1、第十七章 特殊三角形1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理和判定定理 .2.探索并掌握直角三角形的性质定理,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形 .3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题 .4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 .5.会利用基本作图 方法作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形 .6.通 过实 例体会反 证法的含义 .1.经历 由情境引出问题,探索、掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力 .2
2、.在教学过程中提供充足的 时间和空间,让学生经历观察、操作、 实验、猜想、验证等活动过程,培养学生尝试探究的意识和能力 .1.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国及祖国悠久文化的思想感情 .2.使学生从数学的角度思考问题,培养学生积极的学习态度,树立学习的信心,提高学生的学习兴趣 .本章知识既是三角形内容的深化和拓展,又是进一步研究特殊四边形的重要工具 .同时,等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及其逆定理不仅是数形结合思想的完美体现,更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具 .因此,本章起着承上启下的桥梁作用 .(1
3、)等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质和判定,主要通过观察与思考、操作与归纳等方法去探索和发现结论,再通过演绎推理证明结论,最后举例证明,实现在发展学生合情推理能力的基础上,把证明作为探索活动的自然延续 .较好体现了合情推理与演绎推理两种推理形式的相辅相成,实现了两种推理的有机融合 .(2)对于勾股定理的获得,设计了观察、计算、思考、归纳、猜想等探究活动,将验证猜想的过程设计为“试着做做” 和“做一做”等学生自主活 动,让学生体验勾股定理发现的全 过程,发展学生的推理能力和创新意识;对于勾股定理的逆定理,通过让学生先操作(画直角三角形), 再证明 (利用全等)的方式来获得 .(3)在本章的
4、尺规作图中,都增加了分析环节,使学生不仅要知道作图的步骤,而且还要了解作图的道理 .(4)在反证法一节中,除介绍反证法及证明命题的一般步骤外,还运用反证法对平行线的性质定理进行了证明,体现了本套教材在内容上的完整性 .同时对直角三角形全等的“斜边、直角边” 定理也用反证法给出了证明,使学生从中体会反证法的价值 .【重点】1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定 .2.直角三角形的性质和判定 .3.勾股定理、逆定理及其 简单应用 .4.反 证法及其 简单应 用 .【难点】1.等腰三角形、等边三角形的性质及其应用 .2.勾股定理及其逆定理的应用 .1.关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学,应引
5、导学生在独立思考和合作交流的前提下,进行观察与思考、操作与探究等活动并 获得猜想,进而一起完成对猜想的 证明,落实对合情推理和演绎推理的自然结合,实现提升学生推理意识和推理能力的目的 .2.对 于勾股定理的教学,教师要提供充足的时间和空间,让学生观察、猜想、推理,使定理的发现成为学生认识活动的自然结果 .3.对 于证 明格式、方法和步 骤,要让学生在亲身经历、体验的过程中去逐步理解和掌握 ,此过程切忌急于求成,更不要以教师的讲解代替学生的活动,要给学生充足的时间和空间去探索、实践和总结 .4.提倡思维多样化 ,注重培养学生清晰表达自己思维过程的能力,对学生出现的多种思路和方法,应给予充分肯定并
