1、第十一章 三角形1.理解三角形及三角形的有关线段(边、高、中线、角平分线)的概念 ,证明三角形两边的和大于第三边,了解三角形的重心的概念,了解三角形的稳定性 .2.理解三角形的内角、外角的概念,探索并证明三角形内角和定理,探索并掌握直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 .3.了解多边形的相关概念 (边、内角、外角、对角线、正多 边形), 探索并掌握多边形的内角和与外角和公式 .1.在学 习 三角形的有关 线段时,要掌握好三角形的高、中线、角平分线 的定义,最主要的是它们的性质以及利用它们解决实际问题 .2.三角形的内角
2、和是学生学过的知识,可以借助复习旧知识,达到学生学习新知识的目的,不仅起到复习的作用,也可以灵活地掌握好新知识 .3.掌握多边形内角和的公式 ,并能利用它解决有关多边形的问题 .4.指 导学生掌握好多边形内角和与外角和之间的联系,并能利用它们解决一些数学问题 .1.三角形的这部分知 识在小学阶段已经学习,通过复习,可提高学生的学习兴趣,也可增加学生学习的自信心 .2.在教学中,通过同学之 间的互相提问,小组的交流、研 讨,提高同学们的合作精神 .3.在学 习 多边形的内外角和中 ,通过一些实物的图片,感知到数学来源于实际,也应用于实际 .三角形是一种基本的几何图形,是构建多边形知识体系的基础,
3、也是学习各种特殊三角形,如等腰三角形、直角三角形与平行四边形等图形知识的基础,在解决实际问题中有着广泛的应用 .本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质,进而研究多边形的概念与性质 .在本章中,学生将进一步学习通过推理得出数学结论的方法,提高推理能力 .本章首先介绍三角形的有关概念和性质,分为三节:11.1 节研究与三角形有关的线段 .首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念,进而研究三角形的分类 .对于三角形的边,证明了三角形两边的和大于第三边,然后给出三角形的高、中线与角平分线的概念,同时结合三角形的中线介绍了三角形的重心概念,最后结合实际例子介绍三角形的稳定性 .11
4、.2 节研究与三角形有关的角 .对 于三角形的内角,证明了三角形内角和定理;然后由这个定理推出直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”; 最后给出三角形的外角的概念,并由三角形内角和定理推出“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和” .11.3 节接着介绍多边形的有关概念与多 边形的内角和、外角和公式 .三角形是多边形的一种,本章借助三角形介绍多边形的有关概念,如多边形的边、内角、外角、内角和都由三角形的有关概念推广而来 .【重点】1.掌握好三角形的高、中 线、角平分线的定义,并能画出这三种线段 .2.知道三角形具有稳定性,并能利用这种性质解释生活中的一些现象 .3.知道三角形及多边形的
5、内角和计算方法与外角和度数,并能利用它们求解出有关三角形度数的问题 .【难点】1.对 于钝 角三角形的三条高 线,能准确画出 .2.能利用多边形的内角和公式或外角和,求解出有关多边形的问题,如求边数、角度等问题 .3.能解决有关三角形及多边形的综合性问题 .在认识三角形的过程中,要注意让学生理解三角形的基本元素和各类三角形的特征,要鼓励学生自主探索,大胆猜想,让学生通过剪一剪、拼一拼、做一做等活动探索发现有关结论 .与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度,进一步要求可通过后续学习达到 .如对于三角形的角平分线,在本章中只要知道它的定义,能够从定义得出角相等就可以了 .学生画角平分线
6、时发现三条角平分线交于一点,可直接肯定这个结论,同样,三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明 .要让学生在操作的过程中探索三角形的内角和与外角和 .对于三角形的稳定性,要让学生通过实践去感受;待以后学过“三 边分别相等的两个三角形全等”, 可进一步明白其中的道理 .对于多边形的内角和与外角和,要让学生在观察和类比中总结结论,培养学生的数学推理能力,做到合情推理和演绎推理的有机结合 .镶嵌作为数学活动的内容安排在本章的最后,学习这个内容要用到多边形的内角和公式,通过这个数学活动,学生可以经历从实际问题抽象出数学问题,建立数学模型,综合应用已有知识解决问题的过程,从而加深对相关知识的理解,提高
