1、圆学子梦想 铸金字品牌- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。单元过关检测(五)(第五章)(120分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知数列 , ,5, ,那么 15是数列的 ( )5 15 5(2-1)A.第 22项 B.第 23项C.第 24项 D.第 25项【解析】选 B.根据通项公式 an= 有 =15,解得 n=23.5(2-1) 5(2-1)2.已知等比数列a n的前 n项和为 Sn,
2、且 Sn=3n+a(nN *),则实数 a的值是( )A.-3 B.3 C.-1 D.1【解析】选 C.当 n2时 ,an=Sn-Sn-1=23n-1,当 n=1时,a 1=S1=3+a,因为数列a n是等比数列,所以 3+a=2,解得 a=-1.3.(2018拉萨模拟)已知等差数列a n各项均为正数,其前 n项和为 Sn,若a1=1, =a2,则 a8= ( )3A.12 B.13 C.14 D.15【解析】选 D.设公差为 d,由题意得 =1+d,解得 d=2(d=-1 舍去),所以3+3a8=1+72=15.【变式备选】已知等差数列a n的前 13项之和为 39,则 a6+a7+a8=(
3、 )圆学子梦想 铸金字品牌- 2 -A.6 B.9 C.12 D.18【解析】选 B.设等差数列a n的公差为 d,根据等差数列的求和公式可得:S 13 =13a1+ d=39,化简得:a 1+6d=3,所以 a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1+7d13122=3a1+18d=3(a1+6d)=33=9.【一题多解】本小题还可以采用以下解法:选 B.由等差数列的性质得 S13=13a7=39,所以 a7=3,所以 a6+a7+a8=3a7=9.4.(2018固原模拟)等差数列a n的前 n项和为 Sn,且 a1m时,S n与 an的大小关系是 ( )A.Snan D.大小不能确定【
4、解析】选 C.由题意得公差 d0,且 am0,所以当 nm 时,S n-an=Sn-Sm+am-an=am+am+1+an-10,所以 Snan.5.数列a n满足 an+1= 若 a1= ,则 a2 018的值是 ( )2,00,且 a1a5= =1,得 a3=1.由 S3=7,得 + +a3=7,即 + =6,23 323 121又 q0,解得 q= .所以 S7=S3+a3q+a3q2+a3q3+a3q4=7+ + + + = .12 121418 116127167.(2018吉林模拟)已知数列a n的前 n项和为 Sn,a1=1,2Sn=an+1,则 Sn=( )世纪金榜导学号 37
5、681255A.2n-1 B.2n-1C.3n-1 D. (3n-1)12【解析】选 C.因为 an+1=Sn+1-Sn,所以 Sn+1=3Sn,故数列S n是首项为 1,公比为 3 的等比数列,则 Sn=S13n-1=3n-1.8.(2018重庆模拟)在数列a n中,已知 an= (nN *),则a n的1(+1)(+3)前 n项和 Sn= ( )A. - -56 1+2 1+3B.12(12- 1+3)C.12(43- 1+1- 1+3)D.12(56- 1+2- 1+3)【解析】选 D.由 an=1(+1)(+3)= ,12( 1+1- 1+3)圆学子梦想 铸金字品牌- 4 -Sn= (
6、 - + - + - + - + - )12121413151416 1 1+2 1+1 1+3=12(12+13- 1+2- 1+3)= .12(56- 1+2- 1+3)9.在等差数列a n中,a 10,a2 012+a2 0130,a2 012a2 0130成立的最大自然数 n是 世纪金榜导学号 37681256( )A.4 025 B.4 024C.4 023 D.4 022【解析】选 B.an为等差数列,a 10,a2 012+a2 0130,a2 012a2 0130,a2 0130.因为 S4 025= ,a1+a4 025=2a2 013.4 025(1+4 025)2所以 S
7、4 0250 成立的最大自然数 n 是 4 024.10.(2018西安模拟)已知数列a n的前 n项和为 Sn,点(n,S n+3)(nN *)在函数y=32x的图象上,等比数列b n满足 bn+bn+1=an(nN *),其前 n项和为 Tn,则下列结论正确的是 ( )圆学子梦想 铸金字品牌- 5 -世纪金榜导学号 37681257A.Sn=2Tn B.Tn=2bn+1C.Tnan D.Tna1 009B.a2 016bnD.n0N *,1bn,n2 017时,a n0,a 40,S 70.【解析】S n=na1+ d,(-1)2因为只有 S4 是S n中的最小项,所以20,3.50,-4
8、0.S7=7a1+ d=7(a1+3d)=7a40,则 解得: 或 (舍去)21+4=2(1+2)27 ,71+21=63, 1=3,=2 1=-18,=9, 所以 an=2n+1.(2)因为 bn+1-bn=an+1 且 an=2n+1,所以 bn+1-bn=2n+3,当 n2 时,b n=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+5+3=n(n+2),当 n=1 时,b 1=3 满足上式 ,所以 bn=n(n+2),圆学子梦想 铸金字品牌- 10 -所以 = =1 1(+2)12(1- 1+2)所以 Tn= + + +11121-11=