6、在全班展示,使学生的求异思维和创新意识能得到及时的表现 .17.1 等腰三角形 2 课时17.2 直角三角形 1 课时17.3 勾股定理 3 课时17.4 直角三角形全等的判定 1 课时17.5 反证法 1 课时回顾与思考 1 课时17.1 等腰三角形1.了解等腰三角形、等 边三角形的定义,掌握等腰三角形及等边三角形的性质 .2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法 .1.通 过动 手操作及等腰三角形、等边三角形的对称变换掌握其性质和特征 .2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法,能利用性质和判定方法解决问题 .1.体会等腰三角形和等边三角形的对称美 .2.体会数学在现实 生活中的广泛应用,
7、认识数学无处不在,提高学生学习数学的兴趣 .【重点】 等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法 .【难点】 等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法的应用 .第 课时在动手操作的过程中,理解等腰三角形、等 边三角形的性质定理 .1.让 学生通 过动手操作 ,经历等腰三角形性质的探索过程,培养学生的动手、归纳、概括的能力 .2.培养学生的猜想能力,让学生经过推理证明得到等腰三角形、等边三角形的性质定理 .培养学生的逻辑思维能力,让学生树立良好的学习观,增强学生认真学习的态度 .【重点】 等腰三角形、等 边三角形的性 质定理 .【难点】 等腰三角形、等 边三角形的性 质定理的推理和证明 .【教师准备】
8、 多媒体课件、各种形状的图形、剪刀 .【学生准备】 长方形纸、剪刀 .导入一:教师预先做出各种几何图形,包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等边三角形、等腰三角形等 . 让同学们抢答哪些是轴对称图形,提问什么是轴对称图形,什么样的三角形才是轴对称图形 .引入今天所要讲的课题等腰三角形、等边三角形的性质定理 .我们知道,有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形 .设计意图 通过辨别,让学生发现等腰三角形是轴对称图形,从而引出可以利用 轴对称的性质来确定等腰三角形 .导入二:在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平
9、面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案 .这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形 .思考:三角形是轴对称图形吗?有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是 .问题:什么样的三角形是轴对称图形?满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后,两部分能够完全重合的就是轴对称图形 .这节课我们就来认识一种是轴对称图形的三角形等腰三角形 .设计意图 从三角形的角度,让学生通过思考,了解等腰三角形是轴对 称图形,从而自然地引入到本节课的学习之中,激发了学生的学习兴趣和求知欲望 .导入三:1.出示一组含有等腰三角形的生活图片,让学生感
10、知图片主要部分形状的共同点 .2.出示自制的测平 仪,告诉学生含 45角的三角板顶点固定一条拴着重物的绳子,标出底边中点标志,它就变成了测平仪 .激起学生的好奇心,从而引入课题 .设计意图 活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进 入学习 .过渡语 刚才我们知道等腰三角形是轴对称图形,那么它有哪些性 质呢? 现在我们就共同来研究它 .探究一:等腰三角形的性质定理思路一【活动 1】【课件 1】 如图所示 ,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的 ABC 有什么特点? 【学生活动】 学生动手操作,观察 ABC 的特点,可以发现 AB=AC.【教师活动】 让学生回
11、顾等腰三角形的概念:有两边相等的三角形叫做等腰三角形 .在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角 . 如图所示,在 ABC 中,若 AB=AC,则 ABC 是等腰三角形, AB,AC 是腰, BC 是底边, A 是顶角, B 和C 是底角 . 【活动 2】【课件 2】 观察与思考 :如上图所示, ABC 是等腰三角形,其中 AB=AC.(1)我们知道线段 BC 为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由 AB=AC,可知点 A 在线段 BC 的中垂线上 .据此,你认为 ABC 是轴对称图形吗? 如果是,对称轴是哪条直线?(2)B 和 C 有怎样的关
