1、第五章数量和数量之间的关系知识回顾一、复习目标1、能用字母表示运算律、公式和一些简单的实际问题,能体会用字母表示数的必要性和优越性,理解字母表示数的意义,逐步建立符号感.2、能够发现和分析简单问题中的数量关系,并能用代数式表示出来,能体会用数学反映实际问题中的数量关系的方法和意义.3、能解释一些简单代数式的实际背景或其几何意义，通过将实际问题中的数量关系用代数式表示，提高数学的应用意识。4、会求代数式的值，通过代数式求值，感受数学中的程序化和抽象性，增强对数学的应用意识。5、经历探索具体情境中两个数量之间的关系过程；能从图像、表格中分析两个数量之间的变化或趋势，对于实际问题，可以用图像、列表或
2、关系式来刻画数量之间的关系，培养观察能力和归纳概括能力。二、重难点提示本章的重点是代数式，包括列代数式和求代数式的值，难点是用代数式表示两个数量之间的关系。三、知识归纳1代数式就是用加、减、乘、除、乘方等运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式. 注意要将代数式与等式、不等式加以区分，不要将它们混为一谈。2列代数式时要弄清运算顺序和括号的作用.一般按先读的运算在前，后读的运算在后的原则，不同的层次可适当使用括号，先写括号内，再写括号外。3列代数式时，在书写格式中有几条特殊的规定：（1）数与字母相乘时，乘号通常简写作“”或者省略不写，并且把数字写在字母的前面，但
3、数字与数字相乘时，仍要用“”号；（2）字母与字母，数或字母与括号相乘时，乘号通常省略不写，相同字母的积一般写成幂的形式；（3）带分数与字母相乘时，必须把带分数化成假分数；（4）如是除法算式，要写成分数的形式；（5）式子后面有单位时，要注意结果若是和的形式，式子应加上括号。4用代数式表示实际问题中的数量关系，首先要认真审题，弄清问题中各数量之间的关系和运算顺序，即必须把实际情景中的数量关系分析清楚，然后按代数式书写格式的规定规范的书写。5在解决具体问题时，往往需要用数值代替代数式里的字母，求出代数式的值。求代数式值的方法一般是：首先是代入，其次是计算。注意在代入时，只将相应的字母变成数值，其他性
4、质符号和运算符号都不变。在代数式中原来省略的乘号，代入数后要还原成乘号。6两个数量之间的关系的表示方法主要有图象法、列表法和列关系式法. 图象法形象直观，通过图象可以直接、形象的表示出函数关系，便于研究函数的有关性质，但由图象观察只能得到近似的数量关系。列表法一目了然，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出两个变量之间的对应规律。列关系式法简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来。四、思想方法总结1用字母表示数的思想方法从确定的数到用字母
5、表示数是数学发展史上的一次重要飞跃。用字母表示数是数学这一学科的重要特征，研究数学问题离不开用字母表示数。用字母表示数具有简明、普遍的优越性，例如，写出 12并不能说明“任意两数相加，交换加数的位置，和不变”这一规律，但如果用字母表示数写出 ab就可简明表示出加法的交换律。2 “从特殊到一般”的思想方法从几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律和性质，是数学中经常使用的思想方法，用代数式表示规律就经常运用“从特殊到一般”的思想方法。3整体思想整体思想就是在考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意力放在问题的整体结构上，从整体上认识问题，把一些彼此独立但实质上又紧密
6、联系着的量作为整体来处理的思想方法，本章中的整体思想方法常用来用于求代数式的值。五、复习要点提示1代数式中字母的取值，要根据具体问题确定其范围，其前提条件是必须保证代数式或实际问题有意义。2根据实际问题中的数量关系列代数式，其实质是将文字语言转化为数学符号语言。列代数式时，一定要抓住题目中的关键词语，各数量关系的运算顺序，以免出错。为此应特别注意：（1）要将实际问题中表示数量关系的词语，正确转换为对应的运算，如“和” 、“差” 、 “积” 、 “商” 、 “大” 、 “小” 、 “多” 、 “少 ”、 “增加到” 、 “增加” 、 “减少” 、 “减少到” 、“几倍” 、 “几分之几”等都是常
