1、专题八 立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系答案部分1A【解析】记该正方体为 ，正方体的每条棱所在直线与平面 所成ABCD的角都相等，即共点的三条棱 ， ， 与平面 所成的角都相等，如图，AD CBAIHJGFEDCBA连接 ， ， ，因为三棱锥 是正三棱锥，所以 ， ，ABDAAB与平面 所成的角都相等，分别取 ， ， ， ， ，CD的中点 ， ， ， ， ， ，连接 ， ， ， ， ，EFGIJEFGHIJIE易得 ， ， ， ， ， 六点共面，平面 与平面 平行，且截HIJ正方体所得截面的面积最大，又 ，所以该正六2边形的面积为 ，所以 截此正方体所得截面面积的最大值为
2、2336()44，故选 A342C【解析】解法一 如图，F1E1FD1A1 B1C1ECDAB补上一相同的长方体 ，连接 ， 1CEF1E易知 ，则 为异面直线 与 所成角1ADB因为在长方体 中， ， ，1ADBC13A所以 ， ，2221 (3)E22()5，15B在 中，由余弦定理，得 ，1D2221(5)cos 5BDE即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 C1A5解法二 以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立A1xyz空间直角坐标系，如图所示 zyxBADCC1B1A1D1由条件可知 ， ， ， ，(0,)D(1,0)1(,3)1(,3)所以 ， ，13AB
3、则由向量夹角公式，得 ，11 25cos,|ADB即异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选 C1ADB53A【解析】若 ， ， ，由线面平行的判定定理知 若mnnm ， ， ，不一定推出 ，直线 与 可能异面，故mn“ ”是“ ”的充分不必要条件故选 An4D【解析】由题意知四棱锥 为正四棱锥，如图，SABCDEMSOD CBA连接 ，记 ，连接 ，则 平面 ，取 的中点 ，BDCSADBM连接 ， ， ，易得 ，则 ， ，易知SMOB2SE3SO32因为 ， ， ，所以 也为 与平面 所成的角，BCASM3AB即 与平面 所成的角，再根据最小角定理知， ，所以 ，S 1 231 故选 D5C
4、【解析】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线 与 所成角为1ABC1BADB1 A1D1C1 DCB A,2 21111 1cos60123BDCBCD， ，1A15 选 C2222211 (5)(3)10cos 5AB6B【解析】设 为三角形 中心，底面如图 2，过 作 ， ，OCOERPFQ，由题意可知 ， ， ，GRQtanDEtanFtanDGGFEOD CBAP QR xyAPBQCGROFE图 1 图 2由图 2 所示，以 为原点建立直角坐标系，不妨设 ，则 ， ，B(1,0)(,)， ， ， ， ，(0,3)C(,)OAPBQCRA3,，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直
5、线2(,)RR32yxP2yx的方程为 ，根据点到直线的距离公式，知 ，Q359yx 1OE， ， ， ，9OF1GOFEtantan因为 ， ， 为锐角，所以 选 B7A【解析】因为过点 的平面 与平面 平行，平面 平面 ，所A1CDAC1BD以 ，又 平面 ，所以 ，则 与 所成的角m1BD1Bn1为所求角，所以 ， 所成角的正弦值为 ，选 Amn328B【解析】由“ 且 ”推出“ 或 ”，但由“ 且 ”可lll ml推出“ ”，所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，故选 Bl 9B【解析】解法一 设 ， ，则由题意知 ADC2B1AD在空间图形中，连结 ，设 = t在 中， A 2222
6、1cos tt过 作 ，过 作 ，垂足分别为 NDCBMDCNM、过 作 ，使四边形 为平行四边形，则 ，/PPNPDC连结 ，则 就是二面角 的平面角，所以 ,AABA在 中，RtN， coscosDCsinsinD同理， ， ，故 inBMP=2coPMN=显然 平面 ，故 ABA在 中， Rt2222(s)4stt在 中，NPcosPAN=222sini(4)st222coscosinsinitt，221cocosiinADB所以221cosssiinADBADB ，2 221incoco(s)0ssiniADB 所以 （当 时取等号） ， =因为 ， ，而 在 上为递减函数，0,cos
