1、第 2 讲 函数概念与基本初等函数本讲分三小节，分别为函数的概念、基本初等函数、函数的值域，建议用时 课时重点应当4.5放在对函数三要素的基本求法与对基本初等函数的图象与性质的梳理上对于函数的图象与性质，掌握了基本初等函数图象的作法，就把握了基本初等函数的性质，因此应以引导学生理解、记忆、应用基本初等函数的图象为主要教学目标对于一次分式函数和对勾函数，由于这两类函数常见而易用，因此对其图象与性质也需要达到相当的要求另外，我们在处理较为复杂的初等函数问题（其中）总是设法将其转化为基本初等函数问题，因此对这种转化能力的培养也是本讲的重点与难点第一小节为函数的概念，共 3 道例题其中例 1 主要讲解
2、函数的定义域；例 2 主要讲解函数的对应法则；例 3 主要讲解函数的解析式；此外还安排了关于映射的一道拓展题，该题难度较大，教师可以根据情况选用第二小节为基本初等函数，共 7 道例题其中例 4 主要讲解幂与对数的运算；例 5 主要讲解指、对、幂函数的性质；例 6 主要讲解指数函数与对数函数的图象；例 7 主要讲解二次函数的性质；第三小节为函数的值域，共 2 道例题其中例 8 主要讲解根式函数的值域问题；例 9 主要讲解二次函数、对勾函数、分式函数的值域问题16 第 2 讲教师版知识结构图知识梳理一、函数的概念1、映射对于非空集合 和非空集合 ，如果对于集合 中的任意一个元素在 中都有惟一元素按
3、对应法ABAB则 与之对应，那么所有的对应关系称为从 到 的一个映射，记为“ ”对每个对应关系f B:fA而言，集合 中的元素称为原象，集合 中的元素称为象需要注意：对于映射 而言，集合 中的每个元素均是某个对应关系下的原象，而集合 中并非每:fA个元素均是某个对应关系下的象2、函数的三要素如果映射 中， 、 均为数集，那么就称这个映射为函数此时所有原象组成的集合:fAB称为定义域（即 ） ，所有象组成的集合称为值域（即 ） 形成函数时所涉及到的定义域、|fxA对应法则、值域称为函数的三要素【备注】可以将映射看为函数概念的拓展，也可以将函数看作特殊的映射由于定义域与对应法则决定着值域，因此定义
4、域和对应法则也称为函数的两个要素二、函数的表示法1、列表法当函数的定义域和值域均为离散的有限数集，且对应法则不便于解析表达时，我们采用可以用列表法表示函数有时我们也借助列表法画函数的草图2、图象法将每个对应关系的原象与象看作平面直角坐标系下的点的横坐标与纵坐标，就可以用图象来表示函数函数的图象具有很强的直观性，是研究函数的重要工具3、解析式法用式子表示每个对应关系中的原象与象的数值之间的联系，这种方法称为解析式法利用函数的解析式可以简明、全面地概括对应关系，同时可以方便的求函数值【备注】分段函数的表示法要注意各取值区间应该无交点；注意复合函数的书写方法三、基本初等函数1、指数函数 幂的运算性质
5、， ， ，其中 ， pqpaqpappab,0ab,pqR【备注】注意幂的运算次序， 是指 而不是 2n2n2n 指数函数：定义：函数 ，且 称指数函数；(0xya1)a指数函数的性质：定义域： ；值域： ；过定点： ； 时，增函数； 时，减函数R， (01)， a01a2、对数函数对数的概念定义：如果 ，且 ，那么数 称以 为底 的对数，记作 ，其中baN(01)abaNlogaNb称对数的底， 称真数常用对数， 记作 ；10logl自然对数： 记作 ，其中 为自然常数， enee2.718基本性质正数才有对数； 的对数是 ；底数的对数是 运算性质：如果 ，则010aMN， ， ，； ； l
6、og()llogaMNlloglaaalogl()naaMR换底公式： (1)lma，【备注】可配合下面的题目复习对数的运算性质已知 ，则 2340923loga18 第 2 讲教师版【解析】 ；3法一： ，所以 ；33322234499aa23loga32l法二： 22332233loglll此题有多种解法，此处只给出其中两种解答对数函数定义：函数 ，且 称对数函数，log(0ayx1)a对数函数的性质：定义域： ；值域： ；过定点： ； 时，增函数； 时，减函数(0)， R(0)，1a01a对数函数 与指数函数 ，且 互为反函数layxxy3、幂函数幂函数的定义形如 （ ）的函数需要掌握
7、时，幂函数的图象与性质；yxR1,23,幂函数的性质 所有的幂函数在 都有定义，且都过点 ；(0)， ()， 如果 ，则幂函数过原点，且在 上单调递增；0，如果 ，则幂函数在 上单调递减()，四、常见初等函数1、二次函数形如 （ ）的函数称为二次函数2fxabc0a【备注】对于二次函数，我们需要掌握二次函数图象的作法画二次函数图象时需要注意以下要素： 开口，由 决定；a 对称轴，由 决定；2bx 判别式，由 决定4c另外还需要注意一些特殊点，如与 轴的交点 ，与 轴的交点，等等y0,cx2、分式函数形如 的函数称为分式函数，其中 、 均为多项式函数若函数 与gxfhgxhgx均为一次函数，则称
