1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 42 炼 利用函数性质与图像比较大小一、基础知识：（一）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用： 在 单调递增，则fx,ab(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数21212,xabf值大小关系的桥梁）2、导数运算法则：（1） fxgfxgfx（2） 23、常见描述单调性的形式（1）导数形式： 单调递增； 单调递减0fxfx0fxfx（2）定义形式： 或 ：表示函数值的差与121212ff对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处
2、理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较（二）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -（1）若 关于 轴对称，且
3、 单fxa,a调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若 关于 轴对称，且 单调fxa,a减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小三、例题精析：例 1：对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ ）Rfx20xfA. B. 32ff 132ffC. D. 1f思路：由 可按各项符号判断出 与 异号，即 时， ,0xf2xf2x0fx时，
4、 在 单调递减，在 上单调递增2xfx,+，进而 minff1232ff132ff答案：C小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。这样做可以简化表达式的运算。高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -例 2： 已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时，Rfxfx0，若 ，则下列关于 的 0fxf1,2,ln22afbfcf ,abc大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. bacccbac思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的 的结构均为,b的形式，故与不等式找到联系。当 时，xf 0x，即 ，令 ，
5、由此可得 0()ffxfff()gxf在 上单调递增。 为奇函数，可判定出 为偶函数，关于 轴对称。gx,f y，作图观察距离 轴近的函数值小， 与 可作差比1,2,lnabgc yln21较大小： 14lnll02e进而可得： bca答案：D例 3：函数 在定义域 内可导，若 ，且当 时，()fxR()2)fx,1x，设 ，则 的大小关系是（ ）10xf1(),3afbfcf,abcA. B. C. D. abccab思路：由 可判断出 关于 轴对称，()2)fxfx1再由 ，可得 时， ，所以1010在 单调递增，由轴对称的特点可知： 在fx,fx单调递减。作出草图可得：距离 越近的点，函
6、,x数值越大。所以只需比较自变量距离 的远近即可判断出 1bac答案：B例 4：已知 是周期为 的偶函数，且在区间 上是增函数，则fx20,高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -的大小关系是（ ）5.,1,0fffA. B. 15.0fffC. D. 0.fff .思路： 的周期为 ，所以可利用周期性将自变量放置同一x2个周期内： ，而由 偶函数及 单调5.0.fffx0,1递增，作图可知在区间 中，距离 轴近的函数值小，所以1,y有 0ffff答案：C小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。从而代替原来的自变量。例 5：已知函数
7、为偶函数，当 时，函数 ，设1fx1,xsinfx， ，则 的大小关系为（ ）2af3,0bfcf,abcA. B. C. D. cabac思路：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析 的性质，由fx为偶函数可得： ，从而 关于1fx1fxff轴对称，当 ，可计算 ，所,xcos10x以 在 单调递减，结合对称性可得距离对称轴 越f, 近，函数值越大，所以 1302fff答案：D小炼有话说：本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。所以说题目中有sinfx的条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正
8、确的方向。高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -例 6：已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上是增函数，令()fxR0,， ，则 大小关系为_2sin7af55cos,tan77bff,bc思路：由 为偶函数且在 单调递增可得距离 轴越近，函数值越小。所以需比较fx0,y自变量与 轴距离： ，则需比,abcy5252cos=cos,tan=ttan777较 的大小，因为 ，所以 ，所22sin,o,tan74t1sicos以 cb答案：小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解成这两步分别处理即可。在比较三角函数时，本题有这样
9、两个亮点：一是“求同存异”发现涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；二,abc是利用好“桥梁” ，比较的关键之处在与 这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正4切值与 1 大小的分界线，而正余弦不大于 1，所以 的正切值最大；另一条是正余弦大小27的分界线， 时， ；而 时， 。0,4sinco,4sinco例 7：已知函数 ，且 ，则 的大小关系是（ 2log1yx0ab,fabfc）A. B. fafbfcfcfbfaC. D. fffbacfaffcb思路：本题具备同构特点 ，但导数2log1fxy难于分析2 log11nxy 单调性，fx高考资源网（