7、思维能力 .11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的 边( 1 课时)11.1.2 三角形的高、中线与角平分线(1课时)11.1.3 三角形的 稳定性( 1 课时)3 课时11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角 (2 课时)11.2.2 三角形的外角 (1 课时)3 课时11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形(1 课时)11.3.2 多边形的内角和 (1 课时)2 课时单元复习 1 课时11.1 与三角形有关的线段1.能正确地利用三角形的三边关系,判断所给的三条线段能否组成三角形 .2.掌握好三角形的高、中 线、角平分线的定义,能画出这三条线段,并能灵活准确地
8、应用这三条线段的性质解决问题 .3.掌握好三角形的稳定性在实际生活中的运用 .1.经历摆三角形,画三角形、测量三角形的三边长度的过程,培养学生自主、合作、探索的学习方式,并锻炼其发现问题、提出问题、分析 问题 和解决问题的能力 .2.在学 习 三角形的 稳定性时,可结合实际情况,让学生感受到数学与生活实际的联系 .3.三角形的重心在教学中可结合实际物体,让学生通过观察与实践找到物体重心 .联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流、归纳,获得必需的数学知识,让学生体会用数学思想方法解决生活中的实际问题的意义,激发学生的学习兴趣 .【重点】1.三角形三边关系和高、中线、角平分线的运
9、用 .2.三角形稳定性的 应用 .【难点】1.在具体的图形中不重复且不 遗漏地识别所有三角形 .2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形 .3.钝 角三角形高的画法 .11.1.1 三角形的边1.掌握三角形的定义,并能正确地表示出三角形,以及三角形的边、角、顶点等表示方法 .2.能正确地进行三角形的分 类 .3.掌握三角形的三边关系,并能利用此关系判定已知三条线段能否构成三角形 .1.通 过复 习以前的知 识,让学生更加容易接受新知识,并能提高学习的积极性,增加学习数学的信心 .2.在 讲解三角形的分类时,可结合图形,让同学们更直观地接受新知识 .3.在利用三角形的三边关系解答问题时
10、,要注意让学生有分类讨论的思想,这也是数学思想中的一个很重要的思想 .1.通 过三角形三 边 关系的教学,培养学生的探索精神及分类讨论的思想 .2.通 过本 课的教学 ,能够让学生们知道数学知识体系的连贯性及继承性 .3.在教学的过程中 ,培养学生勇于探索,敢于质疑的精神 .【重点】 掌握三角形的分类及三角形的三边关系 .【难点】 利用三角形的三边关系解答综合性问题 .【教师准备】 三根有刻度的小棒 .【学生准备】 有刻度的直尺 .导入一:同学们,你们看这个图案美丽吗?这个图案主要是由什么图形构成的?(学生议论后)我们本节课要继续学习三角形的相关知识 . 导入二:(老师拿出三根不能拼成三角形的
11、小棒) 同学们请看,老师手中的三根小棒能首尾相搭 组成一个三角形吗?设计意图 学生此时对三角形三边关系的认识还是粗浅的,容易误认为 任意长度的三根小棒都能按照要求拼出三角形 .同时老师强调首尾相搭,也暗示了对三角形定义的启发,这就为学生认识和探索三角形三边关系做了铺垫 .过渡语 在小学的时候,我们仅仅是从形状和角的方面去认识了三角形 .如果有人问,什么是三角形? 三角形又怎么表示呢?你能做出回答吗? 希望大家在接下来的学习中能够解决这些问题 .一、三角形的相关概念1.三角形的概念 .【学生活动一】 (1)在一张纸上任意画三条线段;(2)在同一条直线上任意画三条线段 .【问题思考】 任意画的三条
12、线段都能组成三角形吗?怎样才能组成一个三角形?设计意图 帮助学生初步领会构成三角形的基本条件之一,即不在同一条直 线上的三条线段才能组成三角形 .【学生活动二】 判断下列由三条线段组成的图形是不是三角形 .设计意图 三角形概念的获得,要让学生经历其描述的过程,借此培养学生的 语言表述能力,加深学生对三角形概念的理解 .三角形定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 .知识拓展 三角形的特征:三条线段;不在同一条直线上;首尾顺次相接 .这三点表明三角形是一个封闭的图形 .2.三角形的表示方法 .“三角形 ”可用符号 “”表示,如图所示,顶点(相邻两边的公共端点叫做三角形
13、的顶点)是 A,B,C 的三角形,记作 ABC,读作 “三角形 ABC”.A,B,C 是 ABC 的三个角(相邻 两边组成的、位于三角形内部的角叫做三角形的内角,简称三角形的角); ABC 的三边( 组成三角形的线段叫做三角形的边) 分别是 AB,BC,CA,有时也可用小写字母来表示,顶点 A,B,C 所对的边分别可用 a,b, c 来表示 ,即 AB 可用 c 表示, BC 可用 a 表示, CA可用 b 表示 .二、三角形的分类过渡语 三角形的形状多种多样,对多种多样的三角形,怎样进 行分类呢?思路一【生】 锐角三角形,钝角三角形,直角三角形 .【师】 刚才大家的分类是按照三角形角的特点划