8、 为一次分式函数；若函数 与 中至少有一个二次函数，hxfxgxh而另一个为一次函数或二次函数，则称 为二次分式函数fx【备注】对于分式函数，我们需要掌握 一次分式函数图象的作法（画渐近线后判断位置） ； 求定义域为 的二次分式函数值域的判别式法；R 定义域受限的二次函数值域的求法3、对勾函数形如 （ ）的函数称为对勾函数bfxa,0真题再现（2011 北京理）根据统计，一名工人组装第 件某产品所用的时间（单位：分钟）为x（ 为常数） ，已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 件cxAf， ， c， A产品用时 15 分钟，那么 和 的值分别是（ ）A75，25 B 75，16 C
9、60，25 D60，16【解析】 D；当 时 单减， 时 恒为常数，故 ， ，解得 ，x ()fxA ()fx304c15cA60c16A小题热身1、 下列函数中，与函数 相同的函数是（ ）yxA B C D2xy2lg10xy2logx2、 若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）f0,2fA B C D0,110,1,40,13、 若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）243xfmRmA B C D,0,430,44、 若实数 满足 ，则 的值为（ ）,xy2lglgxyxyxA B 或 C 或 D41411420 第 2 讲教师版5、 “ ”是“ ”的（ ）lgxyxyA
10、充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6、 若 ， ，则下列各式中一定成立的是（ ）101abA B C Dabxyxyxyabxyab7、 已知函数 的图象与函数 的图象关于 对称，则 的值为（ f21log1f）A B C D11128、 若函数 （ ， ）的定义域和值域都是 ，则 的值为（ logafx01a0,a）A B C D132229、 已知函数 ，且存在 、 （ ）使 在 上的值域为 ，fxkabfx,ab,ab则 的取值范围是（ ）kA B C D9,249,242,09,0410、 设 、 分别为方程 和 的根，则 的值为（ ）ab2log30x
11、3xabA B C D1 41 2 3 4 5 6 7 8 9 10C B D D A D D D B C2.1 函数的概念与定义域考点：函数的定义域【例 1】 函数 的定义域为 ；1lg213yxx 函数 的定义域为_ ；2lof 设 的定义域为 ，则 的定义域为_1fx,312fx【解析】 ； ； 2,33,1,5考点：函数的对应法则【例 2】 设函数 ，若 ， ，则 ；2log10axfb， 32f0fab 设函数 ，则不等式 的解集是 ；46fxx， ， 1fxf 已知函数 如果 ，则实数 等于 19faa【解析】 ； ； 23,4考点：函数的解析式【例 3】 若 ，则 ；12xffx
12、 已知 ，则 ；ff 已知 为二次函数，且 ， ，则函数 ；x132ffx 已知定义在 上的函数满足 ，则函数 _R2fxfx【解析】 ， 213fx, ， 2 4f ；3x【备注】求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、方程组法等用配凑法或换元法时，要注意函数的定义域；待定系数法在已知函数的形式时用【拓 1】 已知定义在 上的函数满足 ，则函数 R23fxfxfx【解析】 ；4fx考点：映射【拓 2】 （2010 海淀二模文 14）给定集合 ， 若 是 的映射，且满足：1,23,nAn NfnA任取 ，若 ，则 ；,ijij()fij任取 ，若 ，则有 nm 1,(2),()m
13、ffm则称映射 为 的一个“优映射”fn22 第 2 讲教师版例如：用表 1 表示的映射 ： 是一个“优映射”f3A表 1 表 2i1 2 3 i1 2 3 4()f2 3 1 ()f3 已知 ： 是一个“优映射”，请把表 2 补充完整（只需填出一个满足条件的映射） ；4A 若 ： 是“优映射”，且 ，则 的最大值为f201201(104)f(10)(7)ff_【解析】 i1 2 3 4 或 i1 2 3 4()f2 3 1 4 ()f2 3 4 1 02.2 基本初等函数考点：幂运算与对数运算【例 4】 设 ，且 ，则 ；25abm12abm ；3lg80lg6.60.12 3948loll
14、ol【解析】 ；10本小题考查幂与对数形式的互换 ；34本小题考查对数运算的性质 ；5本小题考查换底公式【拓 3】 已知 ， ，则 ；,0ab91216logllogabab 已知 ，则 2343xf842ffff【解析】 152 ；08考点：指、对、幂函数的性质【例 5】 下列四个数中最大的是（ ）A B C D2lnln2ln2ln2 若 ， ，则 的元素个数为（ ）|8xxZ |og1BxxRABRA0 B1 C2 D3 当 时，幂函数 为减函数，则实数 的值为（ ）,53my mA B C 或 D2mm12152 若 ， ， ，则 按照从小到大的顺序排列为（ ） 37a27b27c,a
