1、Harbin Institute of Technology,第二章 测量误差的规律性及其表述,随机误差统计规律的表述 正态分布随机误差的统计规律及其表述 测量中非正态分布的随机误差 系统误差的特征及其表述 系统误差的检验方法 各类误差间的关系,Harbin Institute of Technology,随机误差的分布密度和分布函数,随机误差： 当对同一量值进行多次等精度 的重复测量时，得到一系列不同的测量值 (常称为测量列)，每个测量值都含有误差, 这些误差的出现又没有确定的规律，即前 一个误差出现后，不能预定下一个误差的 大小和方向，但就误差的总体而言，却具 有统计规律性。,Harbin
2、 Institute of Technology,随机误差的分布密度和分布函数,随机误差的来源： 测量装置方面的因素 零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。 环境方面的因素 温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等 人员方面的因素 瞄准、读数的不稳定等。,Harbin Institute of Technology,随机误差的分布密度和分布函数,按分布函数定义，随机变量x的分布函数为式中， 是作为随机变量的随机误差取值 小于的概率。若随机误差取值在数轴上，表示随机误差落在点 左面的概率。当点右移时这一概率增大；当点 移向无穷远处时，这一
3、概率为1，即 反 之，当点左移时这一概率减小；当点移向无穷 远处时这一概率为0，即,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数（）,在一般的数据处理中，随机误差的数字特征主 要使用数学期望E（）和方差D（） 数学期望 定义：的分布密度函数 数学期望是误差的分布中心，它反映了的 平均特征（或者数学期望说是所有可能取值 的平均值）,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数（）,数学期望的性质： 常数c的数学期望为E（c）=c 随机误差乘以常数c，则有 随机误差 之和的数学期望为相互独立的随机误差 之积的数学期望为,Har
4、bin Institute of Technology,随机误差的表征参数（）,方差和标准差定义：通常，随机误差的数学期望E（）=0，因而有：,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数（）,随机误差的方差是反映随机误差取值的分散程 度的，是误差随机波动性的表征参数。 方差的性质： 常数c的方差为D（C）=0； 随机误差乘以常数c的方差为 随机误差 之和的方差为,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数（）,当随机误差 相互独立时，和的方差为实际上更常使用标准差（或均方差）。按照定义，标准差应为方差的正平方根，即应注
5、意，标准差没有负值。 方差和标准差可作为测量精度的评定参数,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数（）,协方差（相关矩）和相关系数随机误差x与y的协方差定义为相关系数为：协方差或相关系数反映误差之间的线性相关关系，这一相关关系影响到误差间的抵偿性，这一情形将在第五章详细说明,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数（）,实用中的其他一些参数扩展不确定度：U=ks，式中，k为置信系数。 K值相应于一定的置信概率P。置信概率P为误差落入区间（-ks，+ks）的概率，若超出该区间的概率为，则有P=1-。此外，平均误差与
6、或然误差在实践上也有用。,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数（）,平均误差为测量误差绝对值的平均值，其期望为：实践上取或然误差规定为满足下式的值,Harbin Institute of Technology,2.2正态分布随机误差的统计规律及其表述,正态分布的统计直方图和经验分布曲线 正态分布随机误差的分布函数和分布密度 正态分布随机误差概率的计算 正态分布随机误差的表征参数 误差分布的正态性检验,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,对某一量X进行多次重复测量,由于随机误差因素的作 用,
