1、ps;The Legendary Book onLinear Algebra目录第零章番外话. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1第一章将打洞进行到底. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2第二章Jordan标准形总结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7第三章秩不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2、. . 12第四章交结数：刻画相似程度的不变量. . . . . . . . . . . . . . . . 16第五章同时上三角化. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19第六章覆盖定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23第七章有理标准形和交换的矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25第八章解题的艺术. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3、 . . . . . . . 30I0番外话先说一件很囧的事。两年前我给北京大学化学学院一年级的学弟学妹们上高数的习题课。开学第一次课来了三十个人，到期末的最后一次课只剩下十三个人。虽说习题课不管讲的好坏都拿那份钱，学生也不会拿鸡蛋西红柿拍你，但是看着来上课的人越来越少确实对自尊是一种打击。特别让我印象深刻的是一个相貌气质都很不错的MM（那十三个人之一），她每次课都在下面很认真的听，很安静，整个学期她只站起来问了三次问题，但是每一次都把我问倒了。很显然这是对我的进一步打击。我很无奈的承认自己不配拿那份津贴，就转行做了本学院高等代数课的助教。这次给我打击的是另一个很清纯的MM。有很多次我在黑板上
4、出了题目，然后微笑着、踱着步子显示高深莫测的时候，她都举手表示已经做出了答案。接下来我只能用凝固的微笑和景仰的目光看着她在全班面前用柔柔的声音解释如何如何。不过总的来说，我还是成功的Hold住了局面，当时一个学年下来到课人数无明显下滑。习题课上多了，自己也有一些体会。讲课跟做题是不一样的，你必须脑子里时刻清楚自己在讲什么，接下来要讲什么，然后把它们用平缓的节奏一遍讲正确。你讲的语气速度快了，或者思维有了跳跃，学生一下跟不上，那么你后面的内容他们听起来都很茫然。当我一时不知道说什么好的时候，我会面色如常地擦擦黑板，换换粉笔，整理一下自己的思路，绝不轻易开口。因为如果你不小心说错了话，那比没说要糟
5、糕一百倍：接下来你要用十句话来挽救你的错误，学生很可能就被绕晕了。即使是“嗯”、“啊”、“那么”这些口头禅，也会暴露你的思路的紊乱。高深莫测永远是Hold局面的不二法宝。我曾经开玩笑地给学生说，我讲课有一个优点，就是从来没有口头禅。结果大家都笑了。我不解，然后大家异口同声的告诉我：老师，你讲课有一个口头禅，就是“很显然”（囧）。希望我在这个文档里没有再犯这个错误:P。本文档脱胎于以前的同名文档，经过多次修改以后与最初的版本相比已经面目全非。但是变薄变精炼的趋势一直没有改变。那些武侠小说中出现的秘笈宝典，几乎无一例外都是“薄薄的一本小册子”，因为浓缩的才是精华。本文档也照此看齐，不求全，但求精致
6、，通过几个专题来体现高等代数的方法和想法。还是那句话，与其炖上一锅大杂烩，倒不如几样精致的小菜来得有滋味。至于纯粹为难而难，或者为收录而收录的内容，就不在考虑之列了。文档薄一点，也是为了激发大家速成的欲望。本文档是本人心血之作，也算经过了教学的实践检验，因此我相信质量不会太糟，但是错误恐怕仍然难以避免。欢迎大家来信指教：11将打洞进行到底之所以把这一章作为整本书的开始，是因为打洞是矩阵里面最基本最重要的技巧，江湖上出来混的没有不知道的，所以怎样强调它的重要性也不过分。下面这个例子就很好地说明了什么是打洞。定定定理理理1.1.设M =(A BC D)是一个方阵，其中A是可逆的子方阵，那么|M|