14、分的,大家还有什么别的分类方法吗?【生】 可以按照三角形的边长进行分类 .【师】 是根据不同的三角形边的长度进行分类,还是同一个三角形的边长特点进行分类?【生】 在同一个三角形之内 .【师】 按照边长进行分类,你想的分类标准是什么呢?【生】 根据是否有相等的边 .【师】 按照这种分类方法,可以把三角形分为哪两大类?【生】 三边都不相等的三角形和等腰三角形 .【师】 在等腰三角形中,什么样的边是腰呢?等腰三角形的边和角有什么特殊的称呼吗?【生】 在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角 .【师】 按照有没有相等的边对三角形进行分类,等边三角形
15、应该划到哪一类当中?【生】 等腰三角形 .【师】 根据刚才的讨论,大家整理下三角形的分类吧!设计意图 三角形的分类,在小学阶段已经学习过,只不过是比较浅 显的内容,所以这里在复习以前知识的基础上进一步深入,特别要强调的是等边三角形是特殊的等腰三角形 .思路二过渡语 我们知道,按照三个内角的大小,可以将三角形分为锐 角三角形、直角三角形和 钝角三角形,如果要按照边的大小关系对三角形进行分类,又应该如何分呢?小组之间进行交流,并说说你们的想法 .【师生活动】 通过讨论,学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类,接着引出等腰三角形及等边三角形的概念,引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系,强化学
16、生对三角形按边分类的理解 .在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫顶角,腰与底边的夹角叫底角 .三角形按边分类:三 三 边 都不相等的三角形等腰三角形 底 边 和腰不相等的等腰三角形等 边 三角形 设计意图 通过这一活动的设计,提高学生分类讨论和归纳概括的能力 ,加深学生对三角形按边分类的理解 .三、三角形三边之间的关系过渡语 我们在前面把三角形按照边进行分类,其实也是在研究三角形的三 边关系 .现在我们换个角度,研究三角形两条边的和与第三条边的关系 .探究一:三角形两边之和与第三边之间的关系 .【情境引入】 如右图三角形中,假设你要从点 B 出发沿着三角形的边到点 C,有
17、几条路线可选择?各条路线的长一样吗? 【师生活动】 引导学生讨论分析,得到两条路线:(1)B 直接到 C,即 BC.(2)先由 B 到 A 再到 C,即 BA+AC.显然,路线(1 )中的 BC 要短一些,即 BCAB-AC, BCAC-AB,这就是说,三角形两边的差小于第三边 .设计意图 引导学生用推导的方法验证相关的结论,事实上探究二是 对探究一的进一步深化,培养学生严密思维的习惯 .过渡语 学习了三角形三边之间的关系问题,我们就可以利用它解决一些生活 实际问题 .(教材例题)用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形 .(1)如果腰长是底边长的 2 倍,那么各边的长是多少?(2)能
18、围成有一边的长为 4 cm 的等腰三角形吗?为什么?解析 (1)设底边长为 x cm,则腰长为 2x cm,根据周长列出一元一次方程,解方程即可求得各边的长;( 2)题中没有指明 4 cm 是底边长还是腰长,故应该分情况进行分析,同时注意利用三角形三边关系进行检验 .解:(1)设底边长为 x cm,则腰长为 2x cm.2x+2x+x=18,解得 x=3.6.所以三边长分别为 3.6 cm ,7.2 cm,7.2 cm.(2)当 4 cm 为底边长时,腰长为 7 cm,任意两边之和都大于第三边,故可以构成三角形 .当 4 cm 为腰长时,底边长为 18-4-4=10(cm),4+4c,根据不等
19、式的基本性质,得 c-b4,而三条 线段 d=2 cm,e=3 cm,f=5 cm 就不能组成三角形,因为 2+3=5.解题策略 一般地,判断三条线段能否组成一个三角形时,只需判断两条短的 线段之和是否大于最长的线段即可,无需再从任意两边之和大于第三边的角度进行判断 .1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 .2.三角形的分类: 三边都不相等的三角形和等腰三角形 .3.在一个三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 .注意:三角形任意两边和与第三边的关系不包括等于这种关系 .等边三角形也是等腰三角形,等腰三角形的范围要大于等边三角形,且包含等边三角形 .1.
