1、学优中考网 第四单元第 28 课时解直角三角形及其应用知识点回顾知识点 1：解直角三角形1、解直角三角形的类型：根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1）已知两边：两条直角边 a、b其解法：c= ，用 tanA= ,求得A，B=902baA斜边和一条直角边 c、a其解法：b= ，用 sinA= ，求得A，B=902cA（2）一边和一锐角：一条直角边 a 和锐角 A：B=90A；用 tanA= ,求得 b= ；用basinA= ，求得 c= c斜边 c 和锐角 A：B=90A；用 sianA= ,求得 a= ；用 cosA= ,求得 b= ccb2、解直角三角形的方法（
2、口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中 ”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据【友情提示】解题时方法要灵活，选择关系时尽量考虑用原始数据，减小误差；斜三角形问题可添加合适的辅助线转化为直角三角形问题。例 1：（08 年宁夏中考）如图，在 中， =90，sin = ， =15，求ABCA54B的周长和 tan 的值ABCA解析：应用直角三角形边角关系求出各边长，再求出周长与 tanA 的值。学优中考网 解：在 中, =90
3、, =15Rt ABCAB= = , sin54 129122BA 的周长为 36 CA=tan34同步检测一：1 （2009湖南省益阳市）如图 3，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 米，那么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ）A. B. coscos5C. D. inin2 （2008 湖南益阳） AC 是电杆 AB 的一根拉线，测得 BC=6 米， ACB=52，则拉线 AC 的长为( )A. 米 B. 米 526sin526tanC. 6cos52米 D. 米cos3. (2008 年乐山市)如图ADCD，AB13，BC12，CD3，AD4，则 sinB=
4、 （ ） A、 B、 、 、512354答案：1B.2D3A知识点 2：解直角三角形的应用（1）仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 ；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .5 米AB图 3AB CBDCA学优中考网 铅直线 视线仰角俯角（2）方位角 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900 的角,叫做 . 如图：点 A 在 O 的北偏东 30 点 B 在点 O 的南偏西 45（西南方向）3045BOA东西北南注意：方位角是指从正北方向开始顺时针旋转后所成的角。（3）坡度的概念，坡度与坡角的关系。如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的
5、比叫做坡度(或坡比)，记作 i，即 i ，坡度通常用 l：m 的形式，例如上图中的 1：2 的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i = ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。lh【友情提示】在解直角三角形的应用题时，要注意以下各点：视线视线水平线学优中考网 要弄清仰角、俯角、坡度坡角、方向角等概念的意义；认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角形。有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩形。选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求精确度确定答案，注
6、明单位。例 2：（08 年河北）气象台发布的卫星云图显示，代号为 W 的台风在某海岛（设为点 ）O的南偏东 方向的 点生成，测得 台风中心45B106kmOB从点 以 40km/h 的速度向正北方向移动，经 5h 后到达海面上的点 处因受气旋影响，台风中心从点 开始以 30km/h 的速度向CC北偏西 方向继续移动以 为原点建立如图 12 所示的直角坐60标系（1）台风中心生成点 的坐标为 ，台风中心转折点B的坐标为 ；（结果保留根号）C（2）已知距台风中心 20km 的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为点 ）位于A点 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要
7、经过多O长时间？解析：过点 C 作 CDOA 于点 D，构造直角三角形求出 CA 的长，然后根据速度求台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间。解：（1） ， ；(031)B， (03210)C，（2）过点 作 于点 ，如图 2，则 OA3在 中， ， ，RtCD D 3cos02A0， ，26351台风从生成到最初侵袭该城要经过 11 小时x/kmy/km 北东AOBC6045图 12x/kmy/kmAOBC6045图 2D学优中考网 ABC D例 3：（09 年广东深圳）如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为1: ， AC10 米坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连
