1、圆学子梦想 铸金字品牌- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时分层作业 五十二抛 物 线一、选择题(每小题 5分,共 35分)1.(2018吉林模拟)抛物线 x2=4y上一点 A的纵坐标为 4,则点 A与抛物线焦点的距离为 ( )A.5 B.4 C. D. 15 10【解析】选 A.由抛物线的定义可得 A 与抛物线焦点的距离|AF|=y A+ =4+1=5.22.已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,直线 y=2x-4与 C交于 A,B两点,则cosAFB=( )A. B. C.- D.
2、-45 35 35 45【解析】选 D.联立 2=4,=2-4,解得 或 不妨设 A 在 x 轴上方,=4,=4 =1,=-2,所以 A(4,4),B(1,-2),因为 F 点坐 标为(1,0),所以 =(3,4), =(0,-2),圆学子梦想 铸金字品牌- 2 -cosAFB= = =- .-852 45【一题多解】选 D.因为 A(4,4),B(1,-2),|AB|=3 ,|AF|=5,|BF|=2,5由余弦定理知,cosAFB= =- .|2+|2-|22| 453.已知抛物线 y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )A. B.(1,0) C. D.(0,
3、1)(12,0) (14,0)【解析】选 B.因为抛物线 y2=2px(p0)的准线为 x=- 且过点(-1,1),故- =-1,解2 2得 p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).【一题多解】选 B.由于准线方程为 x=- ,焦点坐标为 ,所以由准线经过点(-2 (2,0)1,1),可知焦点坐标为(1,0).【变式备选】抛物线 y=2x2的焦点坐标是 ( )A. B. C. D.(18,0) (12,0) (0,18) (0,12)【解析】选 C.抛物线的标准方程为 x2= y,所以焦点坐 标是 .12 (0,18)【方法技巧】根据抛物线的标准方程确定焦点坐标.4.以 x轴为对称轴,原点为
4、顶点的抛物线上的一点 P(1,m)到焦点的距离为 4,则抛物线的方程是 ( )圆学子梦想 铸金字品牌- 3 -A.y=4x2 B.y=12x2C.y2=6x D.y2=12x【解析】选 D.设抛物线的方程为 y2=2px(p0),则由抛物线的定义知 1+ =4,即2p=6,所以抛物线方程为 y2=12x.5.(2018鞍山模拟)已知点 P在抛物线 x2=4y上,则当点 P到点 Q 的距离(1,2)与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P的坐标为 ( )A. B.(2,1) (-2,1)C. D.(-1,14) (1,14)【解析】选 D.因为点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线
5、的准线 y=-1 的距离,所以 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值等价于 P(1,2)到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线距离之和取得最小值,由几何性质可得,从(1,2)Q 向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将 x=1 代入 x2=4y,可得 y= ,点(1,2)14P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标(1,2)为 .(1,14)6.设 F为抛物线 C:y2=4x的焦点,曲线 y= (k0)与 C交于点 P,PFx 轴,则 k=( )世纪金榜导学号 37681156A. B.1 C. D.212 32圆学子梦想 铸金字
6、品牌- 4 -【解析】选 D.因为 y2=4x,所以 F(1,0).又因为曲线 y= (k0)与 C 交于点 P,PFx轴,所以 P(1,2).将点 P(1,2)的坐标代入 y= (k0),得 k=2.7.已知 F为抛物线 C:y2=4x的焦点,过 F作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与C交于 A,B两点,直线 l2与 C交于 D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为世纪金榜导学号 37681157( )A.16 B.14 C.12 D.10【解析】选 A.方法一:设直线 l1方程为 y=k1(x-1),联立方程 2=4,=1(-1)得 x2-2 x-4x+ =0,21 21 21
7、设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以 x1+x2=- = ,-221-421221+421同理直线 l2与抛物线的交点满足 x3+x4= ,222+422由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x2+x3+x4+2p= + +4= + +82 +8=16,221+421222+422 421422162122当且仅当 k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:不妨设 AB 的倾斜角为 .作 AK1 垂直于准线,垂足为(00).因为点(2,-2)在抛物线上,所以 p=1,即抛物 线方程为 x2=-2y.当 y=-3 时,x= .所以水位下6降
