1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 37 炼 向量的数量积坐标法在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等） ，易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。一、基础知识1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量 不共线，则对于平面上的任一向量12,e，存在 ，使得 ，且这种表示唯一。其中 称为平面向量的一a,xyR12axey12,e组基底，而有序实数对 称为在 基底下的坐标,（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底 ，在方向上,ij它们分别与 轴
2、的正方向同向，在长度上， ，由平面向量基本定理可得：平面,xy 1ij上任一向量 ，均有 ，其坐标为 ，从图上可观察到恰好是将向量 起点与axiyj,xya坐标原点重合时，终点的坐标（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设，则 （可记为“终” “起” ） ，所以只要确定12,AxyB211,Axy 了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。另外 三个坐标知二可求一，所以当已,AB知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标2、向量的坐标运算：设 ，则有：12,axyby（1）加减运算： 2b（2）数乘运算： 1,（3）数量积运算： 2axy（4）向量的模长： 13
3、、向量位置关系的判定：（1）平行： 121abxy（2）垂直： 2100xy（3）向量夹角余弦值： 122cos,abxy4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -BCADE形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（ 等）30,456,12二、典型例题：例 1：在边长为 1 的正三角形 中，设
4、，则ABC,3BDCAEB_思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍 以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题 ，如图建系： 310,0,22ABC下面求 坐标：令E113,2xyExyCA由 可得： 3CA2336yy,6E50,26DBE14ADB答案： 14A例 2：（2012 江苏，9）如图，在矩形 中，C，点 为 中点，点 在边 上，若,2BCEBFD，则 的值是_AFA思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以 为坐标原点如图建系： ,设 ,由 在 上可20BFxyC得 ,再由 解出 : ，2y
5、AF ,2Ax，1Bx,1EyxBCADEEDABCFyxEDABCF高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -2,12,AEBF答案： 2例 3：如图，平行四边形 的两条对角线相交于 ，点 是 的中点，若 ，ABCDMPD2AB，且 ，则1AD60_PC思路：本题抓住 这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由 ， 可以写出各2AB1D点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解解：以 为 轴，过 的垂线作为 轴xy可得： 1352,0,2BC537,48MP135,8AC7178P答案： 1例 4：已知直角梯形 中， 是腰 上的动ABCD,90,2,1,ADCBCP D点，则 的
6、最小值为_3P思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特AB殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出 坐标，可先设高为 。Bh解：以 为轴建立直角坐标系，设梯形高为 ,DChMD CA BPMD CA BPBD ACP高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -则 ，设动点 ，则 2,01,ABh0,Py2,1,AyPBhy354P（等号成立： ）2235y334y答案： 小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时有时会遇
7、到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件” ，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用例 5：给定平面上四点 满足 ，则 面积,OABC4,3,2,3OBCOABC的最大值为 思路：由 可计算出 的夹3,2,3,角 ，则可按照这个特殊角建立坐标系，则由60BC可知 在以 为圆心，半径 的圆上。4OA4r， 若要求 的最大值，只3,1,7BABCS需找到 到 的最大值，数形结合可得距离的最大值为，进而可求出 的最大值。OBCdrABCS解： 即 3,01, 3:
