1、48 第 5 讲教师版第 5 讲 等差数列与等比数列本讲不分节，建议用时 课时复习重点为等差数列与等比数列的基本量、常用性质以及对定义3的深入理解其中共 6 道例题，等差数列与等比数列的基本量各一道例题，等差数列与等比数列的性质各一道例题，等差数列与等比数列的判定共两道例题知识结构图知识梳理一、等差数列1定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这2个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示d通项公式： ；1()()nmadand前 项和公式： 122S2等差数列 的性质（其中公差为 ，前 项和为 ）：nadnnS ， ；()nmd
2、nma若 ，则有 ；若 ，则有 （ ， ， ，pqmnpqmnaa2pq2mpqam） ；nN等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ， ， ， 为等差数列，公差为 ；nma2n d等差数列的连续 项和也构成等差数列，即 ， 为等差数列，公差为23SS， ， ；2d对于奇数项和有 ；1221()()(1)nn naS对于偶数项和有 ；n若 也为等差数列，记 为其前 项和，则 ， nbn 21()nnSb 21naS二、等比数列3定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这2个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示等比数(0)q列
3、中的项不为 0通项公式： ；前 项和公式： 1nnmaq 11()nnnaqSa， ，4等比数列 的性质（其中公比为 ）：n q ， ；mnaqnma若 ，则有 ；若 ，则有 ；ppqna2mpq2mpqa等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ， ， ， 为等比数列，公比为 nn mq等比数列的连续 项和也构成等比数列，即 ， 为等比数列，公比n232SS， ， 为 nq真题再现（2012 北京理 10）已知 为等差数列， 为其前 项和若 ， ，则 ； nanS12a3Sa2nS【解析】 ； ；124（2011 北京理 11）在等比数列 中，若 ， ，则公比 ； na124aq12naa【解
4、析】 ； ；2150 第 5 讲教师版小题热身1、 在等比数列 中， ，则 等于（ ）na426aA 4 B 8 C 16 D 322、 等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则公差 等于（ ）nS334dA B C D1533、 已知数列 的前 项和为 ，第 项满足 ，则 等于（ ）na29nk58kaA B C D98764、 已知 为等差数列， ， ，以 表示 的前 项n1350a249nSna和，则使得 达到最大值的 是（ ）SA B C D21209185、 等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的值是（ ）nanS5a36S107A24 B36 C48 D726、 设 是等比数列
5、，则 “ ”是“数列 是递增数列”的（ ）1qnA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7、 已知数列 的前 项和为 （ ， ， 为非零常数） ，则 为（ nanSa01qna）A等差数列 B等比数列C既是等差数列，又是等比数列 D既不是等差数列，又不是等比数列8、 等比数列 的前 项和为 ，且 成等差数列若 ，则 （ nanS1234,a1a4S）A B C D78569、 已知数列 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与 的等差中nn 231a472项为 ，则 （ ）545SA35 B33 C31 D2910、 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为
6、，且 成等差数列，则 等于naqnnS396,S3q（ ）A B C 或 D 或11212121 2 3 4 5 6 7 8 9 10C C B B C D D C C B经典精讲【教师备案】由于最近几年北京高考的最后一题已经固定为创新题，以集合或数列题型出现，因此常规的等差等比数列题型除了在期末一模二模的大题偶有涉及，一般只在小题中出现而在小题中的考察就以考察基本量和基本性质为主等差数列的基本量： ， ， ， ， ；知道其中任意三个就可以确定另外两个；1adnanS等比数列的基本量： ， ， ， ， ；同样也是知道其中三个就可以确定另外两q个考点：等差数列的基本量【例 1】 （ 2010 辽
7、宁 14）设 为等差数列 的前 项和，若 ，则 nSna3624S， 9a （2010 海淀一模理 6）已知等差数列 ，等比数列 ，则该等差数1,b,5ab列的公差为（ ）A 或 B 或 C D333 已知数列 是非零等差数列，又 ， ， 组成一个等比数列的前三项，则na1a39的值是（ ）1392410aA B C 或 D不能确定3616【解析】 15； C； C考点：等比数列的基本量【例 2】 （ 2010 福建理 11）在等比数列 中，若公比 ，且前 3 项之和等于 21，则该数列na4q的通项公式 na （2010 湖北文 7）已知等比数列 中，各项都是正数，且 、 、 成等差数n 1
8、a322a列，则 （ ）91078aA B C D 2123232 （2011 年上半学期西城高三期末统考理 6）设等比数列 的前 项和为 ，若nanS，则下列式子中数值不能确定的是（ ）250aA B C D353S1na1nS （2010 天津理 6）已知 是首项为 1 的等比数列， 是 的前 项和，且 ，naa369S则数列 的前 5 项和为（ ）1naA 或 5 B 或 5 C D8316316158【解析】 ； C D C14n52 第 5 讲教师版【拓 1】 （2009 江苏卷 14）设 是公比为 的等比数列， ，令 ，若数naq1q1(2)nba，列 有连续四项在集合 中，则 n
9、b 532193782， 6【解析】 9【教师备案】小题中对于等差数列性质的考查，常着手于以下方面： 是等差数列na是 不超过一次的多项式（因为 ） ；1()nad是 不超过二次的多项式且常数项必定为 （因为 ） ；nS 021ndSan是等差数列，且公差为 （因为 ） ；212nSa 的最值：nS若 ，则 有最小值：若 ，则最小值就是 ；若 ，则最小值就是前0dnS10a 110面全体非正项的和；反之，若 ，则 有最大值：若 ，则最大值就是 ；若 ，则最大值n1 1S1a就是前面全体非负项的和；实际考试中，对 的情形的考查，是比较常见的10ad考点：等差数列的性质【例 3】 （ 2010 全