8、， AB14 米试求旗杆 BC 的高度 解析：延长 BC 交 AD 于 E 点，构造直角三角形，由坡比为 ，可知CAE=30，运用解直角三角形知识可求出13CE、AE 的长度，在 RtABE 中运用勾股定理，可求得BE，BC=BE-CE.解：延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CE AD在 Rt AEC 中， AC10， 由坡比为 1 可知： CAE 30，3 CE ACsin3010 5，12AE ACcos3010 3在 Rt ABE 中， BE 112ABE2214(53) BE BC CE， BC BE CE11-56（米） 答：旗杆的高度为 6 米例 4：（09 年四川成都）某中学
9、九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度如图，他们先在点C 测得教学楼 AB 的顶点 A 的仰角为 30，然后向教学楼前进 60 米到达点 D，又测得点 A 的仰角为 45。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度(计算过程和结果均不取近似值)解析：由仰角的定义可知ABD=45，ACE=30，在 RtABC 中运用解直角三角形知识可以求得 BC= AB，由 BC-BD=CD,得 AB-AB=60，AB=30（ +1）米。333解：如图，由已知可得ACB=30，ADB=45在 RtABD 中，BD=AB.又在 RtABC 中，tan
10、30= ， = ，即 BC= AB.BCA3ABCD EABCD学优中考网 BC=CDBD， AB=CDAB，即（ 1）AB=60.33AB= =30（ 1） （米）60答：教学楼的高度为 30（ 1）米.3同步检测二：1. （2009黑龙江省哈尔滨市）如图，一艘轮船以每小时 20 海里的速度沿正北方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30方向，轮船航行 2 小时后到达 B 处，在 B 处测得灯塔 C 在北偏西 60方向当轮船到达灯塔 C 的正东方向的 D 处时，求此时轮船与灯塔 C 的距离 （结果保留根号）2. （2009内蒙古包头市）如图，线段 分别表示甲、乙两建筑物的高，ABDC、
11、，从 点测得 点的仰角 为 60从 点测得 点的仰角 为ABCDB ， 30，已知甲建筑物高 米36A（1）求乙建筑物的高 ；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离 （结果精确到 0.01 米） C（参考数据： ）21.43.72 ， 3. （2009山西省）有一水库大坝的横截面是梯形 ， 为水库的水ABCDEF ，D乙CBA甲学优中考网 面，点 在 上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡 的EDC AB长为 12 米，迎水坡上 的长为 2 米， 求水深 （精确到135120BADC， ，0.1 米， ）21.4.73，AB CDE F水深参考答案：1. 解：由题意得CAB=30
12、，CBD=60，ACB=30ACB=CAB，BC=AB=202=40CDB=90，sinCBD= ，即 sin60= =BCDBC23CD=BC =40 =20233此时轮船与灯塔 C 的距离为 20 海里.2. 解：（1）过点 作 于点 ，AED根据题意，得 ，6030BA，米，3AE，设 ，则 ，DxCx在 中， ，Rt tanta0DEA，33AExBAEx，在 中， ，tDC 36tanta60CxB，M GHD乙CBA甲E学优中考网 （米） 361854xxDC， ，（2） ， ，3BAE（米） .72.18C3.【解析】分别过点 A、D 作梯形的高，图形便分为两个直角三角形和一个矩
13、形，在直角三角形中利用锐角三角函数计算出 AM、DG、DH，即可求出水深.【答案】解：分别过 作 于 于、 MBCDGB， 过 作 于 则四边形 为矩形EHG，,135120ADBCA ， 45603， ， 在 中，RtM sin126B 62DG在 中，tHE 3cos2DEH 621.47-3 6.答：水深约为 6.7 米随堂检测：1. （09 年福建漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则 的值tan是（ ）A B C D343542. （09 年河北）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中 AB、 CD 分 别 表示 一 楼 、 二 楼 地 面 的 水 平 线 ， ABC=15
14、0， BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B 到点 C 上 升 的高度 h 是（ ）A 83 m B4 mC 4 m D8 m（第 1 题）A BC D150第 2 题h学优中考网 3. (09 年湖北恩施)如图，在ABC 中，C=90,B=60,D 是 AC 上一点， 于 ,且ABE,1,2DEC则 的长为( ) BCA. 2 B. C. D. 34344. （09 年遂宁）如图，已知ABC 中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为 cm.5.（09 年益阳） 如图，将以 A 为直角顶点的等腰直角三角 形ABC 沿直线 BC 平移得到 ，使点 与
