1、18.1 勾股定理教学实录同学们,你们玩过拼图没有?好不好玩呢?你觉得它能对我们有哪方面的锻炼或者训练呢?Who can answer this question? Put up your hands! IQ 智商。逻辑思维。几何。识图能力。动手能力。动手操作能力，对我们的思维训练，还有你摆出的图形好看不好看，漂亮不漂亮，是不是还有一个审美观的问题？现在，我们就来玩一个拼图游戏，拿到这个图大家先看这副图的组成，这有哪些图形？四个三角形,一个正方形。四个什么三角形？直角三角形四个直角三角形，一个正方形。大家再看一下这些边之间有什么关系？相等，哪个相等？哎，就是说直角三角形的斜边长正好等于正方形的
2、边长。好，现在大家动手来拼。拼完以后把你们的作品粘贴到黑板上。粘完的同学大家看一下其他组的，同学看看这几副图哪副图最具有创意性。欣赏一下！现在大家看一下这一组图形，哪副图形最具有创意性？你认为哪个最漂亮。你为什么觉得它最漂亮？视觉上觉得它好。视觉感觉，还有其他意见吗？还有你还认为哪副图比较感觉上好？第一排第六个。第一排第六个，你认为它像什么？它像小船。好，不错。是怎么样放置的一个小船？好，不错。大家都具有创意性！我特别注意到了这副图，我在一个会上见过。这是 2002 年 8 月 20 号到 28 号在北京举行的数学家大会的一个会标，大家看一下会标的主体图案和我们同学们拼出来的一样不一样？我想如
3、果这个大会要是征收会标的话，我想你们一定能中标。同时我还注意到这几副图，它都比较规则，有对称的美。现在大家把这副图画出来，记住刚才的那些边长，把它画下来。画出来之后标出那些边长，根据刚才你对图形的记忆。好，大部分同学都画出来了。根据你刚才的拼图过程中的对这几副图的长度记忆，并把它标出来。好，停下来基本上大部分同学画完了。 画完之后，大家再根据我所给的第二副拼图，大家再来拼一副图。规则还和刚才的一样。先认识图形，这次这几副图形是由什么组成的？是由什么图形组成的？几个正方形？两个正方形。几个直角三角形？四个。大家开始来拼。这次有了上次的经验，应该知道怎样组合。现在大家一块来欣赏这几副图里面哪一副图
4、你感觉最好？说出它的道理。你认为是第几副？第四副。 第四副，为什么？漂亮。漂亮，它像什么？风车。哦，风车。很形象。还有呢？第二行第二个。第二行第二个，说一下你的理由。像老太婆。像老太婆。还有呢？他的想象力还是满丰富的！能把这副图想象成人老以后的形态。还是不错。还有呢，还有哪副图？第一行第二个。第一行第二个。它像一个人。像一个人体，不错。这个确实不错。第二行第三个。像单腿站立。单腿站立，在像做一个舞蹈动作。其实大家只要发挥你的想象，那就可以拼出各种各样的图形。在这几副图里，我还是比较关注这副图，它还是比较规则。请大家把这副图画在本上。画图的过程中，大家想一想这副图和刚才大家画的那副图之间有什么样
5、的数学关系？画出来以后同学们对比一下这两副图形之间蕴涵着什么样的数学关系？观察一下。小组讨论。有没有一些相等的量呢？ 大家边画边思考。大家画完了，小组讨论一下，整个这两副图形之间有什么关系?边长一样。边长一样，同学说边长一样，什么边长一样？拼成的图形边长一样。拼成的两副图形，两副图形都什么形状？正方形。正方形的边长都一样。边长相等，边长相等你可以得到什么？面积相等。面积也相等。他看出边长相等，从而这两个正方形的面积也相等，这两个正方形面积可以分别表示成什么？大家在下面表示一下，根据这个图形。这两个面积是相等的，那么左边这个正方形可以表示成什么？用代数式来表示。（a+b） 2不错，右边这个正方形
6、的面积呢？怎么样？也是（a+b） 2。S1=S2(a+b)2=(a+b)2也是（a+b） 2，这是从整体来看，那从它的组成部分来看能不能把这个图形分解开？试试看。Try it again!让这位同学写出来，左边这个是什么，右边那个又是什么。可以表示成什么样子。大家看一下他表达的对不对。左边的这个正方形面积等于四个三角形的面积再加上正方形的面积，右面这个正方形的面积呢？你来解释一下。a 的平方是小正方形的面积，b 的平方是绿正方形的面积。4 个 1/2ab 是？4 个三角形面积。你能从这个式子 1/2ab4+c2=a2+b2+1/2ab4. 经过化简可以得到什么式子？得到 c2=a2+b2。你得