20、下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A.1,2,4 B.4,5,9C.4,6,8 D.5,5,11解析:以最长边为第三边,看其他两边之和是否大于最长边,若大于则能构成三角形;若小于或等于则不能构成三角形 .1+28,4,6,8 能构成一个三角形的三边长;5+54,能构成三角形 .故选 D.)2.D(解析:已知三角形两 边的长分别是 1 和 2,第三边长 x 的范围是 14,2 cm,3 cm,4 cm 长的线段能组成三角形,选项 A 正确;2+3=5,2 cm,3 cm,5 cm 长的线段不能构成三角形,选项 B 错误;2+55,两边之和大于第三边,所以能构成三角形 .所以三角形的周长为
21、 2.5+5+5=12.5.6.解 :根据构成三角形的条件得:第三边长的范围为 3 cm21,且 4x-3xc,则 a+b-c0;ba,则 c-a+b0.根据正数的绝对值等于它的本身,负数的绝对值等于它的相反数,得原式= a+b-c-(b-a-c)-(c-a+b)=a+b-c+b-a-c-c+a-b=a+b-3c.本课是由日常生活情景引入的,这样有利于增强学生的学习兴趣,也能让学生知道数学来源于实际,又反作用于实际 .本节的重点与难点均是三角形的三边关系,要求学生能利用此定理判定所给的三条线段能否组成三角形,如果老师直接给出定理,学生的理解会不深 .教案的设计思路是让学生通过自己的思考得出结论
22、,不是直接去接受结论,而是让学生亲自实践,这样既增强了学生的动手能力,也能让他们更加深刻地理解三角形三边关系定理:三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边,还能让他们在解答问题时,更加游刃有余 .在刚开始阶段引入三角形的定义时,学生在画三条线段的环节中,应该对所画的线段提出不同的要求,这样更有利于学生给三角形做出严密的定义 .还有此处应该添加一些简单的练习,让学生即时练习,能让他们更加深刻地接受三角形的有关定义,并能熟练地运用它们,为后续的学习打下良好的基础 .在引入三角形的定义时,要更加严谨,如“由不在同一条直线上” 这句话,老师要让学生思考这样说的原因,另外在定义教学后,即时给出一些练
23、习,让学生巩固所学的知识,在讲解三角形的分类时,也要这样,给出些练习,让学生巩固,并加深对它们的理解 .在讲解三角形的三边关系时,可让学生自己也准备一些这样的带刻度的小棒,让每一位学生都参与进来,这次参与的学生少,只起到演示的作用了,还是多多给学生参与的机会为好 .练习(教材第 4 页)1.解 :图中有 5 个三角形 ,分别是 ABC,BCD,BCE,ABE,CDE.2.解 :(1)不能 组成三角形 ,因为 3+48,即两条线段的和小于第三条线 段,所以不能组成三角形 . (2)不能组成三角形,因为 5+6=11,即两条线段的和等于第三条 线段,所以不能组成三角形 . (3)能组成三角形,因为
24、任意两条线段的和都大于第三条线段 .中学数学学习的是数学学科的基础知识,而数学作为研究数量关系和空间形式的科学,是人们实践中出现的种种数学现实的反映,也是人们不断研究、创造的知识体系,是人 们在各类科研和生产实践中的有力工具,具有广泛的应用性 .数学教学必须重视揭示数学与客观现实的密切联系,揭示数学结论的真理性和真实性,揭示数学理论是怎么从现实世界中得到并不断发展的,必须重视数学知识体系的条理性、逻辑性,也应该重视数学在实践中的巨大作用 .长为 9,6,5,4 的四根木条,选 其中三根组成三角形,选法有 ( )A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种解析 四根木条中的三根的所有组合:9,
25、6 ,5;9,6,4;9,5,4;6,5,4.根据三角形的三边关系,得能组成三角形的有 9,6,5;9,6,4 和 6,5,4.故选 C.方法指 导 要把四根木条中的三根的所有组合列出来,再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数 .11.1.2 三角形的高、中线与角平分线1.让 学生了解三角形的高、中 线、角平分线等有关概念 .2.掌握任意三角形的高、中 线、角平分线的画法 .3.能利用三角形的高、中 线、角平分线的性质解决问题 .1.经历 画、折等 实 践操作活动过程,发展学生的空间观念、推理能力及 创新精神 .2.学会用数学知识 解决实际问题,发展应用和自主探究意识,并培养学生的动手实
