1、学优中考网 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【课前热身】1.方程（2x1） （3x+1）=x 2+2化为一般形式为_，其中 a=_，b=_，c=_2.关于 x的一元二次方程 mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则 m的值等于_3.关于 x的一元二次方程 x2+mx+n=0的两个根为 x1=1，x 2=2，则 x2+mx+n分解因式的结果是_4. 关于 x的一元二次方程 2x23xa 2+1=0的一个根为 2，则 a的值是（ ）A1 B 3 C 3 D 35. 若关于 x的一元二次方程（m1）x 2+5x+m23m+2=0 的常数项为 0，则 m的值等于（ ）A1 B2 C1 或 2
2、 D0【参考答案】1. 5x2x3=0 5 1 3来源:学优中考网 xyzkw2. 33.（x1） （x+2）5.D6.B【考点聚焦】知识点：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求:1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.【备考兵法】考查重点与常见题型 学优中考网 1.利
3、用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于 x的方程 ax22x10 中，如果 a0一元二次方程 2有两个 实数根，即2,x.（2） ac=0 一元二次方程有 相等的实数根，即 21x .（3） b4（x+1） （x1）=0，所以 x1=1，x 2=1（x+2） （x1）=0，所以 x1=2，x 2=1（x+3） （x1）=0，所以 x1=3，x 2=1学优中考网 （x+n） （x1）=0，所以 x1=n，x 2=1（2）比如：共同特点是：都有一个根为 1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解
4、题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查例 3（2008 年江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留 3m宽的空地，其他三侧内墙各保留 1m宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？【答案】解法一：设矩形温室的宽为 xm，则长为 2xm，根据题意，得（x2）（2x4）=288解这个方程，得 x1=10（不合题意，舍去） ，x 2=14所以 x=14，2x=214=28答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m时，蔬菜种植区域的面积是 288m2解法二：设矩形温室的长为 xm
5、，则宽为 12xm根据题意，得（ 12x2）（x4）=288解这个方程，得 x1=20（不合题意，舍去） ，x 2=28所以 x=28 x= 28=14答：当矩形温室的长为 28m，宽为 14m时，蔬菜种植区域的面积是 288m2【解析】在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去【迎考精练】一、选择题学优中考网 1.（2009 年台湾）若 a 、 b为方程式 x24(x1)=1 的两根，且 a b，则 =_？ A5 B4 C1
6、D. 3 来源:学优中考网2.（2009 年湖南株洲）定义：如果一元二次方程 20()xc满足 0abc，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 aba 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ac B C c D abc3.(2009年四川成都)若关于 x的一元二次方程 210kx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A. 1 B. 1k且 0 C. D. 1k且 04.（2009 年内蒙古包头）关于 x的一元二次方程 210xm的两个实数根分别是12x、，且 217x，则 21()的值是（ ）A1 B12 C13 D255.（2009 湖北荆州）关于 x的方程 2()
7、0ax只有一解（相同解算一解） ，则 a的值为（ ）A 0a B C 1a D 0或 26.（2009 年山东烟台）设 ab， 是方程 209x的两个实数根，则 2ab的值为（ ）A2006 B2007 C2008 D2009 7 （2009 年湖北宜昌）设方程 x24 x1=0 的两个根为 x1与 x2，则 x1x2的值是( )来源:学优中考网 xyzkwA4 B1 C1 D 08 （2009 年湖北十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A 02x B 32x C 3 D 049 （2009 年四川眉山）若方程 21x的两根为 1x、 2，则 12x的值为( ) A3 B3 C 3
