1、学优中考网 第四单元第 28 课时解直角三角形及其应用知识点回顾知识点 1：解直角三角形1、解直角三角形的类型：根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1）已知两边：两条直角边 a、b其解法：c= 2ba，用 tanA= ,求得A，B=90A斜边和一条直角边 c、a其解法：b= 2c，用 sinA= ，求得A，B=90A来源:xyzkw.Com（2）一边和一锐角：一条直角边 a 和锐角 A：B=90A；用 tanA= ba,求得 b= ；用sinA= c，求得 c= 斜边 c 和锐角 A：B=90A；用 sianA= c,求得 a= ；用 cosA= cb,求得 b=
2、2、解直角三角形的方法（口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中 ”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据【友情提示】解题时方法要灵活，选择关系时尽量考虑用原始数据，减小误差；斜三角形问题可添加合适的辅助线转化为直角三角形问题。例 1：（08 年宁夏中考）如图，在 ABC中， =90，sin A= 54， B=15，求ABC的周长和 tan A的值解析：应用直角三角形边角关系求出各边长，再求出周长与 tanA 的值。学优中考
3、网 解：在 Rt ABC中, =90, AB=15sin= = 54, 12 9122BA C的周长为 36 tanA= 34同步检测一：1 （2009湖南省益阳市）如图 3，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ）A. cos B. cos5 C. in D. in2 （2008 湖南益阳） AC 是电杆 AB 的一根拉线，测得 BC=6 米， ACB=52，则拉线 AC 的长为( )A. 526sin米 B. 526tan米 C. 6cos52米 D. cos米3. (2008 年乐山市)如图ADCD，AB13，BC12
4、，CD3，AD4，则 sinB= （ ） A、 51 B、 2 、 35 、 4答案：1B.2D3A来源:学优中考网 xyzkw知识点 2：解直角三角形的应用（1）仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 ；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .5 米AB图 3AB CBDCA学优中考网 （2）方位角 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900 的角,叫做 . 如图：点 A 在 O 的北偏东 30 点 B 在点 O 的南偏西 45（西南方向）注意：方位角是指从正北方向开始顺时针旋转后所成的角。（3）坡度的概念，坡度与坡角的关系。如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，
5、坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作 i，即 i ，坡度通常用 l：m 的形式，例如上图中的 1：2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i lh= ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。【友情提示】在解直角三角形的应用题时，要注意以下各点：要弄清仰角、俯角、坡度坡角、方向角等概念的意义；3045BOA东西北南铅直线 视线仰角俯角视线视线水平线学优中考网 认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角形。有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩形。选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错
6、；来源:学优中考网按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求精确度确定答案，注明单位。来源:学优中考网 xyzkw例 2：（08 年河北）气象台发布的卫星云图显示，代号为 W 的台风在某海岛（设为点 O）的南偏东 45方向的 B点生成，测得 106kmOB台风中心从点 以 40km/h 的速度向正北方向移动，经 5h 后到达海面上的点 C处因受气旋影响，台风中心从点 C开始以 30km/h 的速度向北偏西 60方向继续移动以 为原点建立如图 12 所示的直角坐标系（1）台风中心生成点 B的坐标为 ，台风中心转折点C的坐标为 ；（结果保留根号）（2）已知距台风中心 20km 的范围内均会受
7、到台风的侵袭如果某城市（设为点 A）位于点 O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？解析：过点 C 作 CDOA 于点 D，构造直角三角形求出 CA 的长，然后根据速度求台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间。解：（1） (031)B， ， (03210)C， ；（2）过点 作 OA于点 ，如图 2，则 3在 RtCD 中， ， D，3cos02A 0263， 51，来源:学优中考网 xyzkw台风从生成到最初侵袭该城要经过 11 小时x/kmy/km 北东AOBC6045图 12x/kmy/kmAOBC6045图 2D学优中考网 ABC D例 3：（
