1、圆学子梦想 铸金字品牌- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时分层作业 三十等差数列及其前 n 项和一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.若数列a n的通项公式是 an=2(n+1)+3,则此数列 ( )A.是公差为 2 的等差数列B.是公差为 3 的等差数列C.是公差为 5 的等差数列D.不是等差数列【解析】选 A.由题意可得,a n=2n+5=7+2(n-1),即此数列是公差为 2 的等差数列.2.设数列a n是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a6=2 且 S5=30,则
2、 S8等于( )A.31 B.32 C.33 D.34【解析】选 B.由已知可得 解得 所以 S8=8a1+ 1+5=2,51+10=30, 1=263,=-43,d=32.872【变式备选】若等差数列a n的前 n 项和为 Sn且 S4=S18,则 S22等于 ( )A.0 B.12 C.-1 D.-12【解析】选 A.设等差数列的公差为 d,由 S4=S18 得圆学子梦想 铸金字品牌- 2 -4a1+ d=18a1+ d,a1=- d,432 18172 212所以 S22=22a1+ d=22 +22 d=0.22212 (-212) 2123.(2018锦州模拟)已知a n为等差数列,
3、若 a1+a5+a9=4,则 cos a5的值为( )A.- B.- C. D.12 32 32 12【解析】选 A.因为a n为等差数列,a 1+a5+a9=4,所以 3a5=4,解得 a5= .所以43cos a5=cos =- .43 124.(2018武汉模拟)九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第九日所织尺数为 ( )世纪金榜导学号 37681001A.8 B.9 C.10 D.11【解析】选 B.该数列为等差数列,且 S7=28,a2+a5+a8=15,即7a1+21d=28
4、,3a1+12d=15,解得 a1=1,d=1,a9=a1+8d=9.5.(2016全国卷)已知等差数列a n前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( )A.100 B.99 C.98 D.97【解析】选 C.由题意可知, 1+4=3,1+9=8,解得 a1=-1,d=1,所以 a100=-1+991=98.圆学子梦想 铸金字品牌- 3 -【一题多解】选 C.由等差数列性质可知:S9= = =9a5=27,故 a5=3,9(1+9)2 9252而 a10=8,因此公差 d= =1,10-510-5所以 a100=a10+90d=98.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.设
5、等差数列a n,bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意正整数 n 都有 =,则 + 的值为_. 2-34-3 95+7 38+4【解析】因为a n,bn为等差数列,所以 + = + = = ,95+738+49263269+32666因为 = = = = .11111+111+112626211-3411-31941所以 = .661941答案:19417.(2018银川模拟)在等差数列a n中,已知 a3=7,a6=16,依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵,则此数阵中,第 10 行从左到右的第 5 个数是_. 圆学子梦想 铸金字品牌- 4 -世纪金榜导学号 37681002
6、【解析】由题知公差 d= = =3,所以 an=7+(n-3)d=3n-2,第 10 行从6-36-3 16-73左到右的第 5 个数是原等差数列中第 1+2+9+5=50项,即为 a50=350-2=148.答案:1488.(2018郑州模拟)在等差数列a n中,a 1=-2 018,其前 n 项的和为 Sn,若- =2,则 S2 018=_. 2 01320132 0112011【解析】因为 =a1+ (n-1)d,所以数列 也成等差数列,由 - =2 得 12 2 01320132 0112011公差为 1,因此= +(2 018-1)1=-1,2 018201811则 S2 018=-
7、2 018.答案:-2 018三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,且 Sk=110. 世纪金榜导学号 37681003(1)求 a 及 k 的值.圆学子梦想 铸金字品牌- 5 -(2)已知数列b n满足 bn= ,证明数列b n是等差数列,并求其前 n 项和 Tn.【解析】(1) 设该 等差数列为a n,则 a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有 a+3a=8,得 a1=a=2,公差 d=4-2=2,所以 Sk=ka1+ d=2k+ 2=k2+k.(-1)2 (-1)2由 Sk=110,得 k2+k-110=0,解得