12、系?(3)底边 BC 上的高、中线及 A 的平分线有怎样的关系?【学生活动】 学生经过观察,然后小组讨论交流,从中总结等腰三角形的性质 .【教师活动】 引导学生归纳:性质 1 等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”) .知识拓展 等腰三角形的“ 等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法 .性质 2 等腰三角形的 顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高重合 (简称“三线合一”) .【活动 3】 你能用所学知 识验证上述性质吗?【课件 3】 如图所示 ,在 ABC 中, AB=AC.求证 B=C. 【学生活动】 学生在独立思考的基础上进行讨论,寻找解决问题的办法,若证 B
13、=C,根据全等三角形的知识可以知道只需要证明这两个角所在的三角形全等即可 .于是可以作辅助线构造两个三角形,作 BC 边上的中线 AD,证明 ABD 和 ACD 全等即可,根据条件利用“边边边” 可以证明 .【教师活动】 让学生充分讨论,根据所学的数学知识,利用逻辑推理的方式进行证明,证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性 . 证明:作 BC 边上的中线 AD,如图所示,则 BD=CD, 在 ABD 和 ACD 中, =,=,=,所以 ABDACD(SSS),所以 B=C.这样,就证明了性质 1.类比性质 1 的证明你能 证明性质 2 吗?由 ABDACD,还可得出 BAD=CAD,ADB=A
14、DC=90.从而 ADBC,这也就证明了等腰三角形 ABC 底边上的中线平分顶角 A 并垂直于底边 BC.添加辅助线的方法多样,让学生再去讨论、交流,即用类似的方法可以证明性质 2.说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分 线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴 .知识拓展 等腰三角形还有以下性质:(1 )等腰三角形两腰上的中线 、高 线相等;(2)等腰三角形两个底角平分线相等;(3 )等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 .设计意图 通过折叠等腰三角形让学生观察,在动手操作中掌握等腰三角形的性
15、 质,概括出性质,并引导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程,加深了对知识的理解和掌握 .思路二要求学生通过自己的思考来作一个等腰三角形 .【课件 4】 作一条直 线 l,在 l 上取点 A,在 l 外取点 B,作出点 B 关于直线 l 的对称点 C,连接 AB,BC,CA.以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为 . 小结:【课件 5】 填出等腰三角形各部分名称 .归纳:等腰三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形 .在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角 .同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、 顶角和底角
16、.【课件 6】问题 1:等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴 .问题 2:通 过折叠或 测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系?问题 3:顶 角的平分 线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?问题 4:底 边上的中 线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?1.学生通过刚才自主探究 ,大胆猜想以上问题的结果 .2.教 师用几何画板直观演示并引导学生观察等腰三角形的性质 .(对称性,等边对等角,三线合一 .)小结:等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角 (简称“ ”); (2)等腰三角形的 , 、 重合( 简称“三线合一”) . 3.你能 证 明以上性 质吗?问题:(1