26、践能力 .1.鼓励学生主动参与 ,感受成功的乐趣,体验几何知识在现实生活中的真实性,激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情 .2.通 过对问题 的解决 ,使学生有成就感,培养学生的合作精神,树立学好数学的信心 .【重点】1.了解三角形的高、中 线与角平分线的概念,会用工具准确地画出三角形的高、中 线与角平分线 .2.了解三角形的三条高、三条中 线与三条角平分线所在直线分别交于一点 .【难点】1.三角形的角平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别 .2.钝 角三角形高的画法 .3.不同的三角形三条高的位置关系 .【教师准备】 三角板、直尺、量角器、本节课的课件 .【学生准备】 三角板、直尺、
27、量角器、三角形纸片 .导入一:如下图,图中右侧支撑太阳能电池板的三角形支架有多高呢?这就涉及我们本节课所学的三角形高的问题 .导入二:同学们,我们以前学习过了“过一点画已知直线的垂线”, 谁能说一说是怎样画的?(同学们纷纷发言,老师可让几名同学到黑板上演示一下,然后让其他学生都拿出本来,过一点画已知直线的垂线,注意画法的规范性)你们知道过三角形的一个顶点如何画三角形的高吗?这节课我们就来研究这个问题 .(老师书写板书)设计意图 本节的知识与以前学习过的“过一点画已知直线的垂线”的画法有着非常大的联系,此导入不仅复习了旧知识,也能对以后要学习的三角形的高起到预热的作用 .导入三:(1)复习提问三
28、角形的定义 .(由三条线段首尾相接组成的图形)(2)三角形的面积公式是什么?S= ah.12(3)你还记得三角形的高是怎么作出来的吗? 引出课题 .设计意图 直接从学生已有的知识出发,既达到了复习旧知识的目的 ,也引入了本节的内容,此设计自然、简 捷 .过渡语 过三角形的一个顶点,你能画出它的对边的垂线吗?( 引出三角形的高)一、 三角形的高【学生活动一】 让学生动手画出一个锐角三角形的高,然后找学生描述三角形的高的画法与定义 .设计意图 借助学生对问题的解决,唤醒学生对三角形的高的认识 ,有助于新知识的理解,并且发展学生的观察力与语言表述能力 .(教师总结三角形的高的定义并板 书) 从三角形
29、的一个顶点向它的对边 所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称为三角形的高 .如图所示,在 ABC 中, ADBC,点 D 是垂足,所以 AD 是 ABC 的一条高 .引导学生注意垂直符号的书写 .过渡语 现在同学们已经会画三角形的高了,用折纸的方法也可作出三角形的高 ,快拿出你们的三角形纸片,动手做一做 .【学生活动二】 让学生拿出事先准备好的三角形纸片,用直尺与三角板作出这个三角形的三条高,然后用折纸的方法,观察这三条高的位置关系,你有什么发现?如果已知三角形的一条高,你知道它是哪一条边上的高吗?设计意图 同学们动手作出三角形的高,既培养了他们的动手操作能力 ,也能很方便
30、地观察到三角形的高相交于一点的事实 .【师生共同总结】 锐角三角形的三条高相交于一点,此点在锐角三角形的内部 .如图所示 . 过渡语 锐角三角形的高我们可以画出了,现在试试直角三角形的高怎么画 .【学生活动三】 在纸上画出一个直角三角形或通过折纸的方法,画出它的三条高,它们有怎样的位置关系?将你的结果与同桌进行交流 .设计意图 通过同学们自己动手探索、研 讨,可以使他们对直角三角形的三条高有更深刻的认识,并提高同学们的合作意识 .【师生共同总结】 直角三角形的三条高交于一点,即是直角三角形的直角顶点 .如图所示 . 过渡语 就差钝角三角形的高了,同学们快试试吧!【学生活动四】 画一个钝角三角形
31、,让学生尝试画出它的三条高,或通过折纸的方法找到它的三条高 .观察三条高,看它们有什么样的位置关系 .为强调作图,可进行投影 .将 BC 与顶点 A 调节成闪烁的效果,且把底边用虚线延长,引导学生自己作出不同三角形的高 .在同学们发现作一条高时,一条边不够长的时候,教师要提示学生们,可以把所在边的线段进行延长 .设计意图 钝角三角形的三条高,对同学们来说,画法是一个难点,为 了突破难点,把幻灯片中的边与对应顶点调节成闪烁的效果,且把底边用虚线延长,帮助同学们画出外面的两条高线 .【师生共同总结】 钝角三角形的三条高中,有两条在外面,一条在内部,且它们所在直线交于一点 . 如图所示 . 表述:如
