1、九年级上第一章第四节角平分线试题资料库：例 1.如下图，AP、BP 分别平分ABO 的外角，AOB40，则AOP 。解：20例 2.如图 ABC 中，ABAC，BD、CE 分别是 ABC 两底角的平分线，求证：BDCE。证明： ABC 中ABACABCACB.又BD、CE 分别平分ABC 和ACBACBB21,2112在 BDC 与 CEB 中21CBED BDCCEB（ASA）BDCE例 3. 已知：如图，C=90B=30，AD 是 RtABC 的角平分线。求证：BD=2CD。分析：根据已知条件可求出BAC 的度数，再由 AD 是 ABC 的角平分线，可分别求出上图中其余各角的度数，再证明结
2、论就容易了。证明：由C=90，B=30，知BAC=60。因 AD 是 ABC 的角平分线，故BAD=CAD=30。则B=BAD。可知 AD=BD。在 ADC 中，DAC=30，C=90，则 AD=2CD。故 BD=2CD。引申：该题中，若条件不变，如上图，从 D 点向 AB 作垂线交 AB 于点 E，请问： ADEADC 是否成立？BD=2DE 是否成立？不难看出，因为 AD 是 ABC 的角平分线，由角平分线的性质可知 DE=DC，则 ADE 与ADC 全等的条件可轻松找到，BD=2DE 显然也成立。这是在特殊角三角形的情况下考虑的，若推广到一般三角形的情况，解答该题的主要依据“角平分线上的
3、点到这个角的两边的距离相等”依然是一个重要的解题条件。例 4. 已知：如下图，ABC 的外角CBD 和BCE 的平分线相交于点 F。求证：点 F 在DAE 的平分线上。分析：该题图比较简单，单从上图中很难看出应该怎么证明结论。但问题既然涉及角平分线，我们很容易想到定理“在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上” ，所以不妨过点 F 分别作 BD，BC，CE 的垂线段，这样就找到了解决问题的切入点。证明：如上图，过点 F 分别作 BD，BC，CE 的垂线段 FG，FH，FM。因 BF 是CBD 的平分线，所以 FG=FH。同理 FH=FM，则 FG=FM。因点 F 在DAE
4、内，且点 F 到 AD，AE 的距离相等，故点 F 在DAE 的平分线上。引申：该题中，若条件不变，请问：A 与BFC 有怎样的数量关系？请同学们进一步探索。例 5. 已知：如图 1 所示，ABC，ACB 的平分线交于 F，过 F 作 DE/BC，交 AB 于 D，交AC 于 E，求证：（1）BD+EC=DE A D E F 3 1 2 B C 图 1（2）若将已知改为过一内角和一外角平分线交点作平行线，如图 2 所示，那么 DB、EC 和DE 之间还存在怎样的关系。 A E D F B C 图 2（3）若将已知改为过两个外角平分线交点作平行线如图 3 所示，那么 DB、CE、DE 之间还存在
5、什么关系。A B C D F E 图 3证明：（1）DE/BC，2=31=2，1=3BD=DF，同理 FE=ECBD+EC=DF+FE=DE（2）DE=BDCE（3）DE=BD+CE例 6. 如图所示，ABC 的边 BC 的中垂线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于 D，F 为垂足，DEAB 于 E，且 ABAC，求证：BEAC=AE D A E B F C 证明：过 D 作 DNAC 垂足为 N，连结 DB、DC则 DN=DE，DB=DC又DEAB，DNACRtBEtCNAD又 ，ttEBCAEAD N A E B F C 例 7. 已知：如图所示 PA、PC 分别是ABC 外角MAC
6、和NCA 平分线，它们交于P，PDBM 于 D，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线。 M D A P B C F N 证明：过 P 作 PEAC 于 EPA、PC 分别是MAC与NCA 的平分线且 PDBM，PFBNPD=PE，PF=PEPD=PF又PDBM， PFBN点 P 在MBN 的平分线上即 BP 为MBN 的平分线 M D A P E B C F N 例 8. 如图 DE 是 ABC 的 AB 边的垂直平分线，分别交 AB、BC 于 D、E，AE 平分30BAC， 若，求C 的度数。解答：DE 是 AB 的垂直平分线EAEB ABE1 30B 301又 AE 平分BAC
7、21 即BAC 6C 180BBAC 90例 9.如图 BD 是 ABC 的角平分线，DE/BC 交 AB 于 E。求证： BED 是等腰三角形。证明：BD 是 ABC 的角平分线EBDDBCDE/BCEDBDBCEBDEDBEBED，即 BED 是等腰三角形例 10. 已知：P 是AOB 内一点，PDOA，PE OB，D，E 分别是垂足，且 PDPE，则点P 在AOB 的平分线上，请说明理由。分析：“点在线上”的另一种说法是“线经过点” 。直接说明点 P 在AOB 的平分线上不易说明，可以反过来先过 P 作射线 OP，说明 OP 平分AOB，这样就相当于说明了点 P 在角的平分线上。此时问题