7、到一个 a2+b2= c2，大家看从这个式子能不能得到？大家看一下 a,b,c 分别是什么？是直角三角形的三条边的边长。做到这，我们得到了一个非常重要的公式，就是直角三角形三条边长之间的关系，就是说两条直角边的平方和等于斜边的平方。这是大家从计算角度得出来的，那么从图形上大家能不能给我解释一下？在前面我们已经得出，两个正方面积相等，既然这 4 个直角三角形面积都相等，那么我们就可以得出这个蓝色正方形的面积就等于这两个正方形（黄，绿）面积之和。因为这两个正方形的面积是相等的，四个三角形的面积是相等的，原来那两个正方形的面积都相等，同时都剪去四个全等的三角形，剩下的面积是相等的。于是我们就可以看到
8、到蓝色正方形的面积等于黄，绿两个正方形的面积大家还能从这三个正方形的形状上再拼成一个什么图形？还可以怎样操作？因为蓝色正方形的边长正好等于直角三角形的斜边，就可以把这个正方形移过来。喔，好厉害，大家说对不对？因为正方形的边长 c 是不是正好是这个直角三角形的斜边，那么这样的话，如果把蓝色正方形挪到这个地方，那么这三个正方形的边正好组成一个直角三角形，而且它的三个边长分别是 a,b,c.刚才已经从图形的角度得出 a2+b2=c2,也就是直角三角形的这个性质。这也就是我们今天要讲的“勾股定理”。勾股定理指的是什么呢？对于任意一个直角三角形来说，如果它的两条直角边长为 a,和 b，斜边长是 c，那么
9、这个直角三角形三条边一定会有这个关系，两条直角边的平方的和等于斜边的平方。为什么叫做勾股定理？是为了纪念我国周朝数学家商高，商高当时发现这个定理。他当时把最短的这条边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。这就是为了纪念我们的科学家，数学家。勾股定理在西方也有证明出来的，他就是毕达哥拉斯学派。有兴趣的同学可以下去观看一下这方面的资料。现在，我们停下来想一想我们整个课的过程，我们是怎样得出这个结论的？我们通过拼图、观察、抽象（图形）、概括（勾股定理）。实际上这也是科学家，数学家他在发现某一个定理或者是真理的时候进行的步骤。所以说大家的思维和数学家的思维还是满一致的。所以呢，我相信在我们不久的将来
10、我们这同学里边一定也会有某位科学家，数学家。到目前为止勾股定理的证明已经有上百种，现在老师演示几种。如果我要证明勾股定理的三条边之间的关系的话，我在直角三角形三边上分别作一个正方形，如果我能证明大正方形面积正好等于两个小正方形面积，是不是就可以了？就能说明勾股定理了。这是数学家的一个思路。把红色以斜边做的正方形分割成两个矩形，小矩形也就是长方形的面积是不是等于这个这个长方形面积？再看这个矩形面积是不是等于这个平行四边形面积？why?同底等高。它的高是哪一段呢？是两条平行相间的距离。继续看。那么它前面一直是相等的，那这个平行四边形面积是不是等于这个平行四边形的面积？是不是？什么道理？还是同底等高
11、。还是同底等高，大家再看。我们分出来的那块正好等于这个小的正方形的面积。我们下面再看一下剩余的这半块矩形是不是正好等于那个正方形的面积。面积相等吗？那是不是说明了如果我以直角边和斜边分别作三个正方形，那么以它们两条直角边上作的正方形面积和正好等于以斜边长作的正方形的面积。大家再看一遍，我把它翻过来，回到原始位置上。这是一种证法，还有一种方法是数学家从这个图形上得到的一种启发。既然从面积的角度能证，那么他就想什么地方会需要面积？在什么公式里会出现面积？面积公式。面积公式里当然出现面积了。体积公式。体积公式里头会出现面积。数学家想到如果我以这三个面为基础，分别做厚度相同的三个长方体。如果能证明体积
12、之间也有这关系的话，因为它们的厚度相同就相当于底面积乘以高。高就相当于这个厚度，最后也可以得出勾股定理。以最小的直角边做一个长方体，以较长的直角边也做一个长方体，以斜边的面也做一个，而且这三个长方体之间的边长正好构成一个直角三角形，如果证明两个小的体积的和正好等于大的体积的话，那么我也证明了勾股定理。大家想一下就勾股定理它有哪些用途？可以帮我们解决一些什么样的问题？可以求边长。谁的边长？可以求弦的边长。求谁的边长呢？弦的边长，或股的边长，还有勾的边长。实际上就是说勾股定理可以帮助我们计算直角三角形的边长。大家请看课堂练习：1.计算下列直角三角形中未知边的长度：第一副图是通过这两条直角边就可以求出斜边的长。第二副图形求什么？直角边还是斜边？直角边。我们来回想一下这节课主要学习了什么？勾股定理。其实你们的思维基本上是和我们的数学家的思维是满一致的。大家经过拼图，又经过观察，最后经过抽象概括出来的定理，不要忘了。勾股定理讲的是什么呢？两条直角边的平方和等于斜边的平方。两条直角边的平方和等于斜边的平方。具体的应用我们下节课再讲。Class is over!学优中+考，网