32、图,因为 AD 是 ABC 的高( 已知),所以 ADBC 于 D(或 ADB=ADC=90).因为 ADBC 于 D(或 ADB=ADC=90)(已知),所以 AD 是 ABC 的边 BC 上的高 .(高的定义)知识拓展 钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高 .锐角三角形的三条高在三角形的内部,相交于一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形的外部,一条高在三角形内部,三条高不相交,但三条高所在的直线相交于三角形外一点 .二、三角形的中线过渡语 你能画一条线将三角形的面积平分吗?(学生思考,尝试,引出定义)下面我们就引
33、入三角形的另一条特殊的线 段三角形的中线 .思路一【学生活动一】 学生们动手画图,之后同桌之间研讨,并且要同学们说出所画出的线的特点?为什么它就能把三角形分成面积相等的两部分呢?它是线段吗?【师生共同总结】 三角形中线的定义:连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线 .设计意图 让同学们自己动脑思考,这样得出的结论,学生印象更深刻 ,对于知识的理解与掌握更全面 .【学生活动二】 让学生任意画出一个三角形,画出这个三角形的三条中线,然后分析这三条中线的位置关系,同桌之间互相研讨 .(老师可多让几名同学发言,分别指出他 们画出的是什么样的三角形,这样三角形的任意性就有了) 【师生共同总结】
34、任意三角形的三条中线都交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 .设计意图 让同学们自己得出三角形的三条中线交于一点的结论, 并且在与同桌的研讨中,体验学习的乐趣与分享的快乐 .思路二指导学生阅读教材第 45 页的内容 ,思考如下问题:(1)什么是三角形的中线?(2)三角形的中线有几条?(3)三角形的三条中线是否相交于一点?(4)什么是三角形的重心?(5)一块三角形的玻璃,利用圆规的尖脚,你能让三角形玻璃平衡在圆规上面吗?表述:如图, AD 是 ABC 的边 BC 上的中线( 已知),所以 BD=DC= BC 或 BC=2BD=2DC 或 D 为 BC 的12中点 . 因为 BD=DC=
35、 BC 或 BC=2BD=2DC 或 D 为 BC 的中点(已知), 所以线段 AD 为 BC 上的中线(中线定12义) .知识拓展 (1)一个三角形有三条中线,并且都在三角形内部,相交于一点 .(2)三角形的中线是一条线段 .(3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形 .三、三角形的角平分线过渡语 三角形中除了三角形的高,三角形的中线之外还有没有特殊的 线段呢? 答案是肯定的,还有一类线段就是三角形的角平分线 .角的平分线同学们都已经会画了,那你能不能画出一个三角形的三个角的平分线呢? 同学 们快动 手试试吧!【学生活动】 同学们先画出一个任意三角形,分别画出一个三角形中的三个角
36、的平分线,同时观察这三条角平分线的位置有哪些特点 .(要提醒学生三角形形状的多样性 ,同时要注意作图的规范性,可用量角器量)【师生共同总结】 三角形的角平分线定义:连接三角形顶点与该顶点内角平分线与对边交点的线段叫三角形的角平分线 .(最后老师要强调三角形的角平分 线是三条线段,而一个角的平分线是一条射线)设计意图 通过与以往角的平分线的画法比较,学生会比较容易接受此定 义,既复习了旧知识,也能促进对新知识的理解 . 表述:如图,因为 BD 是 ABC 的角平分线( 已知),所以 ABD=CBD= ABC. 12因为 ABD=CBD 或 CBD= ABC,或 ABD= ABC (已知),所以线
37、段 BD 是 ABC 的角平分线 .(三12 12角形的角平分线定义)知识拓展 (1)一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形内部,相交于一点 .(2)三角形的角平分线是线段,而角的平分线是一条射线 .如图,等腰三角形 ABC 中, AB=AC,一腰上的中线 BD 将这个等腰三角形的周长分成 15 和 6 两部分,求这个三角形的腰长及底边长 . 解析 由 题意可知,中线 BD 将 ABC 的周长分成 AB+AD 和 BC+CD 两部分(注意不是 AB+AD+BD和 BC+CD+BD 两部分),故有两个可能:(1) AB+AD=15 且 BC+CD=6;(2)AB+AD=6 且 BC+CD=15