7、yx0,所以 ，故选 BAD解法二 若 ，则当 时， ，排除 D；C=ACB当 时， ， ，排除 A、C，故选 B0=0010D【解析】利用正方体模型可以看出， 与 的位置关系不确定选 D1l411C【解析】选项 中 均可能与平面 平行、垂直、斜交或在平面 内，故选,ABDm12B【解析】对于选项 A，若 ，则 与 可能相交、平行或异面，A 错误；/,/nn显然选项 B 正确；对于选项 C，若 ， ，则 或 ，C 错误；对/n于选项 D，若 ， ，则 或 或 与 相交，D 错误故选 B/m/13D【解析】作 ，垂足为 ，设 ，则 ，由余弦定理PHPHx3x，265340Ax，21tant (0
8、)65403Axx故当 时， 取得最大值，最大值为 14325xtan5914B【解析】直线 与平面 所成的角为 的取值范围是OP1ABD，由于 ，112AC16sin3O， 1632sini2所以 的取值范围是 i,115D【解析】作正方形模型， 为后平面， 为左侧面mnll可知 D 正确16D【解析】A 中 可能平行、垂直、也可能为异面； B 中 还可能为异面；C 中,mn ,mn应与 中两条相交直线垂直时结论才成立，选 D17B【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的， l ， l ，则 如选项A：l ， l 时， 或 ；选项 C：若 ， l ， l 或 l；选项 D：若 , l ， l
9、 或 l 18B【解析】过点 作 ，若存在某个位置，使得 ，则 面AEBDABD，从而有 ，计算可得 与 不垂直，则 A 不正确；当翻折到CECE时，因为 ，所以 面 ，从而可得 ；若CC，因为 ，所以 面 ，从而可得 ，而D，所以这样的位置不存在，故 C 不正确；同理，D 也不正确，故12AB选 B19D【解析】对于 D，若平面 平面 ，则平面 内的某些直线可能不垂直于平面 ，即与平面 的关系还可以是斜交、平行或在平面 内，其余选项易知均是正确的20D【解析】D 两平行直线的平行投影不一定重合，故 A 错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知 、 均错误，故选 DB
10、C21 【解析】如图所示，402SSAB设 在底面的射影为 ，连接 ， 的面积为SSA，2221115sincos2 6ABAS ， 与底面所成的角为 ， ，80S45S445S2cos10底面周长 ，24lAS圆锥的侧面积为 150222【解析】对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设 为直线 ， 为AmCD直线 , 所在的平面为 nBC所在的平面为 ，显然这些D直线和平面满足题目条件，但 不成立命题正确，证明如下：设过直线 的某平面与平面 相交于直线 ，则 ，nln由 ，有 ，从知 结论正确mlm由平面与平面平行的定义知命题正确由平行的传递性及线面角的定义知命题正确23 【解析
11、】如图连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 78NDE,MC/EAN则异面直线 ， 所成的角为 ，由题意可知 ， ，ANCMEC1N=2A 又 ， ， ， ，2E=22DN=3CE则 837cos24 【解析】 为 轴， 为 轴， 为 轴建立坐标系，25ABxyAQz设正方形边长为 2令cos,5m2()(0,2)5mf2210()f 0,()mf，即 ax2()5fmax2cos525【解析】如图 为底面圆的内接正方形，设 ，BDEF1ACB则 ，2AAED即侧面均为等边三角形， 底面 ，CBFFEDCBA假设 ，由题意 ，当直线 与 成 60角时，由图可知 与 成aFB b AaAb60角，所
12、以 错，正确；假设 ，可知正确，错所以正确为aEB26 【证明】(1)在平行六面体 中， 1C 1B因为 平面 ， 平面 ，AB11A所以 平面 D1 C1B1A1DCBA(2)在平行六面体 中，四边形 为平行四边形1BC1A又因为 ，所以四边形 为菱形，1A1因此 又因为 ， ，1BC1B所以 A又因为 = ， 平面 ， 平面 ，11A1CB1AC所以 平面 B1C因为 平面 ，1A所以平面 平面 11AB27【解析】(1)由 ， ， ， ， 得24121AB1A，1AB所以 221A故 1由 ， ， ， ， 得 ，2BC11C1BC1B15C由 ， 得 ，A20A3由 ，得 ，所以 ，故