9、+ + +( - )+ 12(1-13)(12-14)(13-15) 1-1 1+1 (1- 1+2)=12(1+12- 1+1- 1+2)= - .3412( 1+1+ 1+2)19.(12分)(2018武威模拟)已知 Sn是等比数列a n的前 n项和,S3+2,S9+2,S6+2成等差数列且 a2+a5=4. 世纪金榜导学号 37681261(1)求数列a n的公比 q.(2)设 bn=log2|an|,求数列b n的前 n项和 Tn.【解析】(1) 设 等比数列a n的公比为 q,当 q1 时,因为 S3+2,S9+2,S6+2 成等差数列,且 a2+a5=4,所以 2(S9+2)=S6
10、+2+S3+2,a1(q+q4)=4.所以 2 = + ,1(9-1)-11(6-1)-11(3-1)-1化为(2q 3+1)(q3-1)=0,解得:q 3=- ,a2=8,当 q=1 时,不满足条件,舍去,12所以 q=- .312圆学子梦想 铸金字品牌- 11 -(2)由(1)可得 an=a2qn-2=(-1)n-2 .211-3bn=log2|an|=11-3 ,111,-113 ,12. 当 n11 时,数列b n的前 n 项和 Tn= = .(103+11-3 )2 -2+216当 n12 时,数列b n的前 n 项和 Tn=T11+ + +12-113 13-113 -113= +
11、 -11(n-11)2111-1126 13 (-11)(12+)2= .2-21+220620.(12分)(2018酒泉模拟)已知数列a n满足 a1=1,an+1=an+2,数列b n的前 n项和为 Sn,且 Sn=2-bn.世纪金榜导学号 37681262(1)求数列a n,bn的通项公式.(2)设 cn=anbn,求数列c n的前 n项和 Tn.【解析】(1) 因 为 a1=1,an+1-an=2,所以a n是首项为 1,公差 为 2 的等差数列,所以 an=1+(n-1)2=2n-1,又当 n=1 时 ,b1=S1=2-b1,所以 b1=1,当 n2 时,S n=2-bn,圆学子梦想
12、 铸金字品牌- 12 -Sn-1=2-bn-1,两式相减得 bn=-bn+bn-1,即 = ,-112所以b n是首项为 1,公比为 的等比数列,12故 bn= .(12)-1(2)由(1)知 cn=anbn= ,则2-12-1Tn= + + + ,120321522 2-12-1Tn= + + + ,12 121322 2-32-12-12相减得Tn= + + + -12 120221222 22-12-12=1+1+ + -12 12-22-12=1+ - =3- ,1- 12-11-12 2-12 2+32所以 Tn=6- .2+32-1圆学子梦想 铸金字品牌- 13 -【变式备选】已知
13、 an是单调递增的等差数列,首项 a1=3,前 n项和为 Sn,数列是等比数列,首项 b1=1,且 a2b2=12,S3+b2=20.(1)求数列a n和 的通项公式.(2)设 cn=anbn,求数列 的前 n项和 Tn.【解析】(1) 设 数列a n的公差为 d,数列 bn 的公比为 q,则由题意得: (3+)=12,9+3+=20,解得:d=- ,q=18 或 d=3,q=2.73因为a n是单调递增的等差数列 ,所以 d0,所以 d=3,q=2,所以 an=3+(n-1)3=3n,bn=2n-1.(2)cn=anbn=3n2n-1,则 Tn=3120+3221+3322+3(n-1)2n
14、-2+3n2n-1,又因为 2Tn=3121+3222+3(n-1)2n-1+3n2n,所以-T n=3+3(21+22+2n-1)-3n2n,=3 -3n2n=32n-3-3n2n=-3-32n(n-1),1-21-2所以 Tn=3+32n(n-1).21.(12分)已知等比数列a n的各项均为正数,a 1=1,公比为 q;等差数列b n中,b1=3,且b n的前 n项和为 Sn,a3+S3=27,q= .世纪金榜导学号 3768126322(1)求a n与b n的通项公式.圆学子梦想 铸金字品牌- 14 -(2)设数列c n满足 cn= ,求c n的前 n项和 Tn.92【解析】(1) 设
15、 等差数列b n的公差为 d,因为3+3=27,=22, 所以 2+3=18,6+=2,解得 =3,=3,所以a n的通项公式为 an=3n-1,bn的通 项公式为 bn=3n.(2)由题 意得 :Sn= ,(3+3)2所以数列c n的通项公式 为cn= = =3 ,929223 1(+1) (1- 1+1)所以c n的前 n 项和为Tn=3 + + = .(1-12)(12-13) (1- 1+1) 3+122.(12分)设数列a n的前 n项和为 Sn,a1=1,Sn=nan- 3n(n-1)(nN *). 世纪金榜导学号 37681264(1)求数列a n的通项公式 an.(2)是否存在
16、正整数 n,使得 + + + - (n-1)2=2 016?若存在,求出 n值;若112233 32不存在,说明理由.圆学子梦想 铸金字品牌- 15 -【解析】(1)S n=nan-3n(n-1)(nN*),所以当 n2 时,S n-1=(n-1)an-1-3(n-1)(n-2),两式相减得:a n=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-3(n-1)-(-2)即(n-1)a n=(n-1)an-1+6(n-1),也即 an-an-1=6,所以a n是首项为 1,公差 为 6 的等差数列,所以 an=6n-5.(2)Sn=nan-3n(n-1)=n(6n-5)-3n(n-1)=3n2-2n,所以 =3n-2,+ + + =3(1+2+3+n)-2n= -2n= n2- n,112233 3(+1)2 32 12所以 + + + - (n-1)2= n2- n- (n-1)2= - =2 016,112233 32 32 1232 5232所以 5n=4 035,所以 n=807,即当 n=807 时, + + + -112233 (n-1)2=2 016.32关闭 Word 文档返回原板块