7、用的表示数量关系的词语，要掌握好它们和运算之间的关系；（2）为了帮助把实际情境中的数量关系分析清楚，常利用列表和画线段图，同时还要抓住基本的数量关系（如商品打折、利率等） ，提高用字母表示数的意识。3通过代数式的求值，应感受数学中的程序化和抽象性.六、典型例题析解例 1 “a与 b的平方的差”用代数式可表示为（ ）A. 2() B. 2ab C. 2ab D. 2ab析解：本题考查的是代数式的意义，语言叙述中大都会出现“的”和“与”这两个字，往往是一个“的”字代表一个层次，而“与”字则又将前后两个层次连成一个新层次，所以“a与 b的平方的差”用代数式可表示为 2ab，故选 C.例 2如图是某年
8、 6 月份的日历，现有一矩形在日历任意框出 4 个数 dcba，请用一个等式表示 a、 b、 c、 d 之间的关系：_析解：此题的背景源于生活中常见的日历，着重考查了同学们的观察、推理、归纳能力。只要认真观察不难发现，其任意框出的 4 个数，对角线两数之和均相等，所以 a、 b、 c、 d之间的关系是： adbc。例 3已知 =5，求代数式 )(415)(0ba的值.析解:若把 ba看作一个整体，则 = ，所以原式= ()15()104abab105+ 415 = 30. 例 4请先观察下列算式，再填空： 832， 2852（1） 2578 ；（2） 29（ ） 284；（3） （ ） 9 8
9、5；（4） 13（ ） 8 ；通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： 。析解：类比各式可得：（1） 25783；（2） 29 784；（3） 985；（4） 13 286通过观察可发现，等式左边是相邻两个奇数的平方差，右边是 8 与一个数的积。等式两边数的变化与序号之间的关系，即第一式为：3 2-12=81，第二式为：5 2-32=82等式右边与 8 相乘的数恰为序号数，所以第 n 个式子为 8n，即 8n.再看左边，第一式的减数为12，第二式的减数为 32底数与序号的关系正好是 2n 一 1(n1)，那么被减数的底数就是2n-l+2=2n+1(n1).所以，第 n 个式子就是(2n+1)
10、 2-(2n-1)28n.例 5如图：表示某市 2006 年 6 月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题：（1）这天的最高气温是 度；（2）这天共有 小时的气温在 31 度以上；（3）这天在 （时间）范围内温度在上升；（4）请你预测一下，次日凌晨 1 点的气温是多少度？答： 。析解：这是一道图像信息题，解题的关键是通过仔细观察，从图像中提取有用的信息。通过观察可以发现：（1）这天的最高气温是 37 度；（2）这天共有 9 个小时的气温在31 度以上；（3）这天在 3 点 :15 点范围内温度在上升；（4）可以预测，次日凌晨 1 点的气温大约是 23 度 :26 度。例 6.
11、 某商店售货时，在进价的基础上加一定利润。其数量 x与售价 y如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价 y与数量 x的关系式，并求出当数量是 2.5 千克时的售价是多少元？数量（千克） 售价 （元）1 8+0.42 16+0.83 24+1.24 32+1.65 40+2.0析解：从表格上看，售价 y这一列中的数是两部分的和， “”号前面的部分是 8x，“”号后面的部分是 0.4x，所以售价 与数量 x的关系式为 80.4.yx，当x25.时， y8251（元） ，即当数量是 2.5 千克时的售价是 21 元。例 7观察下面的图形（每个正方形的边长均为 1）和相应等式，控究其中的规律： 1 32 4 5写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式。析解：本题是一道数学等式与图形相结合的探索型试题，解决本题的关键是要理解每个图形所表示的意义，从、算式及所对应的图形上很容易写出第五个式子，并根据左边的式子画出相应的图形，进而总结出一般的规律。 65 1nn