38、.再由AB=AC=2AD=2CD 及三角形三边关系知(1)成立,( 2)不成立 .解:设 AB=AC=2x,则 AD=CD=x.(1)当 AB+AD=15,BC+CD=6 时,有 2x+x=15,所以 x=5,2x=10,BC=6-5=1.(2)当 AB+AD=6,BC+CD=15 时,有 2x+x=6.所以 x=2,2x=4,所以 BC=13.因为 4+413,所以不能 组成三角形 .答:三角形的腰长为 10,底边长为 1.解题策略 涉及等腰三角形边的问题时,常要分情况讨论,然后看它 们是否满足三边关系,不满足的要舍去 .知识拓展 (1)三角形三条高线所在直线交于一点,这一点常被称为这 个三
39、角形的垂心 .(2)三角形三条中线交于三角形内的一点,这一点叫做三角形的重心,取一块质地均匀的三角形木板,用手指向上顶住三角形重心,木板会保持平衡 .(3)三角形三条角平分线交点在三角形内部,它被称为三角形内心 .1.三角形的高、中线、角平分线都是线段 .2.三角形的高( 所在直线)、中线、角平分线都相交于一点,钝角三角形的高线所在直线相交于三角形外一点 .1.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是 ( )A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形解析:锐角三角形三条高交于三角形的内部,钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部,只有直角三角形的高的
40、交点在直角顶点 .故选 C.2.在 ABC 中,已知点 D,E,F 分别是 BC,AD,CE 的中点,且 SABC=4 cm2,则 SAEF 的值为( )A.2 cm2 B.1 cm2C. cm2 D. cm212 14解析:利用中线平分三角形的面积来做 .故选 C.3.如 图所示 ,在 ABC 中, D,E 是 BC,AC 上的两点,连接 BE,AD 交于 F. (1)图中有几个三角形?并表示出来 .(2)BDF 的三个顶点是什么?三条边是什么?(3)AB 边 是哪些三角形的 边?(4)F 点是哪些三角形的顶点?解:(1 )图中共有 8 个三角形,分别是 BDF,BDA,BFA,AEF,AE
41、B,ADC,BCE,ABC.(2)BDF 的三个顶点是 B,D,F,三条边是 BD,DF,BF. (3)AB 边是 ABF,ABD,ABE,ABC 的边 . (4)F 点是 BDF,ABF,AEF 的顶点 .4.在 ABC 中, AB=AC,AC 上的中 线 BD 把三角形的周长分为 24 和 30 两个部分,求三角形的三边长 .解析:分两种情况讨论: AB+AD=30,BC+DC=24 或 AB+AD=24,BC+DC=30,所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得三边长 .解:设三角形的腰 AB=AC=x,若 AB+AD=24,则: x+ x=24,所以 x=16.又三角形的周长为
42、24+30=54,所以12三边长分别为 16,16,22.若 AB+AD=30,则: x+ x=30,所以 x=20.因为 三角形的周长为 24+30=54,所以三边长12分别为 20,20,14.因此,三角形的三 边长为 16,16,22 或 20,20,14.11.1.2 三角形的高、中线与角平分线一、三角形的高二、三角形的中线三、三角形的角平分线一、教材作业【必做题】教材第 5 页练习第 1,2 题 .【选做题】教材第 8 页习题 11.1 第 3,4 题 .二、课后作业【基础巩固】1.下面判断正确的有 ( )平分三角形内角的射线是三角形的角平分线;三角形的中线、角平分线、高都是 线段;
43、一个三角形有三条角平分线和三条中线;直角三角形只有一条高;三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部 .A.2 个 B.3 个C.4 个 D.5 个2.如 图所示 ,在 ABC 中, D 是 BC 边上的任意一点, AHBC 于 H.图中以 AH 为高的三角形个数为 ( ) A.3 个 B.4 个C.5 个 D.6 个3.如 图所示 ,下列说 法正确的是 ( )A.如图甲,由 AB,BC,DE 三条线段组成的图形是三角形B.如图乙,已知 BAD=CAD,则射线 AD 是 ABC 的角平分线C.如图丙,已知点 D 为 BC 边上的中点,则射线 AD 是 ABC 的中线D.如图丁,已知 ABC 中