7、各次测量结果都不相同,这些结果按一定的规律分 布.在直角坐标中,由横坐标给出 测量结果,将测量结果的取值范围等分为适当数量(m)的 区间,每一区间间隔为x.设测量次数为n,计数测量结果 落入每一区间的数目 .,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,以x为底,以 为高坐标图中第i区间作矩形，所得矩形的面积即为测量结果在该区间上的频率 (即相应频率的近似)。依次类推在各区间上作出这样的矩形,所有矩形的总合就称为统计直方图，由图中显而易见,直方图的面积总和应为1。连接各矩形上边中点而得一曲线,这是通过统计 实验得到的分布密度曲线，这一曲线称
8、为经验分布曲 线.经验分布曲线给出了测量结果的概率分布,其相应 的纵坐标为概率密度。其某区段的面积即代表了相应 的概率.,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,从上图的分析,可知:测量次数越多,分布间距越小, 所得经验分布曲线就越可靠.将x转换为=x-X,得到关于的分布曲线.,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,分析考查这一分布曲线可知,这一误差分布有以下特点 对称性:分布曲线关于纵坐标对称,表明该随机误差正值与负值出现的机会均等. 单峰性:分布曲线中间高、两端渐低而接近于
9、横轴,表明误差以较大的可能性分布于0附近,即绝对值小的误差出现的可能性大,而绝对值大的误差出现的可能性小. 有界性:测量的实际误差总是有一定界限而不会无限大,因而经验分布曲线总有一实际范围,这就是误差的有界性.,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,总结: 由误差的对称性和有界性可知,这类误差在叠加时有正负抵消的作用. 一般来说,不论随机误差服从何种分布,只要其数学期望为0,则该随机误差就有这一抵偿性. 由于随机误差的低偿性,当测量次数足够大时,该随机误差的算术平均值趋于零.,Harbin Institute of Technolog
10、y,正态分布随机误差的分布函数和分布密度,根据最大似然原理可推得的分布密度为:e-自然对数的底,e=2.7183;-圆周率, =3.14159;-误差的均方差或称标准差,对同一分布的随机 误差, 为一常数.误差的分布密度函数f()的曲线如图所示.这一 曲线与前述的经验分布曲线是一致的.这是一条指数曲 线,曲线两端向无穷远处延伸,并逼近横坐标.,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的分布函数和分布密度,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的分布函数和分布密度,注意: 正态分布的随机变量的和仍为正态分布的随机变量.
11、即但在和式中若有部分误差不服从正态分布,则这 一误差和就不服从正态分布.不过,当和式中的误差项 数量增加,而又”均匀”减小,和的分布将趋于正态分布实践上,当各随机误差较为”均匀”,即它们的方差 相差不太大时,n大致在10左右，这些误差的和就能较 好的接近正态分布.,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差概率的计算,由分布密度f()的定义可知,正态分布随 机误差取值在ab区间内的概率应为相应 区间上密度函数的积分这一概率等于相 应区段密度曲线 下的面积,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差概率的计算,实际中,上面的
12、积分的直接计算是困难的.实用中都 是利用数表给出上面的积分,为此须将上面的积分进行 变换.作变量 则有:引入函数 则,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差概率的计算,函数(t)称为概率积分(或称拉普拉斯函数),其 值可按t值查概率积分表获得.由 查概率积分表可得 及 值,根 据以上公式可求得概率值.而误差取值在a,b之外的 概率则为=1-P.实践上常遇到对称区间上的概率计算,对称区间 -a,a上的概率为而分布概率的总和应为1,即密度曲线下的全部面积为1,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的表征参数,对于正态分
13、布的随机误差,其数学期望为0,即正态分布随机误差的均值为0(测量次数足够多),正 是随机误差抵偿性的反映.由于正态分布随机误差的数学期望为0,因而对任 一正态分布随机误差的数学期望无须再作说明.正态分布随机误差的方差等于其分布密度函数中 的参数的平方.推导过程如下:,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的表征参数,正态分布随机误差的方差为作变量代换 代入上式,则有: 经分部积分得 括号内的第一部分为0,第二部分是欧拉-波阿松积 分,等于 ,故,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的表征参数,由正态分布的分布密度