8、 1 米后,水面宽为 2 米.答案:2 6圆学子梦想 铸金字品牌- 7 -10.已知双曲线 C1: - =1(a0,b0) 的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p0)2222的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2的方程为_.世纪金榜导学号 37681158 【解析】因为双曲线 C1: - =1(a0,b0)的离心率 为 2,所以 2= = ,所2222 1+22以 = ,所以渐近线方程为 xy=0,因为抛物线 C2:x2=2py(p0)的焦点 F 3 3,所以 F 到双曲线 C1的渐近线的距离为 =2,所以 p=8,所以抛物线(0,2) |2|3+1C2的方程为 x
9、2=16y.答案:x 2=16y1.(5分)设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M在 C上,|MF|=5.若以 MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线 C的方程为 ( )A.y2=4x或 y2=8xB.y2=2x或 y2=8xC.y2=4x或 y2=16xD.y2=2x或 y2=16x圆学子梦想 铸金字品牌- 8 -【解析】选 C.由已知得抛物线的焦点 F ,设点 A(0,2),抛物线上点 M(x0,y0),则(2,0)= , = .由已知得, =0,即 -8y0+16=0,因而(2,-2) (202,0-2) 20y0=4,M .由 |MF|=5 得, + =5,又 p0,解
10、得 p=2 或 p=8,所以抛物线 C 的方程为(8,4) 82y2=4x 或 y2=16x.【变式备选】若直线 ax-y+1=0经过抛物线 y2=4x的焦点,则实数 a=_. 【解析】直线 ax-y+1=0 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),则 a+1=0,所以 a=-1. 答案:-12.(5分) O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 x的焦点,P 为 C上一点,若|PF|=42,则POF 的面积为 ( )2A.2 B.2 C.2 D.43【解析】选 C.由题意可知焦点坐标为 F( ,0),因为|PF|=4 ,所以 xP+ =4 ,所2 2 2 2以 xP=3 ,所以|y
11、P|=2 ,所以 POF 的面积为 S= 2 =2 .2 612 2 6 3【变式备选】过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F且倾斜角为 120的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A,B两点,则 的值等于 ( )|A. B. C. D.13 23 34 43【解析】选 A.记抛物线 y2=2px 的准线为 l,如图,作AA1l,BB 1l,ACBB 1,垂足分别是 A1,B1,C,则有 cosABB1 =圆学子梦想 铸金字品牌- 9 -= = ,|1|-|1|+| |-|+|即 cos 60= = ,由此得 = .|-|+|12 |133.(5分)(2017山东高考)在平面直角坐标系
12、 xOy中,双曲线 - =1(a0,b0)的2222右支与焦点为 F的抛物线 x2=2py(p0)交于 A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_. 世纪金榜导学号 37681159【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AF|=y 1+ ,|BF|=y2+ ,|OF|= ,所以2 2 2|AF|+|BF|=y1+ +y2+ =y1+y2+p=4|OF|=2p,2 2可得 y1+y2=p,联立方程 得 - +1=0,由根与系数的关系得 y1+y2= p,22-22=1,2=2, 2222 222所以 p=p,则 = , = ,所以双曲线的
13、渐近线方程为 y= x.222 2212 22 22答案:y= x22【变式备选】过抛物线 y2=4x的焦点 F的直线交该抛物线于 A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=_. 【解析】焦点坐标为 F(1,0),所以直线方程为 y=k(x-1),代入抛物线方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,圆学子梦想 铸金字品牌- 10 -所以 x1+x2= ,x1x2=1.22+42由题意知|AF|=x 1+1,|BF|=x2+1,由已知|AF|=3,所以 x1=2,所以 x2= ,所以|BF|= .12 32答案:324.(12分)(2017北京高考)已知抛物线 C:y2=2px过点 P(1,1)