15、 C 重合，连结 ，则 的值BBACtan为 .6. （09 年朝阳）如图， 是等边三角形，点 是 边上任意一点， 于ABC DBCDEAB点 ， 于点 若 ，则 _EDF2EFFEB CDA（第 6 题图）7. （09 年温州）ABC 中，C=90，AB=8，cosA= ，则 AC 的长是 438. 计算 ： .01)28(60cosA C(B)B A C（第 5 题）图 5EDC BA（第 3 题）（第 4 题）学优中考网 9. 计算： 1082sin45()310. （08 年绍兴）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在 处时，车载 GP
16、S（全球卫星定位系统）显示村庄 在北AC偏西 方向，汽车以 35km/h 的速度前行 2h 到达 处，GPS 显示村庄 在北偏西 方25 B52向（1）求 处到村庄 的距离；BC（2）求村庄 到该公路的距离 （结果精确到 0.1km）（参考数据： ， ， ，sin260.438 cos260.89 sin520.78 ）cos5.17 ANBC（第 10 题图）11. （08 年青岛）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且 AB2 米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线 CD 的最小夹角 为 18.6
17、，最大夹角 为 64.5请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中 CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.60.32，tan18.60.34，sin64.50.90，tan64.52.1）ADB12. （09 年广东省）如图所示， 、 两城市相距 100km现计划在这两座城市间修筑一AB学优中考网 条高速公路（即线段 ） ，经测量，森林保护中心 在 城市的北偏东 和 城市的ABPA30B北偏西 的方向上已知森林保护区的范围在以 点为圆心，50km 为半径的圆形区域45内请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区为什么？（参考数据： ）31.72.41 ， A 第
18、 12 题图BFE P453013. （09 年黄冈）如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记作点 M）位于滨海市（记作点 A）的南偏西 15，距离为 612千米，且位于临海市（记作点 B）正西方向603千米处台风中心正以 72 千米/时的速度沿北偏东 60的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变） ，距离台风中心 60 千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？AM B（滨海市）（临海市）随堂检测答案：1.A 2.B 3.B 4. 5. 6. 7. 6 21338
19、. 解： 原式= =29. 解：108sin45()3学优中考网 21310. 解：过 作 ，交 于 CDABD（1） ， ，526，6B，70CA即 处到村庄 的距离为 70km（2）在 中，RtDsin52B70.85.2即村庄 到该公路的距离约为 55.2kmC11. 解：设 BC 的长为 x 米，则 AC 的长为（2x）米，由于 为 18.6， 为 64.5，所以ADC，CDB在 RtACD 中，AC（x2）米，ACD90，ADC64.5，CD 0tan64.5AC在 RtBCD 中，BCx 米，ACD90，BDC18.6，CD 18.B ，tan18.6（x2）tan64.5x0ta
20、n64.5AC0ta18.6B即 x1.5，BC1.5 米， CD 4.7 （米） .32答：遮阳蓬中 CD 的长是 4.7 米. 12. 解：过点 作 是垂足，PCAB ，则 ，3045APCB，ANBCP答案 12 题图FBCAE学优中考网 tan tan ,ACP30BCPE， 45，tan tan =100，310P5351.7326.450C 答：森林保护区的中心与直线 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公AB路不会穿越保护区13.解：（1）设台风中心运行的路线为射线 MN于是 60154MN， 9063过点 作 于 故 为等腰直角三角形AH， 1AH故2， 16滨海市不会受到台风的侵袭再过 作 于 由于B2MN203B，230H，故 6故临海市会受到台风侵袭（2）以点 为圆心，60 为半径作圆与射线 分别交于 故BMN12T1260BT在 中，12TH21130sin6B故锐角 2T又 故 为等边三角形1， 12H2当台风中心点 位于线段 内时， 点 在以 为圆心，60Q12T160QBT， Q为半径的圆的圆形区域内，此时临海市会受到台风侵袭，即台风中心经过线段AM B（滨海市）（临海市）603T1 H1H2T2学优中考网 上所用的时间 （小时） 12T60572临海市受到台风侵袭时间为 小时学优中考网 学优中$考，网
