1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 87 炼 离散型随机变量分布列与数字特征一、基础知识：（一）离散型随机变量分布列：1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。例如：在扔硬币的试验中，用 1 表示正面朝上，用 0 表示反面朝上，则提到 1，即代表正面向上的事件。将事件量化后，便可进行该试验的数字分析（计
2、算期望与方差） ，同时也可以简洁的表示事件（2）量化的事件之间通常互为互斥事件（3）随机变量：如果将事件量化后的数构成一个数集，则可将随机变量理解为这个集合的代表元素。它可以取到数集中每一个数，且每取到一个数时，就代表试验的一个结果。例如：在上面扔硬币的试验中，设向上的结果为 ，则“ ”代表“正面向上” ， ”代表10“反面向上” ，（4）随机变量的记法：随机变量通常用 等表示,XY（5）随机变量的概率：记 为 取 所代表事件发生的概率iPxi2、离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量，离散型随机变量的取值集合可以是有限集，也可以是无限集3、分布列：一般地，若离散型
3、随机变量 可能取得不同值为 ， 取每一X12,inxx X个值 的概率 ，以表格的形式表示如下：1,2ixn iiPxpX2x i nxP1p i p称该表格为离散型随机变量 的分布列，分布列概率具有的性质为：X（1） 0,2,i n（2） ，此性质的作用如下：1pp高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 - 对于随机变量分布列，概率和为 1，有助于检查所求概率是否正确 若在随机变量取值中有一个复杂情况，可以考虑利用概率和为 1 的特征，求出其他较为简单情况的概率，利用间接法求出该复杂情况的概率（二）常见的分布：1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：（1）随机变量的取
4、值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布2、常见的分布（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件 发生的概率为 ，令Ap，则 的分布列为：,X事 件 发 生0， 事 件 未 发 生 X01P1pp则称 符合两点分布（也称伯努利分布） ，其中 称为成功概率X1PX（2）超几何分布：在含有 个特殊元素的 个元素中，不放回的任取 件，其中含有特殊MNn元素的个数记为 ，则有 ，其中,0,2knMCPXm i,Mn,nNn即： X01PnMNCnMNC mnMNC则称随机变量 服从超几何分布，记为
5、,XH:（3 ）二项分布：在 次独立重复试验中，事件 发生的概率为 ，设在 次试验中事件nApn发生的次数为随机变量 ，则有 ，即：A1,01,2nkknPCX01高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -P01nnCp11np 1nkknCp nCp则称随机变量 符合二项分布，记为 X,XB:（三）数字特征期望与方差1、期望：已知离散性随机变量 的分布列为：12 i nPp ip p则称 的值为 的期望，记为 12n E（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了 次这样的试验，每次试验随n机变量会取一个值（即结果所对应的数） ，将这些数进行统计，并计算平均数
6、，当 足够大时，n平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。例如：连续投篮三次，设投进篮的次数为随机变量 ，那么将这种连续三次投篮的试验重复做很多次（比如 次） ，X 410统计每次试验中 的取值 ，则这 个值的代数平均数将很接近期望1210, 0EX（2）期望的运算法则：若两个随机变量 存在线性对应关系： ，则有,ababE 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组 代表事件的概,率相同：若 的分布列为：则 的分布列为：ab 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。在某些直接求期望的12 nPp p12b nabPp p高考资源网（） 您身边的高考专
7、家 版权所有高考资源网- 4 -题目中，若所求期望的随机变量不符合特殊分布，但与一个特殊分布的随机变量间存在这样的关系，那么在计算期望时，便可借助这个特殊分布的随机变量计算出期望2、方差：已知离散性随机变量 的分布列为：12 i nPp ip p且记随机变量 的期望为 ，用 表示 的方差，则有：ED2221 nDE（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，与期望的理解类似，是指做了 次这样的试验，n每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数） ，将这些数进行统计。方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用