7、= |A|DCA1B|结论不难记，从D出发顺时针走一圈就可以了。证明.思路就是利用A的可逆性来打洞，干掉B, C之一：(A BC D)第一行左乘以CA1加到第二行(A B0 DCA1B)，也就是(In 0CA1 Im)(A BC D)=(A B0 DCA1B)，两边求行列式即可。类似地，D可逆的时候结论变成|M| = |D|A BD1C|（从A出发顺时针走一圈）。打洞说白了就是一个降阶的过程。注意到如果把上式写成(A BC D)=(In 0CA1 Im)1(A B0 DCA1B)，这就很像一个分块的LU分解。其实真正的LU分解和这个是一回事，这里就不具体写了。如果把打洞的过程倒过来用，就是提升
8、：定定定理理理1.2.设A是nm矩阵，B是mn矩阵，则AB和BA的特征多项式只差一个因子lnm，即lm|lIn AB| = ln|lIm BA|21.将打洞进行到底1.1.对称矩阵的打洞只需要对l = 0证明即可。我们先证明l = 1的时候结论成立，也就是|Im AB| = |In BA|成立。这只要在矩阵(Im BA In)中分别用Im和In各打一次洞就可得证：Im BA In= |In|Im BA| = |Im|In AB|对于一般的l = 0，只要在等式|Im AB| = |In BA|中用A/l替换A即可。1.1对称矩阵的打洞打洞有很多重要的应用，特别是当M是对称矩阵的时候，如果你用A
9、打两次洞干掉B和B就会发现这恰好是一个合同变换：(In 0A1B Im)(A BB D)(In A1B0 Im)=(A 00 DBA1B)特别强调的是，对称矩阵的打洞有特别重要的意义：由于M可以看作一个“内积”的度量矩阵，所以两边打洞实际上就是在这个“内积”下做Schmidt正交化，化二次型为标准形的配方法和矩阵法都源自于此。这里简要描述一下矩阵法，详细的叙述请查阅教科书。定定定理理理1.3 (化二次型为标准形的算法).设A = (aij)是一个n阶对称矩阵，现在要把它合同为对角形。如果a11 = 0，那就用a11两次打洞合同掉第一行和第一列的其它元素，把A变成(a11 00 )，然后考虑右下
10、角的n1阶的矩阵。如果a11 = 0但是某个aii = 0，那就交换第i行和第1行，交换第i列和第1列，把aii变到a11的位置上来，然后返回上一步。如果A的对角线上都是0，但是某个aij不是0，那就把第j行加到第i行，第j列加到第i列，这样aii的位置上就出现了2aij，然后返回上一步。这样经过有限步以后就可以把A变成对角形。31.将打洞进行到底1.1.对称矩阵的打洞这个算法说白了就是一句话：制造非零的对角元来干掉非对角元，其实就是不断地做Schmidt正交化。正定矩阵是最容易化为标准形的对称矩阵，因为正定矩阵的对角元总不是0（想一想，为什么？），所以只需要第一个步骤就可以化为标准形。半正定
11、矩阵的打洞也很简单，虽然对角元可能出现0，但是我们有下面的引理：引引引理理理1.4.如果半正定矩阵A的某个对角元是0，那么该对角元所在的行和列所有元素都是0。证明.由于A半正定，所以有平方根分解A = PP。记P = (v1,v2,.,vn)，则aij = (vi,vj)，这里的(vi,vj)表示vi和vj的通常的欧式内积。aii = 0说明vi = 0，从而第i行第i列都是0。可见半正定矩阵化为标准形本质上也只需要步骤1，只不过对角线上遇到0的时候不用打洞，自动跳过去继续考虑右下角的矩阵。接下来是引理1.4的两个应用：定定定理理理1.5.设A是一个实对称矩阵，lmin和lmax为A的最小和最
12、大的实特征值，aii是A的任一对角元，则有lmin aii lmax，而且两个不等号只要有一个成立则aii所在的行和列的其它元素就必然都是0。证明.只要对A + lminI和lmaxI A这两个半正定矩阵应用引理1.4即可。定定定理理理1.6 (两半正定矩阵同时合同于对角形).设A, B是两个n阶半正定矩阵，则存在可逆矩阵T使得TAT, TBT都是对角矩阵。证明.首先做合同变换把A化成标准形A (Er 00 0)，这时B仍然是半正定的（虽然B也发生了变化），所以不妨从一开始就假设A就是如上的标准形，并设B =(B11 B12B21 B22)，B12 = B21，我们要在保持A的形状的前提下把B