8、09 年广东深圳）如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为1: ， AC10 米坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连， AB14 米试求旗杆 BC 的高度 解析：延长 BC 交 AD 于 E 点，构造直角三角形，由坡比为1 3，可知CAE=30，运用解直角三角形知识可求出CE、AE 的长度，在 RtABE 中运用勾股定理，可求得BE，BC=BE-CE.解：延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CE AD在 Rt AEC 中， AC10， 由坡比为 1 3可知： CAE 30， CE ACsin3010 125，AE ACcos3010 3 在 Rt ABE 中， BE
9、 2ABE 2214(53)11 BE BC CE， BC BE CE11-56（米） 答：旗杆的高度为 6 米例 4：（09 年四川成都）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点C 测得教学楼 AB 的顶点 A 的仰角为 30，然后向教学楼前进 60 米到达点 D，又测得点 A 的仰角为 45。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度(计算过程和结果均不取近似值)来源:xyzkw.Com解析：由仰角的定义可知ABD=45，ACE=30，在 RtABC 中运用解直角三角形知识可以求得 BC= 3AB，由 BC
10、-BD=CD,得 3AB-AB=60，AB=30（ 3+1）米。来源:xyzkw.Com解：如图，由已知可得ACB=30，ADB=45在 RtABD 中，BD=AB.又在 RtABC 中，tan30= BCA， = 3，即 BC= AB.ABCD EABCD学优中考网 BC=CDBD， 3AB=CDAB，即（ 31）AB=60.AB= 160=30（ 1） （米）答：教学楼的高度为 30（ 31）米.同步检测二：1. （2009黑龙江省哈尔滨市）如图，一艘轮船以每小时 20 海里的速度沿正北方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30方向，轮船航行 2 小时后到达 B 处，在 B 处测得灯
11、塔 C 在北偏西 60方向当轮船到达灯塔 C 的正东方向的 D 处时，求此时轮船与灯塔 C 的距离 （结果保留根号）2. （2009内蒙古包头市）如图，线段 ABDC、 分别表示甲、乙两建筑物的高，ABCDB ， ，从 点测得 点的仰角 为 60从 点测得 点的仰角 为30，已知甲建筑物高 36A米（1）求乙建筑物的高 ；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离 C（结果精确到 0.01 米） （参考数据： 21.43.72 ， ）3. （2009山西省）有一水库大坝的横截面是梯形 ABCD， EF ， 为水库的水D乙CBA甲学优中考网 面，点 E在 DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他
12、们测得背水坡 AB的长为 12 米，迎水坡上 的长为 2 米， 135120BADC， ， 求水深 （精确到0.1 米， 21.4.73， ）来源:xyzkw.ComAB CDE F水深M GH学优中考网 参考答案：来源:学优中考网1. 解：由题意得CAB=30，CBD=60，ACB=30ACB=CAB，BC=AB=202=40CDB=90，sinCBD= BCD，即 sin60= BC= 23CD=BC 23=40 =20 3此时轮船与灯塔 C 的距离为 20 海里.2. 解：（1）过点 A作 ED 于点 ，根据题意，得 6030BA， ，3AE，米，来源:xyzkw.Com设 Dx，则 C
13、x，在 Rt 中， tanta0DEA，33AExBAEx，在 tDC 中， 36tanta60CxB， ，361854xx， ，（米） （2） 3BAE， ，.72.18C（米） 3.【解析】分别过点 A、D 作梯形的高，图形便分为两个直角三角形和一个矩形，在直角三角形中利用锐角三角函数计算出 AM、DG、DH，即可求出水深.【答案】解：分别过 、 作 MBC于 DGB， 于 过 E作 HG于 ， 则四边形 为矩形,135120ADBCA ， 45603， ， 在 RtM 中， sin126B D乙CBA甲E学优中考网 62DG在 RtHE 中， 3cos2DEH 621.47-3 6.答
14、：水深约为 6.7 米随堂检测：1. （09 年福建漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则 tan的值是（ ）A 34B C 35 D 42. （09 年河北）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中 AB、 CD 分 别 表示 一 楼 、 二 楼 地 面 的 水 平 线 ， ABC=150， BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B 到点 C 上 升 的高度 h 是（ ）A 83 m B4 mC 4 m D8 m3. (09 年湖北恩施)如图，在ABC 中，C=90,B=60,D 是 AC 上一点， ABE于 ,且 ,1,2EC则 BC的长为( ) A. 2 B. 34 C. D. 3