8、以下等式进行计算：设随机变量为 ，则 22DE（3）方差的运算法则：若两个随机变量 存在线性对应关系： ，则有：,ab2ab3、常见分布的期望与方差：（1）两点分布：则 ,1EXpDp（2）二项分布：若 ，则 Bn:,1EXnp（3）超几何分布：若 ，则,HNM2, 1nMNnDX注：通常随机变量的期望和方差是通过分布列计算得出，如果题目中跳过求分布列直接问期望（或方差） ，则可先观察该随机变量是否符合特殊的分布，或是与符合特殊分布的另一随机变量存在线性对应关系。从而跳过分布列中概率的计算，直接利用公式得到期望（或方差）二、典型例题：例 1：为加强大学生实践，创新能力和团队精神的培养，促进高等
9、教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲，乙等五支队伍参加决赛（1 ）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率（2 ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 ，求 的分布列和数学期望X（1）思路：本题可用古典概型进行解决，设 为“五支队伍的比赛顺序” ，则 ，5nA事件 为“甲乙排在前两位” ，则 ，从而可计算出A23nA PA解：设事件 为“甲乙排在前两位”23510nP（2）思路：一共五支队伍，所以甲乙之间间隔的队伍数 能取得值为
10、 ，同样适用于X0,123古典概型。可先将甲，乙占上位置，然后再解决“甲乙”的顺序与其他三支队伍间的顺序问题。解： 可取得值为X0,12354AP235110APX2351X 235的分布列为：0123P25301510310EX例 2：为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的 10 名教师中任选3 人去参加支教活动。这 10 名教师中，语文教师 3 人，数学教师 4 人，英语教师 3 人求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；（2）选出的 3 人中，语文教师人数 的分布列和数学期望X（1）思路：本题可用古典概型来解，事件 为“10 名教师中抽取 3 人” ，则
11、 ，310nC事件 为“语文教师人数多于数学教师人数” ，则分为“1 语 0 数” ， “2 语 1 数” ， “2 语 0 数” ，A高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -“3 语”四种情况，分别求出对应的情况的种数，加在一起即为 ，则 即可求出。nAP为了更好的用数学符号表示事件，可使用“字母+数字角标”的形式分别设出“3 人中有 名i语文教师”和“3 人中有 名数学教师” 。j设事件 为“3 人中有 名语文教师” ， 为“3 人中有 名数学教师” ，事件 为“语文iAijBjA教师人数多于数学教师人数” 1020213PBPAP2133334101009102CC
12、（2）思路：本题可将语文老师视为特殊元素，则问题转化为“10 个元素中不放回的抽取 3个元素，特殊元素个数的分布列” ，即符合超几何分布。随机变量 的取值为 ，按超X0,12几何分布的概率计算公式即可求出分布列及期望语文教师人数 可取的值为 ，依题意可得：X0,1231,3H:37105CP273106CPX23710X 3102的分布列为 13P3512063202101206901EX例 3：某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲，乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位：cm，且均为整数） ，同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图，跳
13、高成绩在 185cm 以上（包括 185cm）定义为“优秀” ，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在 190cm以上（包括 190cm）的只有两个人，且均在甲队（1 ）求甲，乙两队运动员的总人数 及乙队中成绩在 （单位：cm）内的运动员a10,7高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -人数 b（2 ）在甲，乙两队所有成绩在 180cm 以上的运动员中随机选取 2 人，已知至少有 1 人成绩为“优秀” ，求两人成绩均“优秀”的概率（3 ）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取 2 人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自
14、甲队的人数 的分布列及期望X（1）思路：本小问抓好入手点的关键是明确两个统计图的作用，茎叶图所给的数据为甲，乙两队的成绩，但乙队有残缺，所以很难从茎叶图上得到全体运动员的人数。在频率分布直方图中，所呈现的是所有运动员成绩的分布（但不区分甲，乙队） ，由此可明确要确定全体运动员的人数，需要通过直方图，要确定各队的情况，则需要茎叶图。要补齐乙队的数据，则两个图要结合着看。在第（1）问中，可以以 190cm 以上的人数为突破口，通过频率直方图可知 190cm 以上所占的频率为 ，而 190cm 以上只有 2 人，从而得到全体0.51.0人数，然后再根据频率直方图得到 的人数，减去甲队的人数即为 6,