8、 k=10 或 k=-11(舍去),故 a=2,k=10.(2)由(1)得 Sn= =n(n+1),(2+2)2则 bn= =n+1,故 bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列b n是首项为 2,公差为 1 的等差数列,所以 Tn= = .(2+1)2 (+3)210.(2018太原模拟) 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a10,S2 015=0.世纪金榜导学号 37681004(1)求 Sn的最小值及此时 n 的值.(2)求 n 的取值集合,使其满足 anS n.【解析】(1) 设 公差为 d,则由 S2 015=02 015a1+ d=0a1+1 007d=0,2
9、0152 0142d=- a1,a1+an= a1,11 007 2 015-1 007所以 Sn= (a1+an)= a12 22 015-1 007圆学子梦想 铸金字品牌- 6 -= (2 015n-n2).12014因为 a10,nN*,所以当 n=1 007 或 1 008 时,S n 取最小值 504a1.(2)an= a1,1 008-1 007Snan (2 015n-n2) a1.12014 1 008-1 007因为 a10,所以 n2-2 017n+2 0160,即(n-1)(n-2 016)0,解得 1n2 016.故所求 n 的取值集合为n|1n2 016,nN *.1
10、.(5 分)(2018银川模拟)已知等差数列a n中,a 2,a2 016是方程 x2-2x-2=0 的两根,则 S2 017= ( )A.-2 017 B.-1 008C.1 008 D.2 017【解析】选 D.由题意得:a 2+a2 016=2,S2 017= =2 017(1+2 017)2=2 017(2+2 016)22 017.2.(5 分)九章算术之后,人们学会了用等差数列知识来解决问题,张丘建算经卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第 2 天开始,每天比前一圆学子梦想 铸金字品牌- 7 -天多织相同量的布),第一天织 5 尺布,现在一月(按 30 天计)共织 3
11、90 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织_尺布. ( ) A. B. C. D.12 815 1631 1629【解析】选 D.设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布,则由题意知 305+ d=390,解得 d= .30292 16293.(5 分)(2018西宁模拟)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn,点(a 1 008,a1 010)在直线 x+y-2=0 上,则 S2 017=_.世纪金榜导学号 37681005 【解析】由题意知,a 1 008+a1 010-2=0,即 a1 008+a1 010=2.由等差数列的性质知 a1 008+a1 010=a1+a2 017,故
12、 S2 017= = =2 017.2 017(1+2 017)2 2 01722答案:2 017【变式备选】已知等差数列a n中,a n0,若 n2 且 an-1+an+1- =0,S2n-1=38,2则 n 等于_. 【解析】因为 2an=an-1+an+1,又 an-1+an+1- =0,2所以 2an- =0,即 an(2-an)=0.2因为 an0,所以 an=2.所以 S2n-1=2(2n-1)=38,解得 n=10.答案:104.(12 分)已知数列a n满足 a1=6,an+1=4- (n 为正整数). 世纪金榜导学号437681006圆学子梦想 铸金字品牌- 8 -(1)求证
13、:数列 为等差数列.+2-2(2)若 bn= ,求数列b n的前 n 项和 Sn.(2+1)2【解析】(1) 因 为 - = - = - =+1+2+1-2+2-24-4+24-4-2+2-26-42-4+2-2- = =2,3-2-2+2-22-4-2所以数列 为 等差数列.+2-2(2)a1=6, =2,则 =2+2(n-1)=2n,则 an= ,1+21-2+2-2 4+22-1bn= =(2+1)24+2(2-1)(2+1)2= = - ,2(2-1)(2+1) 12-1 12+1则 Sn=b1+b2+bn= + + = .(1-13)(13-15) ( 12-1- 12+1) 22+
14、15.(13 分)在公差为 d 的等差数列a n中,已知 a1=10,且 5a3a1=(2a2+2)2.世纪金榜导学号 37681007(1)求 d,an.(2)若 d0,求|a 1|+|a2|+|a3|+|an|.圆学子梦想 铸金字品牌- 9 -【解析】(1) 由 题意得 5a3a1=(2a2+2)2,即 d2-3d-4=0,故 d=-1 或 d=4,所以 an=-n+11,nN*或 an=4n+6,nN*.(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn,因为 d0,由(1)得 d=-1,an=-n+11,则当 n11时,|a 1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=- n2+ n,12 212当 n12时,|a 1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11= n2- n+110.12 212综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|= -122+212,11,122-212+110,12.关闭 Word 文档返回原板块