13、化成标准形。设正交矩阵Q使得QB22Q =(Is 00 0)，41.将打洞进行到底1.2.正定矩阵那么用矩阵(Ir 00 Q)作合同变换保持A不变，把B化为形如eB =B11 0 Is 00 0 0的矩阵。注意这里已经利用了引理1.4的结论，由于eB的最后一个对角元是零矩阵，所以它的最后一行和最后一列中的矩阵都是0。这个时候再用Is打洞消去“”的部分，这还是一个不影响A的合同变换，这就把A, B同时变成了准对角形，最后再用一次正交变换就可以了。1.2正定矩阵正定矩阵的另一个名字是内积的度量矩阵，永远不要忘记这一点。正定矩阵几乎所有结论都有对应的几何解释，所以只要你搞清楚这些结论的几何意义，正定
14、矩阵其实就是一个很简单的东东。设v1,v2,.,vn是Rn的一组基，那么矩阵A =(v1,v1) (v1,v2) (v1,vn)(v2,v1) (v2,v2) (v2,vn). . . .(vn,v1) (vn,v2) (vn,vn)就是一个正定矩阵。反过来，每一个正定矩阵都有如上的表示形式。很显然，A刻画了向量组v1 vn的长度以及它们之间的相互夹角，所以不难想象v1 vn的一些几何性质可以用A的代数性质来描述。反过来，如果有人问你正定矩阵的代数性质，你也要立刻想到它对应的几何解释。举几个例子：正定矩阵的对角元都不是零。这是显然的，因为aii代表vi的长度的平方，当然不能是零。正定矩阵中最大
15、的元素必然出现在对角线上。这是因为内积满足Schwatz不等式(vi,vj)2 (vi,vi)(vj,vj)，即a2ij aiiajj，从而aij maxaii,ajj。正定矩阵的行列式的值等于v1,v2,.,vn张成的平行多面体的体积的平方。正定矩阵的主子式都大于零，这是因为主子式Ai1i2im的值是vi1,vi2,.,vim张成的平行多面体的体积的平方，所以大于零。51.将打洞进行到底1.2.正定矩阵例例例1.7.设A是n阶正定矩阵，求证|A| a11a22 ann，等号成立当且仅当A是对角矩阵。这个结论的几何解释就是：平行多面体的体积不大于各个棱长的乘积，当且仅当各棱垂直的时候等号成立。
16、证明.用归纳法，假设n1的时候结论成立。设A =(An1 aa ann)，则|A| = |An1|ann aA1n1a|。注意0 1，则存在与A交换的变换B使得Bv1 = v2。假设这个引理是正确的，那么B肯定不是A的多项式，所以必须r = 1，即A是由一个向量生成的循环空间。277.有理标准形和交换的矩阵7.2.何时与A交换的矩阵总是A的多项式？证明.我们已经知道v1中的元素都形如f(A)v1，这里f(x)是一个多项式。既然已经规定了B在生成元v1处的值，因此我们只要“顺水推舟”地定义B就好了：对于u = f(A)v1 v1，令Bu = f(A)v2 v2而把B在其它的vi(i = 1)上的
17、作用都定义为零。这就是一个线性变换，把v1映为v2，而且与A交换。这样定义B有个问题，就是u = f(A)v1这个表示中f(x)不是唯一的，我们还需要验证Bu的定义不依赖于f(x)的选取。设u = f1(A)v1 = f2(A)v1，我们要说明f1(A)v2 = f2(A)v2。由f1(A)v1 = f2(A)v1可得p1(x)|(f1 f2)，当然就有p2(x)|(f1 f2)，从而f1(A)v2 = f2(A)v2。因此我们B的定义是合理的。现在我们已经找到了A应该满足的必要条件：V有一个关于A的循环向量v。那么这个条件是不是充分的呢？答案是肯定的：定定定理理理7.5.若V有一个关于A的循
18、环向量v，则任何与A交换的变换都可以写成A的多项式。证明.我们断言循环空间上一个与A交换的变换B由它在生成元v处的值Bv完全决定：由于存在多项式f(x)使得Bv = f(A)v，不难验证这时B = f(A)成立。从而我们已经从变换的角度完全解决了这一问题。矩阵的角度在定理4.4中令A = B，那么i(A, A)就是与A交换的矩阵构成的空间的维数。这个维数总是大于等于n的：i(A, A) =pi=1pj=1deg(fi(x), fj(x)pi=1deg(fi(x), fi(x)=pi=1deg fi(x) = nA的多项式也构成一个线性空间，这个空间的维数总是小于等于n的，因为其中的元素总是I, A, ., An1的线性组合。这两个空间的维数相等当且仅当上面式子中的等号成立，这时A仅有一个不变因子，也就是A的特征多项式等于其极小多项式，这就从矩阵的角度证明了定理7.5。例例例7.6.如果矩阵A有n个互不相同的特征值那么与A交换的矩阵一定可以表示为A的多项式.证明.设Avi = livi，那么v1 + vn就是一个循环向量。28