15、7b解：由频率直方图可知：成绩在以 190cm 以上的运动员的频率为 0.51.0所以全体运动馆总人数 （人）24.a成绩位于 中运动员的频率为 ，人数为 160,7.3.40.312由茎叶图可知：甲队成绩在 的运动员有 3 名160,7（人）239b（2）思路：通过频率直方图可知 180cm 以上运动员总数为：（人） ，结合茎叶图可知乙在 180cm 以上不缺数据。题目所求05104的是条件概率，所以可想到公式高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -，分别求出“至少有 1 人成绩为优秀 ”和“两人成绩均优秀 ”|PAB的概率，然后再代入计算即可解：由频率直方图可得：18
16、0cm 以上运动员总数为： 0.2.5104由茎叶图可得，甲乙队 180cm 以上人数恰好 10 人，且优秀的人数为 6 人乙在这部分数据不缺失设事件 为“至少有 1 人成绩优秀 ”，事件 为“两人成绩均优秀 ”AB241035CP26103AB15|=3PAB（3）思路：由（2）及茎叶图可得：在优秀的 6 名运动员中，甲占了 4 名，乙占了 2 名，依题意可知 的取值为 ，且 符合超几何分布，进而可按公式进行概率的计算X,2X解：由（2）可得：甲有 4 名优秀队员，乙有 2 名优秀队员可取的值为 0,12465CPX142685CPX2046=1的分布列为：XX012P5851824053E
17、X例 4：现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -（1 ）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ，求随机变量XY的分布列与数学期望 E.（1）思路：按题意要求可知去参加甲游戏的概率为 ，参加乙游戏的概率为126
18、3P，4 个人扔骰子相互独立，所以属于独立重复试验模型，利用该模型求出概率即263P可。解：依题意可得：参加甲游戏的概率为 ，参加乙游戏的概率为1263P2463P设事件 为“有 个人参加甲游戏”iAi44123iiiiPC224837AC（2）思路：若甲游戏人数大于乙游戏人数，即为事件 ，又因为 互斥，所以根4A34,据加法公式可得： ，进而可计算出概率34P解：设事件 为“甲游戏人数大于乙游戏人数”B34A3434341219PPAC（3）思路： 表示两个游戏人数的差，所以 可取的值为 。 时对应的XY0,2情况为 ， 时对应的情况为 ， 时对应的情况为 ，从而可计算出对2A13,44A应
19、的概率，得到分布列解： 可取的值为0,42241837PAC33113441208PC高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -44004217438PAPC82740811784010E例 5：某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 分钟32（1 ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率（2 ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望，方差解：（1）思路：条件中说明各路口遇到红灯的情况相互独立， 。在第三个路口首次遇到红灯，即前两次没有遇到，第三次遇到红灯。
20、使用概率乘法即可计算解：设事件 为“在第 个路口遇到红灯” ，则 ， iAi 13iPA213iiPA设事件 为“第三个路口首次遇到红灯”即 1212312347PP（2）思路：在上学途中遇到一次红灯就需要停留 2 分钟，一共四个路口，所以要停留的时间 可取的值为 ，依题意可知 的取值对应的遇到红灯次数 为 ，且该0,4680,1234模型属于独立重复试验模型，所以可用形如二项分布的公式计算遇到红灯次数的概率，即为对应 取值的概率，从而列出分布列，在计算期望与方差时，如果借用分布列计算，虽然可得到答案，但过程比较复杂（尤其是方差） ，考虑到 符合二项分布，其期望与方差可通过公式迅速得到，且 与
21、 之间存在联系： 。所以先利用二项分布求出 的期望与方差，2再利用运算公式得到 的期望方差即可解： 可取的值为 ，设遇到红灯的次数为 ，则 对应的值为0,24680,12341,3B:高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -40216038PC3142281PC24434186PC483的分布列为：02468P16831814,3B:4Enp2439Dnp283E2D小炼有话说：本题的亮点在于求 的期望方差时，并不是生硬套用公式计算，而是寻找一个有特殊分布的随机变量 ，通过两随机变量的联系（线性关系）和 的期望方差来得到所求。例 6：甲，乙去某公司应聘面试，该公司的面试
22、方案为:应聘者从 6道备选题中一次性随机抽取 3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知 道备选题中应聘者甲有 4道题能正确完成， 2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影23响（1) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？（1）思路：依题意可知对于甲而言，只要在抽题的过程中，抽中甲会答的题目，则甲一定能够答对，所以甲完成面试题数的关键在于抽题，即从 6 道题目中抽取 3 道，抽到甲会的 4高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -道题的数量 ，可知 符合超几何分