14、函数式可知,只要确定了值则分布密度函数即已确定,可见参数的重要性.显然,参数即为标准差.由图可知,标准差大,相 应的分布曲线低而宽,表明 误差取值分散程度大,对测 量结果的影响就大.标准差 小,则情形正相反.,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的表征参数,平均误差期望为 或然误差的期望为=0.6745 在分布曲线图,曲线的 拐点,为曲线半边面积重 心横坐标,则为将曲线半 边面积等分为左右两半的 坐标线相应的横坐标.,Harbin Institute of Technology,误差分布的正态性检验,分布正态性检验的方有两类: 通用的检验方法,适用于检
15、验各种分布,如x检验法. 另一类检验方法是专门用于检验正态分布的方法,这类方法利用了正态分布的特点,因而更为有效.如正态概率纸检验法;偏态、峰态检验法;W检验法等.其中,正态概率低检验法简便实用,是实践中经常使用的方法.,Harbin Institute of Technology,正态概率纸检验法,正态概率纸检验法是一种具有特殊分度的专用坐标纸其坐标构造按标准正态分布设计,但适用于任何正态分布的检验(因一般正态变量与标准正态变量具有简单的线性关系).横坐标表示被检验的数据值x,分度是均匀的;纵坐标为相应的概率值,分度是不均匀的但坐标点在概率纸上成一直线,Harbin Institute of
16、 Technology,正态概率纸检验法,根据坐标点在概率纸上成一直线分布,据此可检验某组 数据是否服从正态分布.检验方法如下: 将待检验的n个数据大小重新排列,得顺序数列; 计算相应的额概率 可按下式计算 式中:n-给出数据得数目i-数据按大小排列的序号,i=1,2,n. 以 为坐标,将各点逐一描于正态概率纸上; 按所得各坐标点进行判别,若各点分布于一直线附近,则表 明该组数据服从正态分布,否则认为数据分布偏离正态,Harbin Institute of Technology,正态概率纸检验法,若该组数据经检验服从正态分布,则可由所得坐 标图上的直线查得均值及子样标s:P=0.5相 应的x值
17、即为均值的估计值,而P=0.159相应的 x值为 则标准差的估计值为例题见课本28页,Harbin Institute of Technology,测量中非正态分布的随机误差,大多数的测量误差因素具有正态分布的特, 但在测量实践中确实存在非正态分布的随机误 差因素.常见的非正态分布的随机误差 均匀分布的随机误差 反正弦分布的随机误差 其他非正态分布的随机误差 截尾正态分布 三角形分布 歪曲了的正态分布,Harbin Institute of Technology,均匀分布的随机误差,这类误差均匀地分 布在某一区域内,即在 该区域内概率密度处 处相等,在该区域外概 率密度为0.其分布曲 线为一相
18、应于该区域 的平行于横坐标的直 线段.如右图所示,Harbin Institute of Technology,均匀分布的随机误差,设有均匀分布的随机误差,其分布区域为-aa(a 为正数),则的分布密度应为均匀分布的随机误差的数学期望为 即均值为0.因此,均匀分布的随机误差也具有正态分布 随机误差的低偿性. 方差:,分布函数,Harbin Institute of Technology,反正弦分布的随机误差,若随机变量服从均匀布,Harbin Institute of Technology,反正弦分布的随机误差,Harbin Institute of Technology,反正弦分布的随机误差
19、,反正弦分布误差的数学期望为而方差为 标准差为 式中a为误差的最大值,Harbin Institute of Technology,其他非正态分布的随机误差,截尾正态分布 正态分布的随机误差被限定在某一有限区域(-,)内,即服从截尾正态分布。 如加工出某种零件,其尺寸 (或尺寸误差)服从正态 分布，按给定的公差要求 |验收这批工件,将 超差(|)的工件报废 验收合格的这些工件尺寸 就服从截尾正态分布.,Harbin Institute of Technology,其他非正态分布的随机误差,设其正态母体分布密度为则截尾正态分布的分布密度为这一分布的方差显然已不是,而应为,Harbin Insti