13、1132211A1因此 平面 BC(2)如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 11DAB1DDABCA1 B1 C1由 平面 得平面 平面 ，1AB1C11由 得 平面 ，DA所以 是 与平面 所成的角111B由 ， ，5BC22C得 ， ，16cos7A1sin7A所以 ，故 13CD1139iDC因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 1A1B13方法二 (1)如图，以 的中点 为原点，分别以射线 ， 为 ， 轴的正半COOBCxy轴，建立空间直角坐标系 xyzOzyxC1B1A1BA由题意知各点坐标如下：， ， ， ， ，(0,3)A(1,0)B1(,34)A1(,02)1(,3)C因
14、此 ， ， ，12由 得 1由 得 10ABCA所以 平面 1(2)设直线 与平面 所成的角为 1B由(1)可知 ， ， ，1(0,23)AC(,30)A1(,02)B设平面 的法向量 =(x,yzn由 ，即 ，可取 10Bn2(3,10)n所以 11|9si|co,ACn因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 1AC1B3128 【解析】 （）如图，设 PA 中点为 F，连结 EF，FB FHMNQEDCBA P因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EFAD 且 ，12EFA又因为 BCAD， ，所以12CADEFBC 且 EF=BC，即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF
15、，因此 CE平面 PAB（）分别取 BC，AD 的中点为 M，N连结 PN 交 EF 于点 Q，连结 MQ因为 E，F ，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 中点，在平行四边形 BCEF 中，MQCE由 为等腰直角三角形得PADPNAD由 DCAD，N 是 AD 的中点得BNAD所以 AD平面 PBN，由 BCAD 得 BC平面 PBN，那么，平面 PBC平面 PBN过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连结 MHMH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD=1在 中，由 PC=2，CD=1，PD= 得 CE= ，
16、PCD2在PBN 中，由 PN=BN=1，PB= 得 ，314QH在 中， ，MQ= ，RtMQH142所以 ，2sin8所以，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 2829 【解析】证明：（1）在平面 内，因为 ， ，所ABDAEFD以 EFAB又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 CCBC（2）因为平面 平面 ，B平面 平面 = ， ABD平面 ， ，C所以 平面 因为 平面 ，所以 ABCAD又 ， ， 平面 ， 平面 ，DBCAB所以 平面 ，又因为 平面 ，ACB所以 30 【解析】 （）因为 PE， AB，B， 平面 ， ，所以 E平面 ，又 平面 A，所以 P，又 120
17、BC，因此 30（）解法一：取 AEC的中点 H，连接 E， G， CH因为 120B，所以四边形 为菱形，所以 231A取 G中点 M，连接 E， C， 则 E， AG，所以 C为所求二面角的平面角又 1A，所以 132在 B中，由于 0EB，由余弦定理得 22cos01，所以 3C，因此 MC为等边三角形，故所求的角为 60解法二：以 B为坐标原点，分别以 BE， P， A所在的直线为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得 (0,3)A(2,0)， (1,3)G， (1,30)C，故 E， ， 2，设 1(,)mxyz是平面 E的一个法向量由 0AG可得 1230,xzy
18、取 12z，可得平面 E的一个法向量 (3,2)m设 2(,)nxyz是平面 AC的一个法向量由 0ACG可得 230,xyz取 2z，可得平面 的一个法向量 (3,2)n所以 1cos,|2mn因此所求的角为 6031 【解析】 （1）由正棱柱的定义， 平面 ，1CABD所以平面 平面 ， 1AB记玻璃棒的另一端落在 上点 处1M因为 ， 07C40所以 ，从而 22()3MN3sin4AC记 与水平的交点为 ，过 作 ， 为垂足，A1P1Q1则 平面 ，故 ，1PQBCD2从而 16sin答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 16cml( 如果将“没入水中部分”理解为 “水面以上部分” ，则结