10、） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -故无法比较 的大小。换一个角度，可发现 的图像可作，且,fabfcfx具备几何含义，即 ，即 与原点连线的斜率。所以作出fx 0fxf,xf的图像，可观察到图像上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由f可得：0abcfcfbfa答案：B例 8：已知函数 在 上可导，其导函数为 ，若 满足： fxRfxf，则下列判断一定正确的是 （ ）10,x22fxeA B C Df0f30fef34e思路：联系选项分析条件 ：当 时， ，1xffx1xfxf即 令 在 单调递增，20xxeff0xexfFeF,而选项中 均不在单增区间中，考虑利用 进行
11、转换。首先1,f 22xffe要读懂 说的是 与 的关系，而 与 刚好在 的22xxfe2fx 1两侧，所以达到一个将 左侧的点转到右侧的作用。在 中令12xfxfe可得： ，可代入 B,C 选项进行比较，C 正确。而 A,D 两个选2x20fffe项也可以代入进行验证。答案：C小炼有话说：由于 ，所以在求导时此项不发生变化，有可能在化简时隐藏起来。xe所以对于形如 等轮流求导的式子可猜想隐含 项，进 ()0,0ffxfxe而结合选项进行变形高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -例 9：定义在 上的函数 ， 为它的导函数，且恒有 成0,2fx()f ()tanfxfx立
12、，则（ ）A. B. 343ff12sin16ffC. D. 26ff 33ff思路：尽管发现 存在轮流求导很难直接发现乘除关系。看选项不难发现()tanfxfx规律： 434343324322siniffffffff等，不等号两侧均为 的形式，其导函数1612sin6isinffff sinfxy为 于是考虑构造条件中的不等式： 2()sico()sinfxfxfsin()ta()xffffsincos0fxfx即 , 在 上单调递增，根据单调 2sico()0nxx0siiy,2性即可判断四个选项是否正确答案：D例 10：设 均为实数，且 ，则123,x1 232132231log,log
13、,log3x xx的大小关系为（ ）123,A. B. C. D. 2x321x312x213x思路：本题单从指对数方面，不便于比较 大小。进2,高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -一步可发现 均可视为两个函数的交点，且每一个等式的左侧为同一个函数 ，123,x 13xy而右侧也都可作图，所以考虑在同一个坐标系下作图，并观察交点的位置，进而判断出的大小123,x答案：A三、历年好题精选1、 （2016，内江四模）设函数 在 R 上存在导数 ，在 上 ，)(xf )(xf)0，xf2sin(且 ，有 ，则以下大小关系一定正确的是（ ）Rxxf2sin)(A. B. 54
14、63f 4ffC. D. ff ff2、 （2015，福建）若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足Rfx01fx，则下列结论中一定错误的是（ ） 1fxkA. B. C. D. f1fk1fk1kf3、 （2015，陕西文）设 ，若 ，则下列ln,0fxab,2abpfbqfrfafb关系式中正确的是（ ）A. B. C. D. qrpqrprqprq4、 （2015，天津）已知定义在 上的函数 为偶函数，记R21xmfR，则 的大小关系为（ ）0.52log3,log5,afbfc,abcA. B. C. D. cacba5、 （2014，山东）已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是（
15、 ,xy01xy）A. B. 221xy 22lnl1xy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -C. D. sinxy3xy6、已知 的导函数是 ，记log1afxf,1AfaBffa，则（ ）,1CA. B. C. D. ABACBCA7、定义在 上的可导函数 ，当 时， 恒成立，Rfx1, fxfxf，则 的大小关系为（ ）12,3,2afbfcf,abcA B C D cbcba8、（2014 陕西省五校联考 10 ）已知 为 R 上的可导函数，且 均有 ，()fx,xR()fxf则有（ ）A 2013 2013()(0,)()effefB C 2013 2013
16、()(,)()effefD 0高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -习题答案：1、答案：C解析：由 可得：xf2sin)( 1sin20cos20fxfx设 ，则 在 单调递减1cogxfg,2cosincos1fxfxx，可得 关于 中心对称1gxg10,在 上单调递减且Rcos2fxx分别比较四个选项，可知在 C 选项中：5151cos62364fgg483f 再由 可知56g)34()65(ff2、答案：C解析：构造函数 ，则 ，即 在 上为增函数，xfkx 0gfxkgxR因为 ，所以 ， ，所以可得：1k0k1101f，C 错误。其它选项则无法判断对错f3、
17、答案：C解析： ，所以1ln,ln,lnln22abpfabqfraba高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -，由 可得 ，从而 pr0ba2abprq4、答案：C解析：通过数形结合可知 为偶函数时 ，即 ，作图可知1xmf021xf距离 轴越近的点，其函数值越小。考虑 ，所以 y 0.52log3llog5cab5、答案：D解析：由 可得： ，观察到四个选项不等号两侧式子同构，所以构01xyaxy造函数，利用单调性即可判断不等式是否成立： 在 单增，在21Afx,0单减，所以不恒成立。同理 ， 均不单调，所以不等式不0,2lnBfCf能恒成立。 为增函数，所以由 可
18、得3Dfxxy36、答案：A解析： 可视为 两点连线斜率，而11fafBfaf1,xa分别为 曲线在 处的切线斜率，数形结合可得：,Cfx,xABC7、答案：A解析：题目条件为 ，具备轮流求导特点，可猜测所研究的函数为10ff，从 中也印证这一点：fxF,abc， ， ，进而分析 ，21ffa31f21fFx为在 单调递增，所以 20xffxF1,即23Fcab8、答案：A解析：对四个选项进行变形可发现所比较的两项结构均呈现 的形式，而条件 xfye，体现轮流求导的特点。验证： () 0fxffxf高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -，刚好和条件找到联系。 2xxx xfeffffe 0xfe单调递减 ，xfye20130ffe201320130()()ffffe