15、bcA B C Dcabbac 若 ，则（ ）log3l0abA B C D0101ba1 若 ，则（ ）2A B C D2abab2log2logab【解析】 D； C； A； B； B； D ；考点：指数函数、对数函数的图象【例 6】 若 ， ， ， ，则（ ）1,2x12ax12logbx2lcxA B C Dabccaacbbca 下列 4 个命题11:023xxpx， ， 2:01px， ， 1123loglx3 12: logx， ， 4 13: l3， ，其中的真命题是（ ） B C D13p， 14p， 23p， 24p， 设 均为正数，且 ， ， 则（ ）,abc12loga
16、12logblogcA B C Dbcaba24 第 2 讲教师版【解析】 C ； D； A考点：二次函数的性质【例 7】 若函数 （常数 ）是偶函数，且其值域为 ，则2fxabxabR， ,4该函数的解析式 ； 二次函数 在区间 上有最小值 ，则实数 ；21f0,32a 若对任意 ，函数 恒正，则 的取值范围是 ；0,a2fxax 已知函数 在区间 上是减函数，且对任意的 ，25fx,12,1xa总有 ，则实数 的取值范围是_14f【解析】 ；2x ； ；1, ；23a 2.2 函数的值域【例 8】 求下列函数的值域： ；21fxx ； f【解析】 ； ； 0,2178， 2,【拓 4】 （
17、 ）的定义域为 ，点 ， 构成正方形，则实数2fxabxc0aD,sft,stD的值为 _【解析】 【例 9】 已知二次函数 满足 ，且 ， ， 在区间fx1fxf0f1ffx上的值域是 ，则 _， _ _；,mn,mnn 当 时，函数 的值域为 ；3,5x21xy 若函数 的值域是 ，则函数 的值域是 yfx,31Fxffx； 已知 ，则 的值域是 52 245xf【解析】 ；01， ；3,4 ；2, ；01【拓 5】 函数 的值域是_ _；241xf 函数 的值域是 ；2f 函数 ， 的值域是_ _41xf,3【解析】 ；,0, 43 ；1,2课后习题一、选择题1、 已知函数 则 （ ）3
18、log0()2xf， ， ， 19fA4 B C D14414【解析】 B；2、 （ ）552log10l.2A0 B1 C2 D4【解析】 C；3、 函数 在 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为（ ）log1xaf0, aA B C D4224【解析】 B26 第 2 讲教师版4、 设 ，则不等式 的解集为（ ）123e,log,xf 2fxA B C D1,20,10,1,3,1,2【解析】 A；5、 设 ， ， ，则（ ）13log2a12l3b0.3cA B C Dcabbcabac【解析】 B；二、填空题6、 若函数 的定义域和值域都是 ，则 的值为 log1afx0,1a【解析
19、】 27、 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 1,2x24xmm【解析】 ,5令 ，则 且 ，解得 24fm10f f 58、 给出封闭函数的定义：若对于定义域 内的任意一个自变量 ，都有函数值 ，D0x0fxD则称函数 在 上封闭若定义域 ，则下列函数中，在 上封闭的是 yfxD0,1 ； ； ； 31f21fxfx12yx【解析】 9、 设 ，若仅有一个常数 ，使得对于任意的 ，都有 满足方程ac,2a2,a，这时 的取值的集合为 loglxyca【解析】 2三、解答题10、 已知过原点 的一条直线与函数 的图象交于 、 两点，分别过点 、 作O8logyxABAB轴的平行线与函数
20、 的图象交于 、 两点y2logyxCD 证明：点 、 和原点 在同一条直线上；CD 当 平行于 轴时，求点 的坐标BxA【解析】 证明：设 、 的横坐标分别为 、 ，A1x2由题意知， ， ，则 、 的纵坐标分别为 、 ，12B81logx82l因为 、 在过点 的直线上，所以 ABO8182loglx点 、 坐标分别为 、 ，CD121,lx22,l容易证明 ，于是命题得证Ok 当 平行于 轴时， ，进而 B31283,logA11、 求函数 ， 的值域2xf0,【解析】 2,9412、 已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，求实数 、 的值281axby91ab【解析】 ， 5ab13、 已知函数 （ ， ） ，2fxbc,R0b 当 的定义域为 时，值域也是 ，求 的值0,1,1,c 当 时，函数 对于任意的 ， 恒成立，试求实数 的bfxg3x0gxc取值范围【解析】 ；2,1c 3