19、果为 24cm)（2）如图， ， 是正棱台的两底面中心O1由正棱台的定义， 平面 ，EFGH所以平面 平面 ， 1EG1O同理，平面 平面 ， 111记玻璃棒的另一端落在 上点 处N过 作 ， 为垂足， 则 = =32GK1EGK1O因为 = 14， = 62，所以 = ，从而 16242211 430设 则 1,EGN 114sini()cos5KG 因为 ，所以 23co5在 中，由正弦定理可得 ，解得 ENG401sini7sin25因为 ，所以 022co5于是 sinsi()sin()sicosinNEG42735记 与水面的交点为 ，过 作 ， 为垂足，则 平面2P2QEG22PQ
20、，故 =12，从而 = EFGH2Q20sinN答:玻璃棒 没入水中部分的长度为 20cml(如果将“没入水中部分”理解为 “水面以上部分” ，则结果为 20cm)32 【解析】 （）由已知可得 ， ，所以 平面 AFDFEAEFDC又 平面 ，故平面 平面 AFBEC（）过 作 ，垂足为 ，由（）知 平面 DGGB以 为坐标原点， 的方向为 x轴正方向， 为单位长度，建立如图所示的|空间直角坐标系 yz由（）知 为二面角 的平面角，故 ，则 ，FEAFE60DFE2，可得 ， ， ， 3DG(1,40)(3,)B(,0)(,3)由已知， ，所以 平面 AB C又平面 平面 ，故 ， CEFD
21、A EF由 ，可得 平面 ，所以 为二面角 的平面E CB角，从而可得 60F(2,03)所以 ， ， ， (1,3)EC4EB(,43)AC(4,0)AB设 nxyz是平面 的法向量，则0，即 04z，所以可取 3,n设 m是平面 CDA的法向量，则 C0mA，同理可取 0,34则 219cos,n故二面角 CA的余弦值为 21933 【解析】 （I）证明： ，54AECF ， AECFD四边形 为菱形，B ， ，D ， EFH ， ；6AC3O又 ， ， ，5BB4 ， ，1D 3H ， 222OHO又 ， 面 EFIABCD（）建立如图坐标系 xyz， ， ， ，50B，130C3D，1
22、30A， ， ，430ABur，13ADur，06ACur，设面 法向量 ，1nxyz， ，由 得 ，取 ， 10nABD430xyz345xyz1345nur，同理可得面 的法向量 ，C21nur， ， 12957cos10nur 295sin34 【解析】 （）由已知得 ，32ADM取 的中点 ，连接 BPTN,由 为 中点知 ， NCB/21CT又 ，故 平行且等于 ，四边形 为平行四边形，于是AD/ AMNTTM因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 PMNP/PAB（）取 的中点 ，连结 ，由 得 ，从而 ，BCECBEDE且 5)2(2AA以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图
23、所示的空间直角坐标系x，由题意知，xyz， ， ， ，)4,0(P)0,2(M),5(C)2,15(N， ，,1P)2,15(AN设 为平面 的法向量，则 ，即 ，(,)xyznPMN0PMNn0254zyx可取 ，(0,21)于是 |85|cos, 2nAN35 【解析】 （）设 ，连结 OF，EC ，CBEO由于 E 为 AD 的中点， ，1,/2ABCDABC所以 ,/,A因此四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点，又 F 为 PC 的中点，因此在 中，可得 PC/AF又 平面 ， 平面 ，所以 平面 OFBEBEAPBE（）由题意知， ，所以四边形 为平行四边形，/,DC
24、D因此 又 平面 PCD，所以 ，因此 /因为四边形 ABCE 为菱形，所以 又 ，AP，AC 平面 PAC，所以 平面 APCBEPAC36 【解析】 （） 为 中点，DEPADE， PAC， 平面 DEF，DE 平面 DEF，PA平面 DEF（） 为 中点， ， 132DEPA 为 中点，EF， ACB， 4FBC ， ，DEEF22D90 ，/P， DEA ，DE平面 ABCACEFDE 平面 BDE，平面 BDE平面 ABC37 【解析】 （）连接 BD 交 AC 于点 O，连结 EO因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点又 E 为 PD 的中点，所以 EOPBEO 平面
