第73炼 求参数的取值范围.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 73 炼 求参数的取值范围一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围 椭圆（以 为例） ，则 ，210xyab,xa,yb 双曲线：（以 为例） ，则 （左支） （右支）2,ayR 抛物线：（以 为例，则20px0,x（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程 0（3）点与椭圆（以 为例

2、）位置关系：若点 在椭圆内，则210xyab0,xy201xyab（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有： 二次函数；“对勾函数” ； 反比例函数；0ayx 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。（2）二元函数：若题目中

3、涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式） ，一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可二、典型例题：例 1：已知椭圆 ，

4、、 是其左右焦点，离心率为 ，且经过2:10xyCab1F2 63点 .3,（1）求椭圆 的标准方程； （2）若 分别是椭圆长轴的左右端点， 为椭圆上动点，设直线 斜率为 ，且12,AQ1AQk，求直线 斜率的取值范围；,3kA2解：（1） 6cea:3:12abc椭圆方程为： 代入 可得： 213xyb,24椭圆方程为： 21a21xy（2 ）由（1 ）可得： 设 ，123,0,A,Qxy则 3ykx2Qykx2213AQ在椭圆上 22214xyx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -2213AQykx2A,2k即1,3k2,13AQ例 2：已知椭圆 的离心率为 ，其

5、左，右焦点分别是 ，2:0xyCab212,F过点 的直线 交椭圆 于 两点，且 的周长为 1Fl,EG2FA4（1 ）求椭圆 的方程（2 ）若过点 的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满足2,0MC,BP（ 为坐标原点） ，当 时，求实数 的取值范围OABtP 253PAt解：（1） 2cea:1abc的周长 2EGFA42C1b椭圆方程为： 21xy（2 ）设直线 的方程为 ， ， AB2kx12,AyBx,PxyOtP12ty联立直线与椭圆方程： 222180kxkxk，解得： 284180k231212122284, 411kkxykx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权

6、所有高考资源网- 4 -，代入 可得： 22814kxtyt21xy228411kktt2216kt由条件 可得：53PAB253AB21kx，代入 可得：22112049221218,kkxx22 228430kk21421,422268=,13kt 6,3t例 3：在平面直角坐标系中，已知椭圆 的离心率为 ，且在所2:10xyCab2有过焦点的弦中，弦长的最小值为（1）求椭圆方程（2）若过点 的直线 与椭圆交于不同的两点 （ 在 之间） ，求三角形0,2Bl ,EF,B与三角形 面积比值的范围OEF解：（1） 2cea:2:1abc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5

7、 -由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为 2ba1,2ba椭圆方程为 1xy（2 ）设 ， :2lk12,ExFy2OBEOBSSx A A12BFxA联立直线与椭圆方程：221860ykxkx222384同号12122,0kxxk12,x2 221 12836x xkk23k2264,1331k1264x设 ，所解不等式为： 120xt124163ttt，即12,3x1,3OBEFSA高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -例 4：已知椭圆 的离心率为 ，直线 与以原点为圆21:0xyCab3:2lyx心，椭圆 的短半轴长为半径的圆相切1（1 ）求椭圆 的方程（2 ）设椭圆

8、 的左焦点为 ，右焦点为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线1C1F21lF垂直于直线 ，垂足为点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方llP2M2C程（3 ）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 ，求 的取值2CxQ,RS2C0QRS范围解：（1） 与圆 相切3ceac:lyx22yb2Oldb2即 ，解得3ac2ac21c21:3xyC（2 ）由（1 ）可得 线段 的垂直平分线交 于点1:lx2PF2lM即2PMF12Mld的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，设为 20ypx21,0p2:4Cyx（3 ） 思路：由已知可得 ，设 ，则所求 为关于 的函数，0

9、,Q221,4yRSQS2y只需确定 的范围即可，因为 ，所以有可能对 的取值有影响，可利用此条件2y02得到 关于 的函数，从而求得 范围。12y高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -解： 与椭圆的交点为 ，设2C0,Q221,4yRSy21121,4yyQRS，因为 ，化简可得：22112106y12y21yy考虑 2218644QSy由可得22 211126553364y yy时，可得26428644S85,QS例 5：已知椭圆 的离心率 ，左焦点为 ，椭圆上的点到2:10xyCab13e1F距离的最大值为1F8（1 ）求椭圆 的方程（2 ）在（1 ）的条件下，过

10、点 的直线 与圆 交于 两点， 与点 的轨迹Nl236xy,GHlC交于 两点，且 ，求椭圆的弦 长的取值范围,PQ82,34GHRQ解：（1）由离心率可得： 1cea:21bc依题意可得： 可得：ac6,223b椭圆方程为：216xy（2 ）由（1 ）可得椭圆方程为 不妨设23xy2,0N高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 - 当直线斜率不存在时， ，符合题意，可得：82GH32RQ 当直线斜率存在时，设直线 :2lykx21Olkd在圆 中 236 22 1364rGH可得：8,4GH22kd解得： 21k设 ，联立直线与椭圆方程：2,RxyQ消去 可得：2136k