17、)性质 1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么?(2)怎样用数学符号表示条件和结论?已知:在 ABC 中, AB=AC.求证: B=C;请以“ 顶角的平分线” 为辅助线,证明以上性 质 .(A 组同学完成以下填空, B 组同学独立证明 .)教师巡视辅导点评 .【课件 6】 证明:如 图所示,作 BAC 的平分线 AD, = , 在 ABD 与 ACD 中,ABDACD( ), B= . = (已知 ), = ,=(公共 边 ),4.受上述启发,能证 明性质 2 吗?即证明 BAC 的平分线 AD 是 ABC 底边上的中线和高 .证明:由 ABDACD 知 BD= ,BAD= ,A
18、DB= , ADB+ADC= , ADB=ADC= . 因此 BAC 的平分线 AD 也是 ABC 底边 BC 上的中线和高 .5.提 问:作底 边上的高 ,又如何证明?( 让同学讲证明思路 .)设计意图 通过作等腰三角形让学生感知其重点,通过几何画板让 学生对照图形思考等腰三角形的性质,同时掌握对性质的证明方法,培养学生的学习能力 .探究二:等边三角形的性质定理过渡语 我们知道三边都相等的三角形是等边三角形 .等边三角形是特殊的等腰三角形 ,它有哪些性质呢?每位同学画一个等边三角形,并用量角器量一量每个内角的度数 .结论:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于 60.【课件 7】 已知
19、:如 图所示,在 ABC 中, AB=BC=AC. 求证: A=B=C=60.指导学生利用等腰三角形的性质进行证明 .证明:在 ABC 中,由 AB=AC,得 B=C.由 AC=BC,得 A=B.所以 A=B=C.由三角形内角和定理可得 A=B=C=60.知识拓展 等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性 质外,等边三角形还具有自己特有的性质:(1 )等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等 ,都可以作为底边);(2) 作等边三角形各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条 .设计意图 让学生通过测量、证明 ,发现等边三角形的性质,掌握等腰三角形和等边三角形的关系 .探究三:例
20、题讲解【课件 8】已知:如图所示,在 ABC 中, AB=AC,BD,CE 分别为 ABC,ACB 的平分线 . 求证: BD=CE.解析 根据角平分线定义得到 ABD= ABC,ACE= ACB,再根据等边对等角得到 ABC=ACB,12 12从而得到 ABD=ACE,然后通过 ASA 证得 ABDACE,就可以得到 BD=CE.教师巡回指导,在学生完成后,指名口述解答过程 .【课件 9】(补充例题)如图所示,在 ABC 中, AB=AC,点 D 在 AC 上,且 BD=BC=AD,求 ABC 中各角的度数 . 解析 根据等 边对等角的性质,我们可以得到 A=ABD,ABC=C=BDC,再由
21、 BDC=A+ABD,就可得到 ABC=C=BDC=2A.再由三角形内角和为 180,就可求出 ABC 的三个角的度数 .如果设 A 为x,那么 ABC,C 都可以用 x 来表示,这样过程就更简捷了 .解:因为 AB=AC,BD=BC=AD,所以 ABC=C=BDC,A=ABD.设 A=x,则 BDC=A+ABD=2x,从而 ABC=C=BDC=2x.在 ABC 中,A+ABC+C=x+2x+2x=180,解得 x=36.所以 A=36,ABC=C=72.设计意图 通过对例题的讲解、分析 ,引导学生应用等腰三角形的性质,让学生掌握解题思路和方法,提高学生对等腰三角形性质的应用能力 .1.等腰三
