1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 53 炼 求数列的通项公式一、基础知识求通项公式的方法1、累加（累乘法）（1）累加法：如果递推公式形式为： ，则可利用累加法求通项公式1naf 等号右边为关于 的表达式，且能够进行求和n 的系数相同，且为作差的形式1,na例：数列 满足： ，且 ，求1a12nnana解： 12nn1a12累加可得： 211nna123nn2na（2）累乘法：如果递推公式形式为： ，则可利用累加法求通项公式1naf例：已知数列 满足： ，且 ，求na11nna解： 1nn1212naa 1n1n2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻
2、项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -项公式（1）形如 的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。1,0napq例：数列 中， ， ，求数列 的通项公式n1132nana思路：观察到 与 有近似 3 倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对 与n na分别加上同一个常数 ，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出1na 解：设 即13na12na对比 ，可得2n1na是公比为 的等比数列n311n 123na（2）形如 ，此类问题可先处理 ，两边同时除以
3、 ，得 ，1nnapqnqnq1napq进而构造成 ，设 ，从而变成 ，从而将问题转化为第1nnnab1nnpb（1）个问题例：在数列 中， ，na1132nna解： 132n是公差为 2 的等差数列3na153nn523na小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如 （其中1napfn高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -为关于 的表达式） ，可两边同时除以 ， 。设 ，即fn np1nnfapnabp，进而只要 可进行求和，便可用累加的方法求出 ，进而求出 。1nnfbpnf nn以（1）中的例题为例：132na1233nna设 ，则nb1123nn112
4、nnb2213b 1223 11 313nn nnb 233nnn121nnnaa（3）形如： ，可以考虑两边同时除以 ，转化为 的11nnqp1na1nqpa形式，进而可设 ，递推公式变为 ，转变为上面的类型求解nba1nqbp例：已知在数列 中， ，且n10,2n112nnaa解： 1112nnnaa高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -12na12na 21a累加可得： 1n115222n naa542n（4）形如 ，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，1nnpaqak则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为： 的形211nnpaqak式，将 ，进而可转
5、化为上面所述类型进行求解1nnb例：已知数列 中， ，且 ，求a12,3a214nnn解： 2114nnna设 ，则 ，且b1b21b为公差是 4 的等差数列n12nna14212a412nn42n243na4、题目中出现关于 的等式：一方面可通过特殊值法（令 ）求出首项，另一方面,nSa 1n高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -可考虑将等式转化为纯 或纯 的递推式，然后再求出 的通项公式。nSana例：已知数列 各项均为正数， ，求na1,2nNn解： 1,2nnaSS两式相减，可得： 11 ,222nnn aNn21111nnnnaa111nnn0aa是公差为 1
6、 的等差数列n在 中，令 ，可得2nnS112aS1nad5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。 （详见例 5，例8）以上面的一个例子为例：数列 中， ， ，求数列 的通项公式na1132nana解： 132na 可得：113nnaa是公比为 的等比数列 2135a214高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -111234nnnaa4312nn0214a累加后可得： 1211 3342n
7、nnna23na6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明（详见数学归纳法）例 1：在数列 中， ，求数列 的通项na211, 3,nnnaNna公式 n思路：观察递推公式中 的特点，两边同时除以 可得1nan，进而可将 视为一个整体，利用累加法即可得到 的表达式，213nnna na从而求出解： 21nnna即3213nna则有 21nn32a21累加可得： 121 323nnna高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -即 113nnnan例 2：已知在数列 中， ， ，则 的通项公式为_na121nnSana思路：在本题中很难直接消去 ，