23、布；对于乙而言，抽的题目是无差别的，答对的概率X相同，所以乙正确完成面试题数 符合二项分布。从而利用超几何分布与二项分布的概率公Y式即可得到分布列和方差解：（1）设 为甲正确完成面试题的数量， 为乙正确完成面试题的数量，依题意可得：， 可取的值为6,34XH:X1,2312365CP142365CP3042615CPX的分布列为：X123P51513225EX,YB:033217PC12367PYC213Y 0382的分布列为： Y0123P27948714803279EY（2）思路：由（1）可知 ，说明甲，乙两个人的平均水平相同，所以考虑甲，乙EXY发挥的稳定性，即再计算 ，比较它们的大小即
24、可,D解： 222311555DX3Ynp高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -甲发挥的稳定性更强，则甲胜出的概率较大小炼有话说：（1）第（2）问在决策时，用到了期望和方差的意义，即期望表明随机变量取值的平均情况，而方差体现了随机变量取值是相对分散（不稳定）还是集中（稳定） ，了解它们的含义有助于解决此类问题（2）当随机变量符合特殊分布时，其方差也有公式以方便运算： 二项分布：若 ，则,XBnp:1DXnp 超几何分布：若 ，则,HNM21NMn例 7：某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过 2 小时收费 100，超过 2 小时的
25、部分按每小时 100 收取（不足一小时按一小时计算） 现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为，租用 2 小时以上且不超过 3 小时的概率分别为 ，两人租用的时间都不超过 4 小1,3 1,32时（1 ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（2 ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量 ，求 的分布列与数学期望解：（1）设事件 为“甲，乙租用时间均不超过 2 小时 ” A1326PA事件 为“甲，乙租用时间均在 2 小时至 3 小时之间” B B事件 为“甲，乙租用时间均在 3 小时至 4 小时之间”C11326P故所求事件的概率 13PABC（2 ） 的取
26、值可以为0,4,50则 1()236P011(4)3236（ ） （ -）1552P（ ） （ ）高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 14 -11(60)2336P（ ） （ ）故 的分布列为： 040560P163163132045E例 8：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，将遇到黑色障碍物 3 次，最后落入 袋或 袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向AB左，右两边下落的概率分别是 12,（1 ）分别求出小球落入 袋和 袋中的概率AB（2 ）在容器入口处依次放入 4 个小球，记 为落入 袋中的小球个数，B求 的分布列和数学期望
27、（1）思路：本题的关键要抓住小球下落的特点，通过观察图形可得：小球要经历三层障碍物，且在经历每层障碍物时，只有一直向左边或者一直向右边下落，才有可能落到 袋中，A其余的情况均落入 袋，所以以 袋为突破口即可求出概率BA解：设事件 为“小球落入 袋” ，事件 为“小球落入 袋” ，可知 ABB依题意可得： 3121873PB（2）思路：每个小球下落的过程是彼此独立的，所以属于独立重复试验模型，由（1）可得：在每次试验中，落入 袋发生的概率为 ，所以 服从二项分布，即 ，运用二2324,3B:项分布概率计算公式即可得到答案解： 可取的值为 ，可知0,123424,3B:048PC31481PC高考
28、资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -241438PC34218PC46的分布列为：01234P848168243E例 9“已知正方形 的边长为 ， 分别是边 的中ABCD2EFGH、 、 、 ABCDA、 、 、点（1 ）在正方形 内部随机取一点 ，求满足 的概率；P|2（2 ）从 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的、 、 、 、 、 、 、距离为 ，求随机变量 的分布列与数学期望 E（1）思路：首先明确本题应该利用几何概型求解（基本事件位等可能事件，且基本事件个数为无限多个） 。 为“正方形内部的点” ，所以，设事件 为“ ”，则 点位于24SA|2PHP以