22、角形的性质 1等腰三角形的两个底角相等(简称 “等边对等角”) .注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用 .2.等腰三角形的性质 2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底 边上的高重合( 简称“三 线合一”) .说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴 .3.等 边三角形的性质等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于 60.1.若等腰三角形的顶角为 40,则它的底角度数 为 ( )A.40 B.50 C.60 D.70解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是 40,所以其底角为 =70.故选 D.180-4022.一个等腰三角形的
23、两边长分别是 3 和 7,则它的周长为 ( )A.17 B.15 C.13 D.13 或 17解析:当等腰三角形的腰为 3,底边为 7 时,3+37,不能构成三角形;当等腰三角形的腰为 7,底边为3 时 ,周长为 3+7+7=17.故这个等腰三角形的周 长是 17.故选 A.3.如 图所示 ,AD 是等边三角形 ABC 的中线, AE=AD,则 EDC 等于 ( ) A.30 B.20 C.25 D.15解析: ABC 是等边三角形, AB=AC,BAC=C=60,AD 是 ABC 的中线, DAC= BAC=30,12ADBC,ADC=90,AE=AD,ADE=AED= =75,EDC=AD
24、C-ADE=90-180- 2 =180-30275=15.故选 D.4.如 图所示 ,lm,等边三角形 ABC 的顶点 B 在直线 m 上,边 BC 与直 线 m 所成的锐角为 20,则 的度数为 ( ) A.60 B.45 C.40 D.30解析:如图所示,过 C 作 CE直线 m,lm,lmCE,ACE=,BCE=CBF=20,ABC 是等边三角形, ACB=60,+CBF=ACB=60,=40.故选 C.5.如 图所示 ,在 ABC 中, AB=AC,ADBC 于点 D,若 AB=6,CD=4,则 ABC 的周长是 . 解析:在 ABC 中, AB=AC,ABC 是等腰三角形,又 AD
25、BC 于点D,BD=CD.AB=6,CD=4,ABC 的周长=6+4+4+6=20 .故填 20.6.如 图所示 ,在 ABC 中, A=70,AB=AC,CD 平分 ACB.求 ADC 的度数 . 解析:由 AB=AC 及顶角 A 的度数 ,利用等边对等角得到两底角相等,再利用三角形内角和定理求出底角的度数,再由 CD 为底角的平分线 ,求出 DCB 的度数,由 ADC 为 三角形 BCD 的外角,利用外角性质即可求出 ADC 的度数 .解:在 ABC 中, A=70,AB=AC,B=ACB= =55,180-702又 CD 平分 ACB,DCB=ACD=27.5,ADC 为 BCD 的外角
26、,ADC=B+DCB=82.5.7.如 图所示 ,等边三角形 ABC 中, D 为 AC 边的中点,过 C 作 CEAB,且 AECE,那么 CAE=ABD 吗?请说明理由 . 解析:根据 ABC 为等边三角形, D 为 AC 边上的中点得到 AC=BA,BAC=BCA=60,BDAC,求出BDA=90,由 CEAB 得 ACE=BAD,利用三角形内角和定理得出 CAE=ABD.解: CAE=ABD,理由如下:ABC 为等边三角形, D 为 AC 边上的中点,AC=BA,BAC=BCA=60,BDAC,BDA=90,AECE,AEC=BDA=90,又 CEAB,ACE=BAD,180-90-A
27、CE=180-90-BAD,CAE=ABD.第 1 课时探究一:等腰三角形的性质探究二:等边三角形的性质探究三:例题讲解例 1例 2一、教材作业【必做题】1.教材第 142 页练习 第 1,2,3 题 .2.教材第 143 页习题 A 组第 1,2,3 题 .【选做题】教材第 143 页习题 B 组第 1,2 题 .二、课后作业【基础巩固】1.如 图所示 ,在 ABC 中, AB=AC,A=30,以 B 为圆心, BC 的长为半径圆弧,交 AC 于点 D,连接 BD,则 ABD等于 ( ) A.30 B.45 C.60 D.902.如 图所示 ,在 ABC 中,点 D 在 BC 上, AB=A