20、tute of Technology,其他非正态分布的随机误差,二个均匀分布误差的和服从 三角分布，如图2-17。此外 还可见到歪曲了的正态分布 等图2-18(a)称偏态的，用偏 态系数表征其偏离正态的程 度。(b)、（c）的情形用峰态系数表征其偏离正态的程度。,Harbin Institute of Technology,系统误差的特征及其表述,系统误差的特征 系统误差遵从确定的规律性 系统误差规律的多样性和复杂性 对系统误差规律的认识 不确定的系统误差的特征和评定方法,Harbin Institute of Technology,系统误差遵从确定的规律性,系统误差与随机误差的本质差别 在逐
21、次测量的一系列测量结果中，系统误差表现出具有确定的规律性，在相同的条件下，这一规律可重复地表现出来。在只含系统误差的多次重复的测量数据中，没有随机数据那样的离散特点这就使系统误差不具有随机误差那样的抵偿性. 应特别指出，所说系统误差的规律性是有确定的前提条件的，研究系统误差的规律性应首先注意到这一前提条件。 系统误差所表现出的规律性，是在确定的测量条件下，系统误差因素所具有的确定规律性的反映,Harbin Institute of Technology,系统误差遵从确定的规律性(例),用带有圆分度盘的仪器进行测量，当分度盘中相 对指针转动中心有偏心时，各条刻线相对指针转动中 心来说，所指示的读
22、数值就有系统误差. 当有如图2-19所示的 关系时，这一误差与 角有如下关系： =esin 这一关系式表明，按 顺时针或逆时针顺次考察各刻度位置时，示值误差 随按正弦规律变化。这一变化规律在重复的顺次考 察时可重复地表现出来，并在任一固定位置上有确定 的误差值。,Harbin Institute of Technology,系统误差规律的多样性和复杂性,在系列测量数据中,按其表现的规律特征,系统误差 分为恒定的系统误差和按某种规律变化的系统误差. 恒定的系统误差:多次测量时,条件完全不变,或条件改变并不影响测量结果. 恒定系统误差在各测量结果中保持常值,因而恒定系统误差不会使诸测量结果间出现差
23、异. 仅又测量结果不能判断这一误差的存在,在取测量结果的算术平均值时,这一误差没有相互抵消的作用,因而不能减弱其影响,这是与随机误差不同的.,Harbin Institute of Technology,系统误差规律的多样性和复杂性,按线性规律变化的系统误差在多次测量中,其值随条件的改变按线性关系变化例如,线纹刻尺安装歪斜时，各刻度的累积误差成线性关系变化如图。电学测量仪放大比的调整误差，光学仪器放大率误差，温度偏差等也会引起与被测量成线性关系变化的测量误差。有时，机构紧固装置的松动等也可能引起误差时逐次累积，形似线性误差。此时应注意作出判断，及时清除。这类系统误差可通过测量数据的逐次变化表现
24、出来。,Harbin Institute of Technology,系统误差规律的多样性和复杂性,周期变化的系统误差周期性系统误差在逐次测量中随条件的改变作 周期性变化。最常见的是按正弦关系变化的周 期误差。周期误差在一个周期内正负变化一次，其幅值是该项误差的最大值。周期误差易于在系列测量结果中显现出来，采用一定的方法(如半周期法)可减小或消除这一误差有时这一周期误差是由若干不同周期的误差综合而成的，可通过谐波分析法将各种成分分解出来。,Harbin Institute of Technology,系统误差规律的多样性和复杂性,按复杂规律变化的系统误差在若干系统误差因素的作用下，逐次测量结果
25、的误差作复杂的有一定变化趋势的改变。这一变化难以用某一简单的规律描述。 对系统误差规律的认识：按照对其掌握的程度 确定的系统误差：取值的变化规律及其具体数值都是已知的误差。可通过修正的方法消除这类系统误差的影响。因而最后给出结果中应不再包含这类误差。 不确定的系统误差：具体数值(甚至其规律性)并未确切掌握的系统误差。,Harbin Institute of Technology,不确定的系统误差的特征和评定方法,不确定系统 误差,系统误差(不具有抵偿性),具有确定的规律性,但并不确知,无法通过修正法消除,无法以其具体数值来评定它对测量结果的影响.,可看作是总体的一次具体的抽样结果, 可用总体的
26、分布特征去描述这类误差. (具有随机误差的特征),随机误差的特征：其分布与误差因素的变化有关，也与测量条件的 变化有关，由测量的具体问题所决定。描述其分 布的基本参数之一是方差。同样方差也反映了这 类误差可能取植的分散程度，是对测量结果可靠 性的表征。,Harbin Institute of Technology,系统误差的检验方法,通过实验对比检验系统误差 通过理论分析判断系统误差 对测量数据的直接判断 用统计方法进行检验 残差校核法 阿贝-赫梅特判别法 残差总和判别法 标准差比较法 数据比较法,Harbin Institute of Technology,通过实验对比检验系统误差,用高一级