8、 D 3学优中考网 10 （2009 年山东东营）若 n（ 0）是关于 x的方程 20mxn的根，则 m+n的值为（ ）A.1 B.2 C.-1 D.-2 二、填空题1.(2009年上海市)如果关于 x的方程 20xk（ 为常数）有两个相等的实数根，那么 k 2.（2009 年山东泰安）关于 x的一元二次方程 02)1(2kx有实数根，则k的取值范围是 。3.（2009 年广西崇左）一元二次方程 230mx的一个根为 ，则另一个根为 4.（2009 年广西贺州）已知关于 x的一元二次方程 2有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是 三、解答题1.（2009 年山东淄博） 已知 12x， 是
9、方程 20xa的两个实数根，且123x（1）求 12x， 及 a的值；（2）求 312x的值来源:学优中考网 xyzkw2(2009 年广东中山)已知：关于 x的方程 210kx（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是 1，求另一个根及 值学优中考网 来源:学优中考网3.（2009 年重庆江津区）已知、分别是ABC 的三边，其中1，4，且关于 x的方程 042bx有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状.来源:xyzkw.Com来源:学优中考网 xyzkw4 （2009 年湖南怀化）如图，已知二次函数 22)(mkxy的图象与 x轴相交于两个不同的点 1(0)Ax， 、 2
10、()B， ，与 轴的交点为 C设 AB 的外接圆的圆心为点 P（1）求 P 与 y轴的另一个交点 D的坐标；（2）如果 恰好为 的直径，且 AB 的面积等于 5，求 m和 k的值 来源:学优中考网5 （2009 年湖北黄石）已知关于 x的函数 21yax（ 为常数）（1）若函数的图象与 轴恰有一个交点，求 的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 轴上方，求 的取值范围学优中考网 来源:xyzkw.Com【参考答案】选择题1. A2. A3. B4. C【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知： 12.xm 又 221117xx 217m 得 1， 25 ，而当
11、5m时，原方程的判别式 5490，此时方程无解， 不合题意舍去. 12.3x 222111431xx，故选 C本题易出错，学生易在求得 1m或 25的两个值后，代入 12.xm，求出2211143xx或11，易漏掉检验方程是否存在实根.5. D【解析】本题考查方程的有关知识，关于 x的方程 2()0ax只有一解，有两种情况，该方程是一元一次方程，此时 0，该方程是一元二次方程，方程有两个相等等的实数根， 24aA，解得 2，故选 D.6. C7. B8. A9. B10. D填空题学优中考网 1. 412. 9k3.34.14m解答题1. 解：（1）由题意，得 123.x， 解得 12xx，
12、所以 ()1a（2）法一： 由题意，得 210x所以 32112x= 321123x = 2x 法二： 由题意，得 21，所以 3212xx= 112()3(2)xx = 2116= = 122431xx 2. 解：（1） 0k，224()8k，无论 k取何值， k 0，所以 0，即 ，方程 21x有两个不相等的实数根（2）设 k的另一个根为 x，则 12k， 1()2xA，解得： 2x， ，210k的另一个根为 12， k的值为 1学优中考网 3. 解:方程 240xb有两个相等的实数根= ()b=4.来源:学优中考网c=4.b=c=4.ABC 为等腰三角形.4. 解 （1）易求得点 C的坐
13、标为 (0)k， 由题设可知 12x， 是方程0)(22mkx即2的两根，故212()4mkx，所以1212xxk，如图 3， P与 y轴的另一个交点为 D，由于 AB、 CD是 P的两条相交弦，设它们的交点为点 O，连结 DB， AOC DOC，则 .121kxCBA由题意知点 C在 y轴的负半轴上，从而点 D在 y轴的正半轴上，所以点 D的坐标为（0，1）（2）因为 ABCD， AB又恰好为 P的直径，则 C、 D关于点 O对称，所以点 的坐标为 (01)， ，即 k）又 2222214()41ABxxmkkm，所以 15CSO 解得 .5. 解：（1）当 0a时，函数为 yx，它的图象显然与 x轴只有一个交点 ()， 当 时，依题意得方程 210x有两等实数根140a， 4当 或 时函数图象与 x轴恰有一个交点学优中考网 （2）依题意有 410a分类讨论解得 14a或 0当 a或 时，抛物线顶点始终在 x轴上方学优中考网 学#优 中考$，网