29、 为圆心， 为半径的圆内，所以 为正方形与圆HSA的公共部分面积，计算可得：，从而算出12AHEDGEHSS:形 P解：设事件 为“ ”|P1248SPA（2）思路：八个点中任取两点，由正方形性质可知两点距离 可取的值为 ，1,25,概率的计算可用古典概型完成。 为“八个点中任取两点” ，则 ，当8nC GFE HAB CDP高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 16 -时，两点为边上相邻两点，共 8 组；当 时，该两点与中点相关有 4 组；当1 2时，除了正方形四条边，还有 ，所以由 6 组；当 时，该两点为顶点与2,EGHF5对边中点，共 8 组；当 时，只能是正方形对角
30、线 ，有 2 组，根据每种情况2,ACBD的个数即可计算出概率，完成分布列解： 可取的值为1,5,28PC284PC286PC285 28的分布列为：1252P73147142135274E 例 10：一种电脑屏幕保护画面，只有符号 和 随机地反复出现，每秒钟变化一次，“OX每次变化只出现 和 之一，其中出现 的概率为 ，出现 的概率为 ，若第“OXp“Xq次出现 ，则记 ；出现 ，则记 ，令 k1ka“1ka12nnSaa（1 ）当 时，求 的分布列及数学期望3,42pq3S（2 ）当 时，求 且 的概率820,234i（1）思路：依题意可知 表示试验进行了三次，可能的情况为 3 ，1 2
31、，23 “X“O1 ，3 。且符合独立重复试验模型。根据题目要求可知对应 的取值为“OX“ 3S，分别计算出概率即可列出分布列,解： 的取值为3S,13高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 17 -33146PSq2233139146PSCqp2123374Cp 337的分布列为：3S3S13P64927643127364E（2）思路：由 可知在 8 次试验中出现 5 次 ，3 次 。而 可82S“O“X01,234iS知在前四次中，出现 的次数要大于出现 的次数，可根据前四次出现 的个数进“O“行分类讨论，并根据 安排 和 出现的顺序01,34i“解：设 为“前四次试验中出
32、现 个 ，且 ，iAiX82S01,234i434301165PpCq2222134 143365Ap1313244PpqqCp3 3221443 65 1234086517PAPA三、历年好题精选1、已知 箱装有编号为 的五个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同） ，,箱装有编号为 的两个小球（小球除编号不同之外，其他完全相同）,甲从 A 箱中任取一B24个小球，乙从 B 箱中任取一个小球，用 分别表示甲，乙两人取得的小球上的数字.来源:学科网,XY（1 ）求概率 ；PXY高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 18 -（2 ）设随机变量 ，求 的分布列及数学期望 .,XY
33、2、春节期间，某商场决定从 3 种服装，2 种家电，3 种日用品中，选出 3 种商品进行促销活动（1 ）试求出选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率（2 ）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高 100元，规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖机会：若中一次奖，则获得数额为 元的奖金；若中m两次奖，则共获得数额为 元的奖金，若中 3 次奖，则共获得数额为 元的奖金，假设m6顾客每次抽奖中奖的概率都是 ，请问：商场将奖金数额 最高定为多少元，才能使促销方1案对商场有利3、为了搞好某次大型会议的接待工作，组委会在某校招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者，将
34、这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ）若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个子” ，切只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”（1 ）求 12 名男志愿者的中位数（2 ）如果用分层抽样的方法从所有“高个子” ， “非高个子”中共抽取 5 人，再从这 5 个人中选 2 人，那么至少有一个是“高个子”的概率是多少？（3 ）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 X 的分布列并求出期望4、如图所示：机器人海宝按照以下程序运行： 从 A 出发到
35、达点 B 或 C 或 D，到达点 B,C,D 之一就停止 每次只向右或向下按路线运行 在每个路口向下的概率为 13 到达 P 时只向下，到达 Q 点只向右（1 ）求海宝从点 A 经过 M 到点 B 的概率和从 A 经过 N 到点 C 的概率（2 ）记海宝到 B,C,D 的事件分别记为 ，求随机变量 的分布列及期望1,2,3XX高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 19 -5、如图，一个小球从 处投入，通过管道自上而下落至 或MA或 ，已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等BC的，某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入到小球落到，则分别设为一、二、三等奖,A（1 ）