8、所以考虑 用 进行表示，求出 之后再解出nSn1nnSna解： 当 时，2,nN1nna，整理可得：2 21 1nnnnnnSSSS112n为公差为 2 的等差数列1nSnS121n1n,23,nna点评：在 同时存在的等式中， nS例 3：数列 满足 ，则 _a110,2na2015a思路：只从所给递推公式很难进行变形，所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系：即，两式相减可得： ，从12,n N12,nanN而可得在 中，奇数项和偶数项分别可构成公差为 2 的等差数列，所以na20157014d答案： 4例 4：已知数列 满足： ，且 ，则数列 的通na132132,nnaNna高考资源网（）
9、 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -项公式为_思路：观察到递推公式的分子只有 ，所以考虑两边同取倒数，再进行变形：1na，从而找到同构特111132222333nnnnnnaaa点，并设为辅助数列： ，求出 通项公式后即可解出nbanbn解： 132nna112233nna设 ，则 ，1nnnba1nb1而 为公比是 的等比数列1233nbn3即11nnnb1nna3nnna例 5：已知数列 为正项数列，且 ，求na12442nSSaa na解： 1242nS12114nnSaa 2,N 可得：，2442nnnSa2在已知等式中令 ，可得： ，满足上式11142Saa24nnSa1
10、1高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -两式相减可得： 2214nnnaa，2111nnnaa12na为公差是 2 的等差数列，由可解得：121ndn例 6：已知数列 的各项均为正数，且 ，求na2nnSana思路：所给为 的关系，先会想到转为 递推公式， ，两,nSn 1122nnS式相减可得： ，很难再往下进行。从而1112nnnnaaaa考虑化为 的递推式： 时， ，从而nS21 112nn nnSSS为公差是 1 的等差数列，可求出 ，进而求出2n na解： ，当 ，有nnSa211nnnSS1 11 12n nn nS为公差是 1 的等差数列1nS2在 中，2
11、1nnnSa令 可得： 可解得11212nSn1, 1,2,n nnaa小炼有话说：在处理 的式子时，两种处理方向如果一个没有进展，则立刻尝试另一个,nS高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -方向。本题虽然表面来看消去 方便，但通过运算发现递推公式无法再进行处理。所以立刻nS调转方向，去得到 的式子，迂回一下再求出n na例 7：已知数列 满足 ， ，求 的通项公式na)(3)1(11 nnn 2na解： 1()3n a 113nnnna 是公差为 的等差数列n31123nna352na例 8：设数列 中， ，则数列 的通项公式n1122,1nnabNnb为 _nb思
12、路：题目中所给的是 的递推公式，若要求得 ，则考虑以 作为桥梁得到关于 的nanbnanb递推公式： ，代入 可得：12nb12na，所以可得 为等比数列，且124211nnnnaab nb，从而可得：124ba1nnb答案： 1n例 9：在数列 中， ， ，求数列 的n1a )(21.321 Nnanana通项 na高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -解： )(21.321 Nnana121,2nnn133nnnaa2132 23n 2na21a23,nN2,1nna例 10：设数列 满足： ，且对于其中任意三个连续的项 ，都有：n12,a1,na，求 通项公式1
13、2nnan思路：由已知条件可得： ，观察发现 的系数和与11nnnaa1,na相等，所以可将 拆为 和 ，从而与 配对，将原递推公式转na ,化为： ，进而可将 视为一个整体，设为 ，则符合累乘的特点。1n1na nb累乘后可得： ，再进行累加即可得到通项公式12na解： 11112nnn nnnaa1 1nna高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -设 ，即11na1nnba1nb12 1223n nb 1n121ba1nnan112211122nnaann 2即 1nan23na思路二：本题还可以从递推公式中的“同构入手” ，构造辅助数列，此三项具备同构特点，11 1122nnn nnnaaa故设 ，则递推公式变为： ，所以 为等差数列，其公差可由nb1nnbnb计算，从而得到 通项公式以求得 12,na解： 112nna112nnn设 ，则递推公式变为：ba1nb为等差数列n12,4213d，即13nbdnna3a高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -小炼有话说：两个思路对比可发现，求数列的通项公式关键在于寻找合适的模型，抓住递推公式的特点构造出辅助数列，选取角度的不同也会导致运算复杂程度的差异