15、4 4. （09 年遂宁）如图，已知ABC 中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为 cm.5.（09 年益阳） 如图，将以 A 为直角顶点的等腰直角三角 形（第 1 题）A BC D150第 2 题h图 5EDC BA（第 3 题）（第 4 题）学优中考网 ABC 沿直线 BC 平移得到 CBA，使点 与 C 重合，连结 BA，则 Ctan的值为 .来源:xyzkw.Com6. （09 年朝阳）如图， ABC 是等边三角形，点 D是 BC边上任意一点， DEAB于点 E， DF于点 若 2，则 EF_7. （09 年温州）ABC 中，C=90，A
16、B=8，cosA= 43，则 AC 的长是 8. 计算 ： 01)28(60cos .9. 计算：108in45310. （08 年绍兴）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在 A处时，车载 GPS（全球卫星定位系统）显示村庄 C在北偏西 25方向，汽车以 35km/h 的速度前行 2h 到达 B处，GPS 显示村庄 在北偏西 52方向（1）求 B处到村庄 C的距离；（2）求村庄 到该公路的距离 （结果精确到 0.1km）（参考数据： sin260.438 ， cos260.89 ， sin520.78 ，cos5.17 ）FEB CDA（第
17、6 题图）AC(B)BAC（第 5 题）学优中考网 11. （08 年青岛）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且 AB2 米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线 CD 的最小夹角 为 18.6，最大夹角 为 64.5请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中 CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1）12. （09 年广东省）如图所示， A、 B两城市相距 100km现计划在这两座城市间修筑
18、一条高速公路（即线段 ） ，经测量，森林保护中心 P在 A城市的北偏东 30和 B城市的北偏西 45的方向上已知森林保护区的范围在以 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区为什么？（参考数据： 31.72.41 ， ）13. （09 年黄冈）如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记作点 M）位于滨海市（记作点 A）的南偏西 15，距离为 612千米，且位于临海市（记作点 B）正西方向A 第 12 题图BFE P4530ADBANBC（第 10 题图）学优中考网 603千米处台风中心正以 72 千米/时的速度沿北偏东 60的方向移动（假设台风在移动过
19、程中的风力保持不变） ，距离台风中心 60 千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？随堂检测答案：1.A 2.B 3.B 4. 213 5. 6. 3 7. 6 8. 解： 原式= =29. 解：108sin45()321310. 解：过 C作 DAB，交 于 D（1） 52， 6，6B，70CA，即 处到村庄 的距离为 70km（2）在 RtD 中，sin52B70.85.2AM B（滨海市）（临海市）ANBC学优中考网 即村庄 C到该公路的距离约为 55.2km11.
20、解：设 BC 的长为 x 米，则 AC 的长为（2x）米，由于 为 18.6， 为 64.5，所以ADC，CDB在 RtACD 中，AC（x2）米，ACD90，ADC64.5，CD 0tan64.5AC在 RtBCD 中，BCx 米，ACD90，BDC18.6，CD 18.B 0tan64.5AC 0ta18.6B，tan18.6（x2）tan64.5x即 x1.5，BC1.5 米， CD .324.7 （米） 答：遮阳蓬中 CD 的长是 4.7 米. 12. 解：过点 P作 CAB ， 是垂足，则 3045APCB， ，tan PE， tan ,，tan30tan45=100，1PC，503
21、5031.7263.450 答：森林保护区的中心与直线 AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区13.解：（1）设台风中心运行的路线为射线 MN于是 60154MN， 9063过点 A作 H于 ， 故 1AH 为等腰直角三角形P答案 12 题图FBCAE学优中考网 612AM， 故 160H滨海市不会受到台风的侵袭再过 B作 2N于 2由于 63MB，230，故 6H故临海市会受到台风侵袭（2）以点 B为圆心，60 为半径作圆与射线 MN分别交于 12T故 1260BT在 12T 中，21130sin6HB故锐角 2T又 1， 故 12 为等边三角形2来源:xyzkw.Com当台风中心点 Q位于线段 12T内时， 160QBT， 点 在以 Q为圆心，60为半径的圆的圆形区域内，此时临海市会受到台风侵袭，即台风中心经过线段 12T上所用的时间 6057（小时） 临海市受到台风侵袭时间为 小时AM B（滨海市）（临海市）603T1 H1H2T2学优中考网 学;优中考 ，网