8、2yx30yxmax47ABCOBCdr11332722ABABS 答案： 37高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -例 6：如图，在直角三角形 中， ，点 分别是 的中点，ABC3,1BC,MN,ABC点 是 内及边界上的任一点，则 的取值范围是_PABNP思路：直角三角形直角边已知，且 为图形内动点，所求不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设 ，M ,xy从而可得 ，而 所在范围是一块区15324ANPxyP域，所以联想到用线性规划求解解：以 为轴建立直角坐标系,CB，设130,3,02AMN,Pxy,2NPxy131524Axy 数形结合可得： 7,4NMP答
9、案： 7,4例 7：平面向量 满足 ，则 的最小值是_,abc1,2,1ebaeab思路：本题条件中有 ，而 可利用向量数量积的投影定义得到 在e ,ab上的投影分别为 1,2，通过作图可发现能够以 的起点为原点，所在直线为 轴建立坐标系，e x则 起点在原点，终点分别在 的直线上，从而 可坐标化，再求出 的最,ab1,2x,abab值即可解：如图建系可得： ,ab由 可得： 2ab 22213ab而 ，由轮换对称式不妨设 ，则 3aMNAC BP高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -2235234abaamin54答案： 例 8：已知点 为等边三角形 的中心， ，直线
10、 过点 交边 于点 ，交MABC2lMABP边 于点 ，则 的最大值为 . ACQP思路：本题由于 为过 的任一直线，所以l的值不确定，从而不容易利用三边向:,:PB量将 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，,C建立直角坐标系，从而 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线 方程，与,ABCMl方程联立解出 坐标，从而 可解出最大值,ABPQP解：以 为轴建立直角坐标系C31,0,0,A设直线 3:lykx由 可得：1,0,0,BCA:3:31Ayxyx解得： :31kPyx231ky解得：:31ykxQ231xkyQPAB CMQPAB CM高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资
11、源网- 7 -531531,33kkBQCP225175916333kkkkCP 22 2616840406kkk若直线与 相交，则 ,ABC3,214014026639QPk答案： 9例 9：如图，四边形 是半径为 的圆 的外切正方形，ABCD1O是圆 的内接正三角形，当 绕着圆心 旋转时，PRAOPQRA的取值范围是（ ）QA. B. 12,2,C. D. ,1,思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐标系，为了使坐标易于计算，可以 为坐标原点如图建系：O，确定 点的坐标是一个难点，观察两个0,1,OA,QR点之间的关系，无论 如何转动， ，如何从P23这个恒定的角度去刻画
12、此圆上两点坐标的联系呢：考虑圆的参数方程（参数的几何意义为圆心角，与角度相联系） ，设，从而 ，用 的三角函数将cos,inR 22cos,sin0,233Q两点坐标表示出来，从而可求出 的范围AOR y x高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -解： ，22cos1,sin133AQ cos,inOR2isn13OR 131=cossinsiicos2 23icoiniin11=sinsi2240,2,AQOR答案：选 C小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点，除了想到传统坐标之外，还应想到圆的参数方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的 ） ，可依靠参数
13、的23ROQ几何意义将条件充分的利用起来。例 10：在平面上， ， ，若 ，则12AB1212,OBAPB1P的取值范围是（ ）OA. B. C. D. 50,257,25,27,2思路：以 为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中 和 点坐标均未12AB 12,ABO知，为了能够进行坐标运算，将其用字母表示：设 ，则12,abxy，所求 范围即为求12,0,abPaO的范围。下一步将题目的模长翻译成 关系，xy,bxy再寻找关于 的不等关系即可2解：如图以 为轴建立坐标系：设1,AB，12,abOxy则 ,0,Pa222121 11axyBBb高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网
14、- 9 -与联系可得：2221144OPxayb，所以转变为：22211axybyx，即 221474x另一方面： 2221ayyax221xy221x同理，由 可得： 2bxy综上所述： ，则274xy272xyOA答案：D小炼有话说：（1）本题涉及到的点与线段较多，所以难点一方面在于是否能够想到建系去处理，还有一方面在于选择哪两条线作为坐标轴。也许有同学会从 入手，12BO选择 为坐标原点，这样 在以原点为圆心的单位圆上，且所求 只需计算出 的坐O12,BA标即可。但这种选法继续做下去会发现，首先 在圆上的位置不确定，坐标不易写出，12,B其次无法定位 ，从而使得条件 不便于使用。所以这种建系的方法在解题过程中,APOP障碍重重，不利于求解。而利用现有的垂直建系，会使得 的坐标易于表示，进而求12,AB出 坐标，只剩一个不好表示的 点，难度明显低于前一种建系方法。（2）在坐标系建好之后，说明此题主流的解法是用变量，表达式去解决，所以下一步就要将题目中的条件翻译成代数的关系。正所谓“数形结合”时，如果用到的是形，那么就将代数条件翻译成几何特点，如果用到的是数，那就要将几何条件翻译成代数的特点。所以在“数形结合”方法中“翻译”的步骤是必不可少的