8、就转化为说明DOPEOP。解：作射线 OP。PDOA，PE OB PDOPEO90PDPE，OPOP RtPDORtPEO（HL）DOPEOP 即 P 点在AOB 的平分线上。归纳：在直接说明某个问题有困难时，我们常常把问题进行转化成可以直接说明的问题来解决。例如：请说明三角形的三个角的平分线刚好相交于一点。我们知道两直线相交只有一个交点，于是两个角的平分线 CD、BE 相交于点 O，想说明第三个角的平分线也刚好经过 O点不易，因此可转化为“连结 OA，说明 AO 平分CAB” ，即说明OABOAC，就相当于说明了第三个角的平分线与前两个角的平分线相交于一点。例 11. 如下图，等腰直角ABC
9、 中，ABAC，BD 平分ABC，DEBC 于 E。试说明：ABBE。 分析：AB、BE 分别属于两个直角三角形，要说明它们相等，只要能够说明它们所在的直角三角形全等即可。解：等腰直角ABC 中，A90，ABACDEBC，BD 平分ABCDADE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）ADEB90，DADE，BDBDRtADBRtEDB（HL）ABBE。变式：说明上题中 AB+ADBC。你能说明吗？学习小结：这节内容要注意两点：一是勾股定理与其逆定理表述上的区别；二是判定直角三角形全等时若使用 HL，一定要强调直角三角形，若仍用 SAS、ASA、AAS 或 SSS 来判定直角三角形全等，则不需
10、要强调直角三角形。例 12. 如图 1，在 RtABC 中，BAC=90，B=30，C=60，AT 平分BAC，AHBC，垂足为 H，则TAH=_。图 1解析：因 AHBC，所以TAH=90ATH。由三角形外角性质可知，ATH=BBATBAT= BAC21= （180BC）=90 （BC）21ATH=B90 （BC）21TAH=90B90 （BC）= （CB）21=15想一想，如果BAC 是锐角或者钝角，那么TAH= （CB）还成立吗？自己动手21做做看。2. 过三角形角平分线所在直线上任一点向第三边作垂线，角平分线与垂线的夹角等于三角形另外两角差的绝对值的一半。例 13 如图 2，在ABC
11、中，BC，AQ 平分BAC，AQ 交 BC 于点 Q，点 T 是 AQ 延长线上的一点，THBC 于点 H，试说明HTA= （CB） 。21图 2解析：过点 A 作 AHBC，则 AH/TH。根据平行线的性质，可得HTA=AQH由上题的结论，可得QAH= （CB）21故HTA= （CB）21例 14. 如图 1，OC 平分 ，P 是 OC 上一点，D 是 OA 上一点，E 是 OB 上一点，且AOBPD=PE，求证： 。PDE180分析：要证 ， 、 在图形的不同位置，又无平PDOE180PDOE行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决。由于 OC
12、是角平分线，故可过 P 点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可。证明：过点 P 作 ， ，垂足分别为 M、NMOANB因 OC 是角平分线， ， ，故 PM=PNP由 PD=PE，PM=PN，得 RtDtEDPNE则 ，而OMPO180180点拨：遇到角平分线问题，我们可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线，以便充分运用角平分线定理。例 15. 如图 2，在 中， 的平分线与 BC 边的垂直平分线相交于点 P。过点 PABC作 AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是 M、N。求证：BM=CN。分析：要证 BM=CN，由图形特征可构造以 BM、CN 为边的两个三角形，并证明这两个三角形全等。考虑 的平分线与 BC 边的垂直平分线相交于点 P，于是连接 PB、PC，则BAC利用垂直平分线和角平分线的知识即可解决。证明：因 AP 是角平分线， ， ，故 PM=PNPMBNAC又因 PD 是 BC 的垂直平分线，故 PB=PC因 PB=PC，PM=PN，故 RtPBMtCNBMCN点拨：这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用问题。上述解答省去了两次全等的证明，相信同学们一定能体会到线段的垂直平分线定理与角平分线定理在几何证明中的重要性。学 优中:考 ，网