44、, ADBC 于 D,则线段 AD 是 ABC 的高4.如 图所示 ,在 ABC 中, EFAC,BDAC 于 D,BD 交 EF 于 G,则下面说法中错误的是 ( ) A.BD 是 ABC 的高B.CD 是 BCD 的高C.EG 是 BEG 的高D.BE 是 BEF 的高5.在 ABC 中, A=80,I 是 B,C 的平分线的交点,则 BIC= . 【能力提升】6.如 图所示 ,BD 是 ABC 的中线, AD=2,AB+BC=5,则 ABC 的周长是 . 7.直角三角形中,两 锐角的平分线所夹的锐角是 度 . 【拓展探究】8.如 图所示 ,AD 为 ABC 的中线, BE 为三角形 AB
45、D 中线 . (1)在 BED 中作 BD 边上的高;(2)若 ABC 的面 积为 60,BD=5,则 点 E 到 BC 边的距离为多少?【答案与解析】1.A2.D3.D(解析:A 项错在三角形是由三条线段首尾顺次相接而成的,B 项错在三角形的角平分线应该是线段;C 项错在三角形中线应该是线段 .故选 D.)4.D5.130(解析:由 A=80可知 ABC+ACB=100,ABC 与 ACB 的平分线交于点 I,可求 IBC+ICB 的度数,再利用三角形内角和定理求 BIC.A=80(已知), ABC+ACB=100(三角形内角和定理), 又 ABC 与ACB 的平分线交于点 I,IBC+IC
46、B = (ABC+ACB)=50,BIC=180-(IBC+ICB)=130.故填 130.)126.9(解析: BD 是 ABC 的中线, D 是 AC 的中点, DC=AD,AD=2,AC=AD+DC=4,AB+BC=5,ABC 的周长= AB+BC+AC=5+4=9.)7.45(解析:如图所示, ACB 为直角三角形, AD,BE 分别是 CAB 和 ABC 的平分线, AD,BE 相交于一点F.ACB=90,CAB+ABC=90.AD,BE 分别是 CAB 和 ABC 的平分线,FAB+FBA= CAB+ ABC=45.从而可知所求角为 45.故填 45.) 12 128.解 :(1)
47、如 图所示 ,EF 即是 BED 中 BD 边上的高 . (2)AD 为 ABC 的中线, BE 为三角形 ABD 中线,SBED= SABC= 60=15.BD=5,EF=2SBEDBD=2155=6,即点 E 到 BC 边的距离为 6. 14 14本节的教学以定义为主,图形是同学们非常熟悉的三角形 .以前同学们都接触过高线,钝角三角形高线的画法是本节的难点,为了突破难点,在教学设计上,以同学们思考、研讨为 主,老师利用课件中的图形闪烁来提示同学们 .这样,比老师单纯教要好得多,同学们可以对高线的画法印象更深刻 .在与同学们的交流中,也可得到认同感,提高学生学习数学的信心与兴趣 .三角形的中
48、线及角平分线的教学中,为了让学生更能感觉到一个三角形中的三条高线(所在直线) 、中 线、角平分线都相交于一点,教师让同学们用折纸的方法,实物验证,从而让学生在实际操作中感受到这些线的特点 .通过同学们的互动及老师的讲解,同学们对三角形的中线、角平分线及高线的画法都掌握得不错,为了能对知识有更牢固的印象,应该在讲授新课的同时,增加一些当堂小练习,让同学们更加牢固地掌握 .为了让同学们对三角形的中线、角平分线、高 线的知识掌握得更深刻 ,增加一些小练习,即在每讲完一个知识点后,给出一些基本的小练习 .本节的难点是钝角三角形高线的画法,可多增加些时间,让学生们多练习一下,教师可增加些判断题、选择题和
49、操作 题的题型,以增加学生对知识 的巩固和提高 .练习(教材第 5 页)1.解 :(1)中 B 是锐角,高 AD 在 ABC 内部 . (2)中 B 是直角,高 AD 与边 AB 重合 . (3)中 B 是钝角,高 AD的垂足在 CB 的延长线上,即高 AD 在 ABC 的外部 .规律:当 C 是锐角时,如果 B 是锐角,高 AD 在 ABC的内部,如果 B 是直角,高 AD 与边 AB 重合,如果 B 是钝角,高 AD 的垂足在 CB 的延长线上,即高 AD 在ABC 的外部 .2.(1)AF(或 BF) CD AC (2)2 ABC 4(或 ACF)如图所示,在 ABC 中, AD 是角平分线
