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 2()n， ，由勾股定理可得 2224()On=+-，所以当 ()0n-即 -时， 有最小值 4，又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 2Q同时取得最小值，所以 OQ 有最小值 2 由勾股定理得 OP 5，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是2()()4OPQ+=+【点评】在函数问题中注意到数形结合，利用点的坐标表示线段的长度，从而表示相关几何量（如面积）同步检测：（2009 年安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A， (3)B， ， (0O， ，将此三角板绕原点 O顺时针旋转
19、90，得到 ABO （1）如图，一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线解析式；学优中考网 （2）设点 P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形 PBA的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值【解析】函数是用运动的观点观察事物发展的全过程，利用函数的性质可求最大（小）值。在问题 2 中，用分割方法把四边形 PBA分成四个三角形，用点 P的坐标表示其面积，从而建立函数关系式。【解答】 （1）抛物线过 (10)(3)， ， ， 设抛物线的解析式为 yaxa又抛物线过 (03)B， ，将坐标代入上解析式得：311a， ()3yx即满足条件的抛物线解析式为 21)x（2）如图 1， P为第一象限内抛物线
20、上一动点，设 ()xy， ， 则 0y， 点坐标满足 2(31)x连接 PBO， ， APBOSS 四 边 形 33(1)22xyx= 2743(1)当 32x时， PBAS四 边 形 最大此时， 4y即当动点 的坐标为 324， 时， PBAS四 边 形 最大，最大面积3211 2ABAOBxy3211 2ABAO xyB P学优中考网 为 12738来源:学优中考网 xyzkw随堂检测1. 2009娄底 市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为 200cm2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为 xcm，长为 ycm，那么这些同学所制作的矩形长 y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图
21、象大致是 ( )2. 2009陕西 若正比例函数的图象经过点（ 1，2） ，则这个图象必经过点（ ） A （1，2） B （ 1， 2） C （2， ） D （1， 2）3. （2009 湖北省荆门市）函数 y=ax1 与 y=ax2 bx1（ a0）的图象可能是（ ）4. 2009甘肃庆阳如图为二次函数 2yaxbc的图象，给出下列说法： 0ab；方程 20axbc的根为 123， ；A B C D1 1 1 1xo yyo xyo xxo y学优中考网 0abc；当 1x时， y 随 x 值的增大而增大；当 0y时， 13x其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）5. 2009牡
22、丹江 如图，点 A、 B是双曲线 3x上的点，分别经过 A、 B两点向x轴、 y轴作垂线段，若 1S阴 影 ， 则 2S 6.在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h） ，两组离乙地的距离分别为 S1（km）和 S2(km)，图中的折线分别表示 S1、S 2与 t 之间的函数关系（1）甲、乙两地之间的距离为 km，乙、丙两地之间的距离为 km；（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？（3）求图中线段 AB 所表示的 S2与 t 间的函数关系式
23、，并写出自变量 t 的取值范围7. 如图，直线 l的解析式为 4yx，它与 x轴、 y轴分别相交于 AB、 两点平行于直线 l的直线 m从原点 O出发，沿 轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与 x轴、 y轴分别相交于 MN、 两点，设运动时间为 t秒（ 04t ） （1）求 AB、 两点的坐标；2468S(km)20 t(h)AB学优中考网 （2）用含 t的代数式表示MON的面积 1S；（3）以 为对角线作矩形P，记 和 OAB 重合部分的面积为 2S，当 t 4时，试探究 2S与t之间的函数关系式；在直线 m的运动过程中，当 t为何值时， 2S为 OAB 面积的 516？随堂检测
24、答案：1.解：当面积一定的时候，长与宽之间的关系是反比例函数关系，所以图象应该是双曲线，考虑到自变量 x 的取值范围为正值，所以答案为 A。2. 解：设正比例函数为 y=kx，将（ 1，2）代得可得 k=-2，所以 D 点也在函数图象上。3. 解：本题考查函数图象与性质，当 0a时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数 y=ax1 与 y=ax2 bx1（ a0）的图象必过（0，1） ，所以 C 是正确的，故选 C4. 正确的有（1） ， （2） ， （4）5. 分析：本题考察反比例函数面积的不变性，从反比例函数图象上引一点向坐标轴作垂线，构成的矩形面积等于|k|，所以本题中
25、 12S3+3-2=4。解：因为两个大矩形的面积都等于 3，所以 3+3-2=4。6.答案：(1) 8 ,2（2）第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为： 0.812)(（小时）来源:学优中考网 xyzkw第二组由乙地到达丙地所用的时间为： .2)8(2（小时）（3）根据题意得 A、B 的坐标分别为（0.8，0）O M APNylmxBO M APNylmxBE PF学优中考网 和（1，2） ，设线段 AB 的函数关系式为：bktS，根据题意得： 28.0解得： -810bk图中线段 AB 所表示的 S2与 t 间的函数关系式为： 8102tS，自变量 t 的取值范围是： 10.8t7. （
26、1）当 x时， 4y；当 0时， 4x ()4AB， ， （ ， ） ； （2） 1OMANB ， ， 2112ONtSMONt， ； （3）当 t 时，易知点 P在 B 的外面，则点 P的坐标为 ()t， ,F点的坐标满足 4xyt， ， 即 ()Ft， ，同理 (4)Et， ，则 24Ett-， 所以 2MPNFOMNPEFSSS 2 211348ttttt()； 来源:学优中考网当 0 时， 225156， ，解得 15tt， ， 两个都不合题意，舍去；当 24 时， 2238St，解得 347tt， ，综上得，当 7t或 t时， 2为 OAB 的面积的 516学优中考网 学优.中考，网