28、D=DC,B=80,则 C 的度数为 ( ) A.30 B.40C.45 D.603.已知等腰三角形 ABC 的周长为 13,且各边长均为整数,那么这样的等腰三角形 ABC 有 ( )A.5 个 B.4 个C.3 个 D.2 个4.如 图所示 ,在 ABC 中, AB=AC,且 D 为 BC 上一点, CD=AD,AB=BD,则 B 的度数为( ) A.30 B.36 C.40 D.455.如 图所示 ,ABC 是一房屋人字架,其中 AB=AC,为使人字架更加坚固,房主要求在顶点 A 和横梁 BC 之间加根柱子 AD,可木工却不知将 D 点钉在 BC 何处才能使 ADBC,请 同学们帮帮他,并
29、说明理由 . 【能力提升】6.如 图所示 ,ABC 是等边三角形, E 是 AC 上一点, D 是 BC 延长线上一点,连接 BE,DE,若 ABE=40,BE=DE,求 CED 的度数 . 7.如 图所示 ,在 ABC 中, AB=AC,D 为 BC 边上一 D 点, B=30,DAB=45. (1)求 DAC 的度数;(2)求证 DC=AB.【拓展探究】8.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为 9 cm 和 15 cm 两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长 .9.已知等边三角形 ABC 和点 P,设点 A 到 BC 的距离为 h,点 P 到 ABC 的三边 AB,AC,BC 的距
30、离分别为h1,h2,h3, (1)如图(1)所示,若点 P 在边 BC 上 ,求证 h1+h2=h.(2)如图(2)所示,当点 P 在 ABC 内 时,猜想 h1,h2,h3 和 h 有什么关系?并证明你的结论 .(3)如图(3)所示,当点 P 在 ABC 外 时, h1,h2,h3 和 h 有什么关系?【答案与解析】1.B(解析 :AB=AC,A=30,ABC=ACB= (180-A)= (180-30)=75,以 B 为圆心, BC 的长为半径圆12 12弧,交 AC 于点 D,BC=BD,CBD=180-2ACB=180-275=30,ABD=ABC-CBD=75-30=45.)2.B(
31、解析 :ABD 中, AB=AD,B=80,B=ADB=80,ADC=180-ADB=100,AD=CD,C=40.)180- 2 =180-10023.C(解析:周长为 13,边长为整数的等腰三角形的边长只能为:3,5 ,5;或 4,4,5;或 6,6,1.共 3 个 .)4.B(解析 :AB=AC,B=C,AB=BD,BAD=BDA,CD=AD,C=CAD,BAD+CAD+B+C=180,5B=180,B=36.)5.解 :木工将 D 点 钉在 BC 中点处能使 ADBC,理由如下: AB=AC,BD=DC,ADBC.6.解 :ABC 是等边三角形, ABC=ACB=60,ABE=40,E
32、BC=ABC-ABE=60-40=20,BE=DE,D=EBC=20,CED=ACB-D=40.7.(1)解: AB=AC,B=C=30,C+BAC+B=180,BAC=180-30-30=120,DAB=45,DAC=BAC-DAB=120-45=75. (2)证明: DAB=45,ADC=B+DAB=75,DAC=ADC,DC=AC,AB=AC,DC=AB.8.解 :设等腰三角形的腰长为 x,如图所示, ABC 是等腰三角形, AB=AC,由 BD 是 AC 边上的中线,有AB+AD=9 或 AB+AD=15,分下面两种情况:(1) x+ x=9,x=6,三角形的周 长为 9+15=24(
33、cm),三边长分别12为 6,6,12,6+6=12,不符合三角形的三边关系,舍去; (2)x+ x=15,x=10.三角形的周长为 24 cm,三边长分别为 10,10,4.综上可知这个等腰三角形的底边长为124 cm,腰长为 10 cm.9.(1)证明 :如图( 1)所示,连接 AP,则 SABC=SABP+SAPC, BCAM= ABPD+ ACPF,即12 12 12BCh= ABh1+ ACh2.又 ABC 是等边三角形, BC=AB=AC,h=h1+h2. (2)解: h=h1+h2+h3,证明如下:如12 12 12图(2 )所示,连接 AP,BP,CP,则 SABC=SABP+
34、SBPC+SACP, BCAM= ABPD+ ACPF+ BCPE,即 BCh=12 12 12 12 12ABh1+ ACh2+ BCh3.又 ABC 是等边三角形, BC=AB=AC.h=h1+h2+h3. (3)解: h=h1+h2-h3.理由如12 12 12下:如图(3 )所示,连接 PB,PC,PA.由三角形的面积公式得 SABC=SPAB+SPAC-SPBC,即BCAM= ABPD+ ACPF- BCPE,ABC 是等边三角形, AB=BC=AC,h1+h2-h3=h. 12 12 12 12这节课是在学生已经学习了三角形的有关概念和“认识轴对称图形”的基础上进行学习的,学生已经