14、.过点 作直(0,12)线 l 与抛物线 C交于不同的两点 M,N,过点 M作 x轴的垂线分别与直线 OP,ON交于点 A,B,其中 O为原点.世纪金榜导学号 37681160(1)求抛物线 C的方程,并求其焦点坐标和准线方程.(2)求证:A 为线段 BM的中点.【解析】(1) 把 P(1,1)代入 y2=2px 得 p= ,所以 C:y2=x,12所以焦点坐标 ,准线方程:x=- .(14,0) 14(2)设 l:y=kx+ ,M(x1,y1),N(x2,y2),12OP:y=x,ON:y= x,22由题知 A(x1,x1),B ,(1,122)由=+12,2=, 圆学子梦想 铸金字品牌-
15、11 -消去 y 得 k2x2+(k-1)x+ =0,14所以 x1+x2= ,x1x2= .1-2 142所以 y1+ =kx1+ + =2kx1+ ,由 x1+x2= ,x1x2= ,122 121(2+12)2 1+222 1-2 142上式=2kx 1+ =2kx1+(1-k)2x1=2x1,1-22 1421所以 A 为线段 BM 的中点.5.(13分)(2017全国卷)已知抛物线 C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C于 A,B两点,圆 M是以线段 AB为直径的圆.世纪金榜导学号 37681161(1)证明:坐标原点 O在圆 M上.(2)设圆 M过点 P(4,-2),求直
16、线 l 与圆 M的方程.【解析】(1)a.当直线 lx轴时,将 x=2 代入 y2=2x 得 y=2,故|AB|=4,圆 的半径为 2,故原点 O 在圆 M 上 ,b.当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 AB 的方程为 y=k(x-2),因为抛物线 C 的方程为 y2=2x,联立得,k 2x2-(4k2+2)x+4k2=0,设 A,B 坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2),圆学子梦想 铸金字品牌- 12 -则 x1+x2= ,42+22x1x2=4,则 =x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2,将代入得 =4(1+k
17、2)-2(4k2+2)+4k2=0,故 OAOB,又因为 AB 为直径,所以原点 O 在圆 M 上.(2)若斜率 k 不存在时,则圆 M 不经过 P(4,-2),故斜率 k 存在.因为圆 M 过点 P(4,-2),所以 PAPB,即 =0.将点 P,A,B 的坐标代入得 (x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即 x1x2+y1y2-4(x1+x2)+2(y1+y2)+20=0,由于 y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x1+x2)-4k,利用(1) 中的 结论及式化简式得 k2+k-2=0,解得 k=-2 或 k=1.所以当 k=-2 时,直线 l 的方程为 y=
18、-2(x-2),x1+x2= ,92所以点 M 的横坐标为 x0= ,将 x0= 代入直线 l 的方程 y=-2(x-2)得纵坐标 y0=- ,94 94 12所以点 M ,(94,-12)所以|MP|= = ,所以圆 M 的方程为 + = .(74)2+(-32)2 8516 (-94)2(+12)28516当 k=1 时,直 线 l 的方程 为 y=x-2,x1+x2=6,圆学子梦想 铸金字品牌- 13 -所以点 M 的横坐标为 x0=3,将 x0=3 代入直线 l 的方程得纵坐标 y0=1,所以点 M(3,1),所以|MP|= = ,12+(-3)2 10所以圆 M 的方程为(x-3)
19、2+(y-1)2=10.所以当 k=-2 时,直线 l 的方程为 y=-2(x-2),圆 M 的方程为 + =(-94)2(+12)2;8516当 k=1,直线 l 的方程为 y=x-2,圆 M 的方程为(x-3) 2+(y-1)2=10.【变式备选】有一块正方形菜地 EFGH,EH所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到 F点或河边运走.于是,菜地分为两个区域 S1和 S2,其中 S1中的蔬菜运到河边较近,S 2中的蔬菜运到 F点较近,而菜地内 S1和 S2的分界线 C上的点到河边与到 F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点 O为 EF的中点,点 F的坐标为(1,0),如图.(1)求菜地
20、内的分界线 C的方程.(2)菜农从蔬菜运量估计出 S1面积是 S2面积的两倍,由此得到 S1面积的“经验值”为 .设 M是 C上纵坐标为 1的点,请计算以 EH为一边、另有一边过点 M的83矩形的面积,及五边形 EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于 S1面积的经验值.【解析】(1) 因 为 C 上的点到直线 EH 与到点 F 的距离相等,所以 C 是以 F 为焦点、以 EH 所在直线为准线的抛物线在正方形 EFGH 内的部分,其方程为y2=4x(0y2).(2)依题 意,点 M 的坐标为 .(14,1)圆学子梦想 铸金字品牌- 14 -所求的矩形面积为 ,而所求的五 边形面积为 .52 114矩形面积与“经验值” 之差的 绝对值为 = ,而五边形面积与“经验值”之差|52-83|16的绝对值为 = ,所以五边形面积更接近于 S1 面积的“经验值”.|114-83| 112关闭 Word 文档返回原板块