27、精度的仪器或测量方法(其测量误差相对来 说很小)给出标准量进行对比检验。这一方法在计量工 作中称为“检定”.通过检定不仅能发现测量中是否存在 系统误差，而且能准确地确定其具体数值，为消除这 一误差创造了条件。 用同等精度的其他仪器或测量方法给出的测量结果 作对比，若发现两者之间有明显的差别，则表明二者 问有系统偏差，应怀疑测量结果含有系统误差. 当已知误差因素与测量误差之间的关系时，可通过 测量实验得出原始误差，再按它与测量误差间的函数 关系求得相应的测量误差。或反之，将测量误差进行 分解(如利用谐波分析法)，以确定误差分量。,Harbin Institute of Technology,通过
28、理论分析判断系统误差(),理论分析的方法与实验的方法相互补充，构成了精度 分析的基本内容。 例:某电路输出电压表达式为 已知电阻 的温度系数为 ,若温度变化t,分析引起的输出电压V0的变化.解: 当温度变化t, R2变化为R2=K2R2 t则输出电压为 而输出电压的误差为,Harbin Institute of Technology,通过理论分析判断系统误差(),例:下图所示为按正弦原理测量最小角度的原理示意图.设正弦臂长l,当测得位移s后.被测角即可按下式求得 即 为简化测量工作,当被测角很小时,可采用下面的线性关系代替这一非线性关系显然,这一替代会带来角度的测量误差,其值为:,Harbin
29、 Institute of Technology,对测量数据的直接判断,通过观察系列测量结果的数值变化趋势，可发现随测量次序变化的系统误差。例如,系列测量结果随测量次序成线性关系变化,表明含有线性误差；测量结果随测量次序呈周期性变化表明含有周期性误差。在对比两组测量结果时,可直接看出它们的差异,从而判断出二者间的系统偏差.,Harbin Institute of Technology,用统计方法进行检验,按随机误差的统计规律作出某种统计法则,看测量 数据系列是否与之相符,若不相符合则说明该测量数列 包含系统误差。 不过这类方法有很大的局限性： 这类方法只能用于检验在系列测量数据中变化的系统误差
30、或检验两组数列的系统差异,对于同一测量系列中的恒定系统误差,所有这些方法都是无效的； 给出的判断不是十分可靠的,在不同的情况下,对不同类型的系统误差判别的效果不同,用不同的这类方法判断同一组数据所得结果可能是不同的,Harbin Institute of Technology,用统计方法进行检验,必须给出系列测量数据才能作出判断,对单个数据不能作出判断,数据的数目较少时判断可靠性差; 与前面二类方法相比,这类方法只能对系统误差的存在与否作出判断,不能给出系统误差的具体数值. 在上述意义上,各种统计检验方法都远不是完美的,其应用是有限的,特别是在计算行业中应用较少.因而,本课程只就其中的部分内容
31、坐简要的介绍.,Harbin Institute of Technology,残差校核法,对等精度系列测量数据 按式 求残差 将残差vi分为前后数目相等的二部分: 和分别求和并作比较,若显著不为零,则应怀疑测量系列中存在系统误差。这一 方法适于判别线性变化的系统误差。,Harbin Institute of Technology,阿贝赫梅特判别法,对等精度的系列测量数据 ,求得相应残差 作统计量若 则判定该组数据含有系统误差.这一判别方法能有效地 反映周期性系统误差. s为子样标准差,用贝塞尔公式计算,Harbin Institute of Technology,残差总和判别法,对等精度的系列
32、测量数据 ,设相应的残差分别为 ,若有则怀疑测量数据有系统误差.式中n为测量数据的数目.,Harbin Institute of Technology,标准差比较法,对等精度的一组测量结果 ,求得各自的残差 ,用不同的公式计算其标准差,通过比较可发现存在的系统误差.用贝塞尔公式计算用别捷尔斯公式计算若 则应怀疑测量中存在系统误差.,Harbin Institute of Technology,数据比较法,设对某一量A独立测得两组数据 计算其平均值计算其标准差若 则怀疑两组数据间存在系统误差,Harbin Institute of Technology,各类误差间的关系,粗大误差，随机误差，系统误差并无严格的界限, 在一定条件下可以转换。,Harbin Institute of Technology,各类误差间的关系,任何一个测量结果总是包含随机误差 和系统误差的，个别的数据还包含粗大误 差，不会只含随机误差或系统误差。但在 一个具体的测量结果中，它们集中地反映 在一个具体的数据中，而无法在数量上作 出区分。只有在多次测量的系列数据中,不 同性质的误差才显露出来。,