25、AEC,PB 平面 AEC，所以 PB平面 AEC（）因为 PA 平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直如图，以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向， 为单位长，建立空间直角BAP坐标系 ，xyzxyzOAB CDPE则 (0,3),D1(,)2E31(0,)2A设 ，则 ,bm,cm,0C设 为平面 ACE 的法向量，1()nxyz则 即 ，可取 10,ACE30,12xyz13(,)nm又 为平面 DAE 的法向量，2(,)n由题设 ，即 ，解得 12cos, 231432因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 的高为 EACD三棱锥 的体积 ACD13
26、128V38 【解析】 （）证明：如图取 PB 中点 M，连接 MF， AM因为 F 为 PC 中点，故 MF/BC 且 MF= BC由已知有 BC/AD，BC=AD 又由于 E 为 AD 中点，12因而 MF/AE 且 MF=AE，故四边形 AMFE 为平行四边形，所以 EF/AM，又 AM 平面 PAB，而 EF 平面 PAB，所以 EF/平面 PAB（） （i）证明：连接 PE，BE因为 PA=PD，BA=BD ，而 E 为 AD 中点，故 PE AD，BE AD，所以 PEB 为二面角 P-AD-B 的平面角在三角形 PAD 中，由 ，可解得 PE=22,5ADP在三角形 ABD 中，
27、由 ，可解得 BE=12BAD在三角形 PEB 中，PE=2 ，BE=1， ，60PEB由余弦定理，可解得 PB= ，从而 ，即 BE PB，39又 BC/AD，BE AD，从而 BE BC，因此 BE 平面 PBC又 BE 平面 ABCD，所以平面 PBC 平面 ABCD（ii）连接 BF，由（i）知 BE 平面 PBC所以 EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角，由 PB= ，PA= ，AB= 得 ABP 为直角，而 MB= PB= ，可得352123AM= ，12故 EF= ，又 BE=1，故在直角三角形 EBF 中， 1sin.BEF所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦
28、值为 2139 【解析】 （）设点 O 为 AC，BD 的交点，由 ABBC，ADCD ，得 BD 是线段 AC 的中垂线所以 O 为 AC 的中点，BD AC又因为 PA平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 PABD 所以 BD平面 APC（）连结 OG由(1)可知 OD平面 APC，则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG，所以OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角由题意得 OG PA 123在ABC 中，AC ，2cosABCBAC23所以 OC AC 13在直角OCD 中，OD 22DO在直角OGD 中，tan OGD 43G所以 DG 与平面 APC 所成的角的正切值为
29、（）连结 OG因为 PC 平面 BGD，OG 平面 BGD，所以 PCOG在直角PAC 中，得 PC 15所以 GC 2ACOP从而 PG ，315所以 2GC40【解析】（）由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC 由 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PABC，又 PAAC=A,PA 平面 PAC，AC 平面 PAC，所以 BC平面 PAC（）连 OG 并延长交 AC 与 M，链接 QM，QO MQOPA BCG由 G 为AOC 的重心，得 M 为 AC 中点，由 G 为 PA 中点，得 QM/PC又 O 为 AB 中点，得 OM/BC因为 QMMO=M,QM 平面 QMO所以 Q
30、G/平面 PBC41 【 解 析 】 （）因 为 是 直 三 棱 柱 ， 所 以 平 面 ABC,1ABC1又 平 面 ,所 以 ， 又 因 为DD1,E平 面 ， 所 以 平 面 ,E11,E又 AD 平 面 ADE,所 以 平 面 ADE 平 面 1BC（）因 为 ， 为 的 中 点 ， 所 以 因 为 平 面 ，11BCF11AF1C1AB且 平 面 ， 所 以 又 因 为 ， 平 面 ，F.， 所 以 平 面 ， 所 以 AD11111/又 AD 平面 ， 平面 ，所以 平面 ADEDEAFDE42【解析】（） B平面 P， H面 PB又 ,PH面 BC（） E是 中点 点 E到面 F