35、掌握了三角形的相关知识,具有初步的探究学习经验 .同时本节课的内容不仅是对前面所学知识的运用,也是今后证明角相等、 线段相等及直线 垂直的重要工具,它在教材中处于非常重要的地位 .因为等腰三角形的性质在日常生活中有广泛的应用,所以探索发现等腰三角形的性质是这节课的重点;同时,对“三线合一”性质的理解和运用,学生有一定的难度,是这节课的难点 .为了突出重点,教师充分创设问题情境,解决问题;为了突破难点,教师引导学生经历动手折纸、 动手画图、 对比分析、提出猜想、小 组讨论、发现、归纳总结等活动,加以化解 .教师在整个教学过程中主要通过动手操作、直观演示、小 组讨论 、自主探索、合作交流、发现归纳
36、等多种教与学的方式,确保学生是学习的主人,教师是组织者、引导者、合作者 .同时为了更好地启发、感染和调动学生,提高教学效率,采用课件辅助教学,充分开发和利用教育资源为课堂教学服务 .在教学方法上,本节课以学生为主体,教师真正成为学生学习的组织者、引导者、合作者 .特 别是在探究“三线合一”的性质时,老师给出探究主题,学生以小组为单位,合作交流,自主探究、发现 .本着“ 问题 是数学的心 脏” 原则,教师 精心设计了一些问题,在教学过程中有半数的学生回答了教师的提问,但碍于教学计划,有的问题在回答过程中还不时得到教师的提醒,这样导致的结果是难于发现学生真实的思维过程 .“多提 问” 固然有利于学
37、生思考和理解知 识,有利于了解学生掌握知识的程度 .但在倡导培养创新精神和实践能力的今天,更要重视对学生问题意识的培养 .但教师在本节课的教学设计中留给学生的时间和空间偏少,导致学生发现问题、提出问题太少,长此以往,会使学生问题意识淡化 .问起于疑,疑源于思,课堂上教师要为学生质疑创造足够的空间和时间 .在问题解决过程中培养学生问题意识和发现问题、提出问题的良好 习惯 .在探究问题的过程中,教师 一定要让学生自己去发现,只有由学生自己发现的东西,才是最真实的,也是最容易掌握的 .在学生回答问题时,教师要适当点拨,但不能代替学生回答自己提出的问题,一定要让学生说,哪怕是错误的,也是经过学生思考得
38、来的 .【练习】(教材第 142 页)1.提示 :(1)70. (2)45. (3)35. (4)60.图略 .2.提示 :(1)20. (2)80. (3)90. (4)120.3.解 :(1)可以是 锐 角,不可以是直角和钝角 .因为等腰三角形两底角相等,当底角为直角或钝角时,三角形内角和大于 180,与三角形内角和等于 180相矛盾,所以底角不可以是直角或 钝角 . (2)都可以,因为都符合三角形内角和定理 .【习题】(教材第 143 页)A 组1.解 :(1)图 中有 3 个等腰三角形,它 们分别是 ABC,ABD,BCD. (2)因为 AB=AC,所以 ABC=C.因为BD=BC,所
39、以 C=BDC.因为 BD=AD,所以 A=DBA.设 A=DBA=,则 ABC=BDC=C=2.在 ABC中, ABC+C+A=180,所以 2+2+=180,即 5=180,所以 =36,即 A=36.2.解 :(1)80,20或 50,50. (2)40,40. (3)设这个三角形的顶角为 x,则其底角为 x,由题意得12x+ x+ x=180,x=90, x=45.这个三角形三个内角的度数分别为 90,45,45.12 12 123.解 :ABC 为等边三角形, AB=AC,BAC=60,又 BD=DC,CAD=BAD= BAC= 60=30.12 124.解 :AB=BC,B=50,
40、ACB=BAC= =65.AC=CD,D180- 2 =180-502=CAD.又 ACB=D+CAD,ACB=2D,2D=65,D=32.5.B 组1.解 :设腰 长为 x cm.当腰长大于底边长时, x+ x=18,x=12,此时底 边长为 15- x=15- 12=9(cm).当12 12 12腰长小于底边长时, x+ x=15,x=10,此时底边长为 18- x=18- 10=13(cm).综上可得等腰三角形的底边长12 12 12为 9 cm 或 13 cm. 2.解 :相等 ,相等 .已知 :如图所示,在 ABC 中, AB=AC,BD,CE 分别是 AC,AB 边上的中线, BG