36、已知获得一、二、三、等奖的折扣率分别为，记随机变量 为获得 等奖的折扣率，求随机50%,79k变量 的分布列及期望（2 ）若由 3 人参加促销活动，记随机变量 为获得一等奖或二等奖的人数，求 2P6、某地区一个季节下雨天的概率是 0.3，气象台预报天气的准确率为 0.8，某场生产的产品当天怕雨，若下雨而不作处理，每天会损失 3000 元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天 500 元（1 ）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失 的概率分布，并求其平均值（2 ）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以 表示每天的损失，写出 的概率分布，计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否
37、是正确的选择7、正四棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，从正四棱柱的 12 条棱中任取两条，设 为随机13变量，当两条棱相交时，记 ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条0棱异面时，记 3（1 ）求概率 P（2 ）求 的分布列，并求其数学期望E8、投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 ，复审的稿件能通过评审的概率为0.50.3（1 ）求投到该杂志的一篇稿件被录用
38、的概率（2 ）记 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 的分布列及期望XX高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 20 -9、 （2016，湖南师大附中月考）师大附中高一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，以每间隔 10 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 20 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ ）分成六段：/kmh统计后得到如下图的频率分布直方70,5,80,58,90,59,1图（1）此研究性学习小组在采集中，用到的是什么抽样方法？并求这 20 辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在 的车辆中做任意抽取 3
39、 辆，求80,9车速在 和 内都有车辆的概率；,5（3）若从车速在 的车辆中任意抽取 3 辆，求车速在 的车辆数的数学期,190,5望10、已知暗箱中开始有 3 个红球，2 个白球（所有的球除颜色外其它均相同） ，现每次从暗箱中取出一个球后，再将此球以及与它同色的 5 个球（共 6 个球）一起放回箱中（1 ）求第二次取出红球的概率（2 ）求第三次取出白球的概率（3 ）设取出白球得 5 分，取出红球得 8 分，求连续取球 3 次得分 的分布列和数学期望X11、某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 200 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红色球
40、， 1 个黄色球，1 个蓝色球和 1个黑色球，顾客不放回的每次摸出 1 个球，直至摸到黑色球停止摸奖，规定摸到红色球奖励10 元，摸到黄色球或蓝色球奖励 5 元，摸到黑色球无奖励（1 ）求一名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率（2 ）记 为一名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量 的分布列和数学期望XX12、某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在 9.5 分及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的过程相互独立，并规定： 两轮测试均通过的定为一级工程师 仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师高考资源网（） 您身边的高
41、考专家 版权所有高考资源网- 21 - 第一轮测试没通过的不予定级已知甲，乙，丙三位工程师通过第一轮测试的概率分别为 ；通过第二轮测试的概率12,3均为 12（1 ）求经过本次考核，甲被定为一级工程师，乙被定为二级工程师的概率（2 ）求经过本次考核，甲，乙，丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率（3 ）设甲，乙，丙三位工程师中被定为一级工程师的人数为随机变量 ，求 的分布列和X数学期望13、 （ 2015，广东）已知随机变量 服从二项分布 ，若 ，则X,Bnp30,2ED_p14、 （ 2015，安徽）已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出