10、国卷 II 理 4）如果等差数列 中， ，那么 na34512a127aa（ ）A14 B21 C28 D35 （2010 福建理 3）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当nnS146取nS最小值时， 等于（ ）nA6 B7 C8 D9 在等差数列 中， ， ，则数列 的前 9 项之和a14739a627ana等于（ ）9SA66 B99 C144 D297 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 等于（ ）nn4813S816A B C D310139 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得nabnnAB7453n为整数的正整数 的个数是（ ）nabA2 B3 C4
11、D5【解析】 C ； A ； B；A ； D【拓 2】 等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 _nanS210mma2138Sm设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）369S， 79aA B C D6345（2010 西城二模理 7）等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正nn780确的是（ ）A B C D78S156S130S150S【解析】 ； B； C10考点：等比数列的性质【例 4】 （ 2010 全国卷理 4）已知各项均为正数的等比数列 ， ， ，na123578910a则 （ ）456aA B7 C6 D2 4 （2009 广东理 4）已知等比数列 满足 ， 且
12、na0n， ， ，则当 时， （ ）52(3)n 1 212321logllognaaA B C D(1)2()() 设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，已知 ， ，则 的通项naqnS3425Sna公式为 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（ nan31n4）A16 B26 C30 D80【解析】 A； B； 或者 C2()nna1()nn【拓 3】 （2010 安徽理 10）设 是任意等比数列，它的前 项和，前 项和与前 项和分别为nan2n3n， ， ，则下列等式中恒成立的是（ ）XYZA B2YXZC D【解析】 D【教师备案】等差、等比数列在大题中出现时，前面
13、的一二小问除了经常求通项求和式以外，还常出现根据题干已给的递推结构，证明某个变形的数列是等差或等比数列的情况对于等差数列或等比数列的判定与证明，通常来说，只需考虑从以下角度入手：等差数列的等价条件： 是等差数列na54 第 5 讲教师版 定义： ， ， 为常数；*nN1nad 等差中项： ， ；21nna 通项公式： ， ， 为常数；*kb, 前 项和公式： ， ， 为常数；2nSAB, 前 项平均值： ， 是等差数列n*等比数列的等价条件： 是等比数列na 定义： ， ， 为非零常数；*N1q 等比中项： ， ， ；21n120nna 通项公式： ， ， 为常数*nacq， 前 项和公式：
14、， （常数列）或者 ， nS(1)nSq01q， ，考点：等差数列与等比数列的判定【例 5】 已知数列 满足 ， ，令 na1414(2)nna 2nba求证：数列 是等差数列；求数列 的通项公式b【解析】 由已知得： ， ， ，2na12nba，11nnn 11 1142()2nnnna，12ba故 是首项为 ，公差为 的等差数列n12 【例 6】 设数列 的首项 ，且 ，记 ，na14a124nna， 为 偶 数， 为 奇 数 214nba，123， ， ，求 与 （用 表示） ；， 123b， ，判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论n【解析】 2348aa，12311444baaba
15、， ，因为 ，12nn 2121()4nnnabN且 ，104ba所以 是首项为 ，公比为 的等比数列n2课后习题一、选择题1、 已知等差数列 的公差 ，它的第 项顺次成等比数列，则这个等比数na0d157， ，列的公比是（ ）A B C 或 D 或3q1q2q2q1【解析】 A2、 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）nanS105 15SA B C D34 23 2 3【解析】 A3、 设 等 差 数 列 的 前 项 和 为 ， 已 知nanS， ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ）3771201a320620611aaA B207S， 1207a，C D2011， 20
16、1，【解析】 A；4、 （2011 西城二模）已知数列 的通项公式为 ，那么满足 的整数 （ na13na11902kkaa k）A有 3 个 B有 2 个 C有 1 个 D不存在【解析】 B5、 （2012 天津和平区高三下第二次质量调查理 4）等差数列 、 的前 项和分别nabn为 与 ，若 ，则 等于（ ）nST213nS10abA B C D237938157【解析】 C56 第 5 讲教师版二、填空题6、 已知等差数列 的首项 ，前三项之和 ，则 的通项 na139Sna_n【解析】 21n7、 （2012 广东文 12）等比数列 满足 ，则na2412135【解析】 48、 在各项
17、均为正数的等比数列 中，若 ，则 na569a3132310logllogaa【解析】 109、 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1，3， 6，10，记为数列 ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序na组成一个新数列 ，可以推测：nb 是数列 中的第 项；201ba （用 表示）kk【解析】 ；53 ；()2三、解答题10、 已知等差数列 满足 ， ，求 na1235a12380a1213a【解析】 的值为 或 1213a05711、 设等差数列 的前 项和为 nanS 若 ，求 若 ，求 2465S4518a8S【解析】 15 712、 数列 ， 是各项均为正数的等比数列，设 nab ()nbca*N 数列 是否为等比数列？证明你的结论；c 设数列 ， 的前 项和分别为 ， 若 ， ，求数列lnlnbnST121nST前 项和n【解析】 是等比数列c 413n
