1、高等代数知识结构一、高等代数知识结构图高等代数线性代数工具线性方程组中心课题线性典范型研究范围线性空间行列式矩阵线性方程组向量相关性行列式的计算行列式的性质矩阵的秩矩阵的运算与逆矩阵的初等变换线性方程组的解法及判别定理线性方程组解的结构极大线性无关组线性相关和线性无关二次型线性流形线性函数若尔当典范性化为标准型（配方法，线性方程组法，正交法）对角化正定性，合同单线性函数对称双线性函数J 矩阵II-C 定理矩阵的可对角化线性空间欧式空间酉空间线性空间的性质与同构，子空间的判定线性变换坐标变换与基变换特征值与特征向量可对角化及不变子空间欧式空间的性质正交化与正交补的求法正交变换与正交矩阵酉空间的性
2、质复数域上的正交变换二、高等代数知识结构内容（一）线性代数： 工具：线性方程组 1.行列式：1 行列式的计算设有 个数，排成 行 列的数表 ，即 n 阶行2nnnnaa 212112列式这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 n21jja的代数和，这里 是 的一个排列,每一项都按下列规则带n 21j ， 有符号：当 是偶排列时, 带正号；当 是奇排列时, 带负j n21j号即 = ，这里nnn naa 2122211n21n21n21 jjjjjjj a 表示对所有 级排列求和 .n21ja.行列式的性质：性质 1.行列互换，行列式不变。多项式理论整除理论因式分解理论多项式根的
3、理论多元多项式/对称多项式最大公因式定理互素与同于因式分解唯一性重因式复数域实数域有理数域求法判定（爱绅斯坦因）根的判别式韦达定理性质 2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。性质 3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。性质 4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)性 质 5.如 果 行 列 式 中 两 行 成 比 例 。 那 么 行 列 式 为 零 。性 质 6.把 一 行 的 倍 数 加 到 另 一 行 ， 行 列 式 不 变 。性 质 7
4、.对 换 行 列 式 中 两 行 的 位 置 ， 行 列 式 反 号 。2.矩阵：a.矩阵的秩：矩阵 A 中非零行的个数叫做矩阵的秩。b.矩阵的运算定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵 矩阵相等：设 , , 若 , 称nmija)(nmijbB)(ijijba),21;,21(njm .BA线性运算： , nmija)(nmijb)(加法： mnmnijij baa 11数乘： 负矩阵： nnmij kakA 1)( nmijaA)()1(减法： mnmnijij bababB 11)(矩阵的乘法定义：设 , sijA)(sijB)( mssaAB 11其中元素sns
5、b 11mnc 11isiiijac21jjb2sjijiji baa21 ),;,2(nj的列数 = 的行数。AB的行数 = 的行数；的列数 = 的列数 与 的先后次序不能改变(5)矩阵的初等变换矩阵的等价变换形式主要有如下几种： 1）矩阵的 i 行（列）与 j 行（列）的位置互换；2）用一个非零常数 k 乘矩阵的第 i 行（列）的每个元； 3）将矩阵的第 j 行（列）的所有元得 k 倍加到第 i 行（列）的对应元上去。3.线性方程组一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为 121212,.nsssnsaxaxb ()i()i式中 (,)ix 代表未知量， (1,2;,)ijasjn
6、称为方程组的系数， ,jb 称为常数项 .线性方程组 )(i称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即 120sbb .令 121212nssnaaA，12nxX, 12sbB，则 ()i可用矩阵乘法表示为 AXB， ,.mnnmCXBCa.线性方程组的解法1)消元法 在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.2)应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理 1 如果含有 n个方程的 元线性方程组121212,.nnnaxaxb ()i
7、的系数矩阵 121212nnnaaA的行列式 121212det 0nnnaaA，那么线性方程组 ()i有唯一解： det(,),jjBxA其中 detjB是把矩阵中第 j列换成线性方程组的常数项 12,nb 所成的矩阵的行列式，即 11,1,122221,1,1det ,.jjnjnnjnjnabajn 此外，还可以叙述为，如果含有 个未知数、 个方程的线性方程组 Axb的系数矩阵的行列式 det0A，则线性方程组 Axb一定有解，且解是唯一的.广义逆矩阵 法设 mnC.如果存在 nmGC，使得 ，则称 G为矩阵 的一个1-广义逆矩阵，记作 .矩阵 的1-逆总是存在的，但一般不是惟一的 12
8、，矩阵 A的1-逆的全体记为 1A.若 mnAC， nm为 A的一个1-广义逆矩阵，则对 ,nmVWC为任意的 矩阵，矩阵 的一个1-广义逆矩阵为GVA,同时还可以表示为 ()()mnAEW.广义逆矩阵 的计算：(1)设 (0)mnrAC，且有 mPC和 阶置换矩阵 Q使得(),rrnEKAQO则对任意的 ()nrmL， 矩阵 rGPL是 A的一个1-广义逆矩阵.若存在 nTC使得 ,rEOA则矩阵的1-逆的全体 12()()()2121,.rrmnrnrmELATPCLC (2)设 mnC，则 有惟一1逆的充分必要条件是 ，且 ()A，即可逆.这个惟一的1逆就是 1A. 4.向量相关性a.判
9、断向量组线性相关的方法1)线性相关2)的对应分量成比例线性相关3)含有零向量的向量组是线性相关的4)向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出5)部分相关则整体相关6)设向量组可由向量组线性表出,如果 rs,则线性相关；7)n+1 个 n 维向量必线性相关(个数大于维数)8)该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关 9)n 个 n 维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关b.判断向量组线性无关的方法1)线性无关2)的对应分量不成比例 线性无关3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出4)整体无关则部分无关