31、的距离 12h三棱锥 BCF的体积 112361BCVSADh（）取 PA的中点为 G，连接 ,DE， PGP，又 平面 面 面 A面 B，点 ,E是棱 ,B的中点 1/,/2FEFE，得： F平面 PA43 【证明】：（）在PAD 中，因为 E、F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EF/PD又因为 EF 平面 PCD，PD 平面 PCD，所以直线 EF/平面 PCDPABCDFE（）连结 DB，因为 AB=AD，BAD=60 ，所以ABD 为正三角形，因为 F 是 AD的中点，所以 BFAD因为平面 PAD平面 ABCD，BF 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，所以 BF平
32、面 PAD又因为 BF 平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD44 【解析】法一：（）证明：取 AD 中点 G，连接 PG，BG，BD因 PA=PD，有 ，在 中， ，有 为等边PGADB1,60ADABD三角形，因此 ，,P所以 平面 PBG ,.又 PB/EF，得 ，而 DE/GB 得 AD DE，又 ，AEFFE所以 AD 平面 DEFDCBAPFEG（） ， 为二面角 PADB 的平面角，,PGADB在 2274Rt中在 3sin60t中 ,=2273421cos 7PGB法二：（）取 AD 中点为 G，因为 ,.APDG又 为等边三角形，因此， ，,60,ABDBBAD从而 平面
33、 PBG延长 BG 到 O 且使得 PO OB，又 平面 PBG，PO AD，PO所以 PO 平面 ABCD,G以 O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线 OB，OP 分别为 轴，z 轴，平行于xAD 的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系y设 1(0,)(,0)(,0),(,).2PmnADn则 yzxPABCDOFEG3|sin602GBA33131(,)(,1)(,0)(,).2242nmCEnF由于 3(0,1)(,0)(,)2AD得 ,EFADEFDE平面 DEF（） 13(,),(,0)22PAnmPBnm2 2133,(),1,.4 2mnnmn解 之 得取平面 ABD 的
34、法向量 10,设平面 PAD 的法向量 2()nabc由 2 2330,0,0,0,2bPAnPDnac得 由 得取 2(1,).12321cos, .74n45 【解析】 （）因为四边形 是正方形，所以 / 故 为异面直线ADEFFAEDC与 所成的角因为 平面 ，所以 故 CEAFBCD在 中， =1， = ， = =3,RtC22故 = = cos3所以异面直线 和 所成角的余弦值为 EAF23（）证明：过点 作 / ,交 于点 ，则 由BGCDG45BACD,可得 ,从而 ,又 , = ,所以45DFBA平面 CAF()解：由（）及已知，可得 = ，即 为 的中点取 的中点 ，连接2A
35、EN，则 ,因为 / ,所以 / 过点 作 ，交GNEBCDFMF于 ，则 为二面角 - - 的平面角BME连接 ，可得 平面 ,故 从而 由已知，AGNMBCG可得 = 由 / , ,得 2F在 中， ,RtNGMtanGM1N4所以二面角 - - 的正切值为 BEFA46 【解析】 ()取 的中点 ，连结 ， ，由条件易知D FCENGMFDA BCAE， ， 所以 ，FGCD 12BC 12DFGBEBE故四边形 为平行四边形，所以 FE因为 平面 ， 平面 ，所以 /平面AEAA（）在平行四边形 中，设 ，则 ，BCDa2BCDa，连 ，因为Da01在 中，可得 = ，BE3在 中，可得 = ，A在 中，因为 ，所以 ，C22CEDCE在正三角形 中， 为 中点，所以 MAM由平面 平面 ,ADEB可知 平面 , A取 的中点 ，连线 、 ，NF所以 ， F因为 交 于 ，DEM所以 平面 ，A则 为直线 与平面 所成角NDE在 Rt 中， = , = ， = ，F32aN1FMa则 cos = FMN12所以直线 与平面 所成角的余弦值为 ADE12