41、,CH 分别是AC,AB 边上的高 .求证 BD=CE,BG=CH.证明: AB=AC,BD,CE 分别为 AC,AB 边上的中线,AD= AC,AE= AB,AD=AE.在 ABD 和 ACE 中,12 12ABDACE,BD=CE.AB=AC,ACB=ABC,BG,CH 分别为 AC,AB 边上的高,=, = ,=,BGC=CHB=90.在 BGC 和 CHB 中, BGCCHB,BG=CH. = , = ,=, 等腰三角形的性质与应用等腰三角形“三线 合一” 的性质在初中几何 证明和计算中占据了非常重要的地位,实际上这个性质的逆定理在证明中的直接或间接应用也不亚于这个性质的直接应用,可以
42、作为判定等腰三角形的一种重要思路 .由于书上没有直接给出逆定理,所以很多学生在解题时很难想象到利用这一定理来解决问题,以至于在几何证明过程中思维受阻,不能正确地作出辅助线 .因而在教学中,教师如果把握好等腰三角形“三线合一” 性质的逆定理在辅助线教学中的应用,把握好化归思想方法的渗透,将有助于让学生把握解题的关键,更好地培养和发展学生的思维能力,有助于学生突破解题的难点,明确辅助线的添加,探明解题的方法,从而帮助学生提高解决问题的能力,“三线 合一 ”性质: 等腰三角形的顶角平分 线、底 边上的中线、底边上的高重合,逆定理:如果三角形中任一角的平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三
43、角形 .如果三角形中任一角的平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形 .如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形 .简言之:三角形中任意两线合一,必能推导出它是一个等腰三角形 .学习本节的关键之一是让学生通过剪切、折叠,发现线段和角的关系,从图形中观察并总结出等腰三角形的性质 .教学中要注意引导,不要急于得出结论,在操作过程中,让学生翻折不同的等腰三角形,如顶角是锐角、钝 角或直角的等腰三角形,说明在翻折 过程中相应的角的大小和 线段的长短关系都没有发生变化;还可以让学生探索一般的三角形是否一定有这种性质,进一步体会等腰三角形所具有的特点 .如图所示,
44、 ABC 中, AB=AC,AD 是 BC 边上的高, CAD=26,AE=AD,求 BDE 的度数 . 解析 由等腰三角形“ 三线合一” 知 BAD=CAD=26,由等边对等角和三角形内角和定理可求得ADE=77,在 RtADB 中, BDE=ADB-ADE.解: AB=AC,AD 是高,BAD=CAD=26.AD=AE,ADE=AED=(180-26)2=77.BDE=90-77=13.小明做了一个如图所示的“风筝” 骨架,其中 AB=AD,CB=CD. (1)八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后,他认为 ACBD,垂足为点 E,并且 BE=ED,你同意王云的判断吗? 为 什么?(2)设
45、 AC=a,BD=b,请用含 a,b 的式子表示四边形 ABCD 的面积 .解析 (1)根据 SSS 证 ABCADC,推出 BAC=DAC,根据等腰三角形“三线合一”推出即可;( 2)四边形 ABCD 的面 积为 S=SABD+SCBD= BDAC,代入求出即可 .12解:(1)在 ABC 和 ADC 中, =,=,=,ABCADC(SSS),BAC=DAC,AB=AD,ACBD,BE=DE.(2)AC=a,BD=b,四边形 ABCD 的面积 S=SABD+SCBD= BDAE+ BDCE= BD(AE+CE)= BDAC= ab.12 12 12 12 12用一条长为 20 cm 的细绳围
46、成一个等腰三角形 .(1)如果腰长是底边长的 2 倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边长为 5 cm 的等腰三角形吗?如果能,请求出它的另两边长 .解析 (1)设底边长为 x cm,则腰长为 2x cm,根据周长公式列一元一次方程,解方程即可求得各边的长;(2)题中没有指明 5 cm 长的边是底边还是腰,故应该分情况进行讨论 ,注意利用三角形三边关系进行检验 .解:(1)设底边长为 x cm,则腰长为 2x cm,根据题意得 2x+2x+x=20,解得 x=4,2x=8,各边长为 8 cm,8 cm,4 cm.(2)当 5 cm 为底边长时,腰长为 7.5 cm;当 5 cm 为腰长时,底边长为 10 cm,5+5=10,不能构成三角形,故舍去 .