10、5)线性无关向量组中每个向量加长之后还无关6)该向量组的秩等于它所含向量的个数 向量组线性无关7)n 个 n 维的向量构成的行列式 0 该向量组是线性无关的(二)中心课题：线性规范型1.二次型 线性流型：二次型及其矩阵表示二次型的定义：以数域 P 中的数为系数，关于 x1， x2， xn的二次齐次多项式 f(x1， x2， xn)=a11x12+2a12x1x2+ +2a1nx1xn+a22x22+ +a2nx2xn+ (3)+annxn2称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型。矩阵的合同关系：对于数域 P 上的两个 n 阶矩阵 A 和 B，如果存在可逆矩阵C，使得 B=CTAC 则
11、称 A 和 B 是合同的，记为 AB。合同关系性质：1) 反身性：AA；2) 对称性：AB，则 BA；3) 传递性：AB，且 BC，则 AC。二次型的标准形1) 实数域 R(或复数域 C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域 R(或复数域 C)中的非退化线性变换化成平方和形式：d1y12+d2y22+dnyn2其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。3）复二次型的规范形：任何复系数二次型都可经过复数域 C 中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：y12+y22+yr2，其中 r 唯一确定，等于该二次型的秩。上
12、述形式的复二次型称为复二次型的规范形。2.线性函数（三）研究范围：线性空间1.线性空间简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。1）V 对加法成 Abel 群，即满足： （1）（交换律）x+y=y+x； （2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z） （3）（零元素）在 V 中有一元素 0，对于 V 中任一元素 x 都有 x+0=x； （4）（负元素）对于 V 中每一个元素 x，都有 V 中的元素 y，使得 x+y=0； 2）数量乘法满足： （5）1x=x；
13、（6）k(lx)=(kl)x； 3）数量乘法和加法满足： （7）（k+l）x=kx+lx； （8）k（x+y）=kx+ky 其中 x，y，z 为 V 中任意元素，k，l 为数域 F 中的任意元素，1 是 F 的乘法单位元。 数域 F 称为线性空间 V 的系数域或基域，F 中元素称为纯量或数量（scalar），V 中元素称为向量（vector）。 当系数域 F 为实数域时，V 称为实线性空间。当 F 为复数域时，V 称为复线性空间。 （1）V 中零元素（或称 0 向量）是唯一的。 （2）（2）V 中任一向量 x 的负元素（或称负向量）是唯一的。 （3）（3）kx=0（其中 k 是域 F 中元素，
14、x 是 V 中元素）当且仅当 k=0 或 x=0。 （4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。2.欧氏空间定义设 V 是实数域 R 上的线性空间（或称为向量空间），若 V 上定义着正定对称双线性型 g（g 称为内积），则 V 称为（对于 g 的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当 V 是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g 是 V 上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)=0，而且 g(x,x)=0 当且仅当 x=0 时成立。这里 x,y,z 是 V 中任
15、意向量，k 是任意实数。2、多项式理论1.整除理论整除： 若多项式 a：“f（x）” 除以多项式 b：“g（x）”，商为一个多项式，且余数为零多项式。 我们就说 a 能被 b 整除（或说 b 能整除 a），记作b|a，读作“b 整除 a”或“a 能被 b 整除”1）最大公因式多项式的最大公因式的定义定义（公因式与最大公因式）定义 1 若既是的因式，又是的因式，则称是与的公因式。因所以任意两个多项式都有公因式。2）互素如果，那么就说，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素。的公因式，就称这两个多项式互素2.因式分解理论1）重因式定义 设 p(x) 为不可约多项式. 如果 f(x)能被 p(x)
16、的 k 次方整除而 p（x）的k+1 次方不能, 则称 p(x) 是 f(x)的 k 重因式.若 k=0, 则 p(x) 不是 f(x) 的因式.若 k=1, 则称 p(x) 是 f(x) 的单因式.若 k1, 则称 p(x) 是 f(x) 的重因式. 也可以定义高阶微商的概念, 一阶微商 f(x) 的微商称为 f(x) 的二阶微商, 记为 f(x). 一般地,f(x) 的 k 阶微商定义为 f(x) 的 k-1 阶微商的微商:定理 如果不可约多项式 p(x) 是 f(x) 的 k 重因式（k1), 那么它是 f(x) 的 k-1 重因式.1公因式:满足:2最大公因式:注意: 该定理的逆定理一
17、般不成立推论 1：如果不可约多项式 p(x) 是 f(x) 的 k (k1)重因式, 那么 p(x) 分别是 f(x),f(x).f(k-1)(x) 的 k-1,k-2,.,1 重因式, 但不是 f(k)（x） 的因式.推论 2：不可约多项式 p(x) 是 f(x) 的重因式的充分必要条件是 p(x) 为 f(x) 与 f(x)的公因式.推论 3：多项式 f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f(x)=1.2)唯一性理论不可约多项式定义：数域 P 上次数的多项式 p(x)称为不可约多项式，如果 p(x)不能表成数域P 上的两个次数比 p(x)低的多项式的乘积。唯一性指：数域 P 上每一
18、个次数 1 的多项式 f(x)均可分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积。Fx中任一个次数不小于 1 的多项式都可以分解为 F 上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。当 F 是复数域 C 时，根据代数基本定理，可证 Cx中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。当 F 是实数域 R 时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此 Rx中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式x2+bx+ 不可约的充分必要条件是其判别式 b2-40。当 F 是有理数域 Q 时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。郑雅心12304125