11、2221136xk2229880kxk21212236836,99k212114RQkxkxx2223683649892 21kk4229648kk222 919kk高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -2211899kk由 可得：2k317RQ综上所述： 的取值范围是 329,例 6：已知椭圆 的两个焦点 ，21:0xyCab12,F动点 在椭圆上，且使得 的点 恰有两个，动P19FP点 到焦点 的距离的最大值为12（1 ）求椭圆 的方程C（2 ）如图，以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 ，作圆 的两12C2xT2C条切线，设切点分别为 ，若直线 与椭圆 交

12、于不同的两点 ，求 的取值,AB1,DAB范围解：（1） 使得 的点 恰有两个190FP的最大值为2为短轴顶点时， P1bc222abcabc到焦点 的距离的最大值为1F2,ac椭圆 的方程：1C214xy（2 ）由椭圆方程可得圆 2:4设 ，由圆的性质可得：12,TtAxyB高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -12:4,:4ATxyBTxy代入 可得： 满足方程2,t12t,AB240xty则 到 的距离OAB248OABdt22ABrt下面计算 ：联立方程CD2224168160xtytyt设 34,xy432281616tyt222114886ttCDyy22

13、224164688ABtttt不妨设 2mt3 31561256ABCDm设 ，所以08sm 3ABsCD设 31256fs 1708s在 单调递增f,8所以 ，即1,2fs1,2ABCD高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -例 7：已知椭圆 过点 ，且离心率2:10xyCab31,212e（1 ）求椭圆方程（2 ）若直线 与椭圆交于不同的两点 ，且线段 的垂直平分线:lykxm,MN过定点 ，求 的取值范围,08G解：（1） 可得：12cea:2:31bc椭圆方程为 ，代入 可得：43xy,222191cc椭圆方程为： 43xy设 ，联立方程可得：12,MyN222

14、3348410xkxmkm 22222816648136kkm 41360k2m设 中点 ，则MN0,Pxy1212,xy1212122 286,4343k mxkk22,m则 的中垂线为： ，代入 可得：MN2231443kyxk1,08，代入 可得：2148mkm高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -21438kk22160或510k即 的取值范围是 5,10例 8：在平面直角坐标系 中，原点为 ,抛物线 的方程为 ,线段 是抛物线xOyCyx42AB的一条动弦C（1）求抛物线 的准线方程和焦点坐标 ;F（2）当 时，设圆 ,若存在且仅存在两条动弦 ,满足8AB)

15、0)1(:22ryxD（直线 与圆 相切，求半径 的取值范围？r解：（1）由抛物线 可得： ，准线方程： 42,F1y（2）设直线 ， ，联立方程：:ABykxb12,AyBx22404ykxb1212,b2 21681ABkxkbkb241b与圆相切 21DABbdrk，不妨令 241kr2,1tt则 ，令 34rt334,2tfttt高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -在 单调递减，在 单调递增ft1,22,3则若关于 的方程有两解，只需关于 的方程有一解kt时， 与 有一个交点ryrft3例 9：已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆的两个焦点，2:10xyCab1

16、542,F是椭圆上任意一点，且 的周长是 P12PFA82（1 ）求椭圆 的方程（2 ）设圆 ，过椭圆的上顶点作圆 的两24:9TxtyT条切线交椭圆于 两点，当圆心在 轴上移动且 时，,EFx1,3t求 的斜率和取值范围解：（1） 154cea:4:15abc的周长 12PFA1212821CFP4,5c22ba椭圆方程为： 216xy（2 ）由椭圆方程可得： ，设过 且与圆 相切的直线方程为 0,MT1,2iykx213iktdr，整理可得：23914iiiitktk2941850iikt两条切线斜率 是方程 的两根2,2850tkt高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网-

17、14 -联立直线 与椭圆方程可得：ME消去 可得： 126ykxy211630kx，同理可得：123Ek2F1212EF EFEFFxkxy kxkx121212123366kkk由 可得：294850tkt121285,9494tkkt226316394EFtt t设 ，可知 为增函数， 28fttft1,6,15EFk例 10：已知椭圆 ，其中 为左右焦点，且离心率为 ，2:10xyCab12,F3e直线 与椭圆交于两不同点 ，当直线 过l 12,PQxyl椭圆 右焦点 且倾斜角为 时，原点 到直线 的距离为2F4O2（1 ）求椭圆 的方程C（2 ）若 ，当 的面积为 时，求 的最大值OP

18、QNOPA62ONPQ解：（1）设直线 :lyxc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -21Olcdc3ea3a22bc椭圆方程为13xy（2 ）若直线 斜率存在，设 ，l:lkxm12,PyQxOPQN12,y联立方程： 消去 可得： ，整理可得：236ykx2236xk2230km2264430kkm223k212126,3kmxxk12122243my k2264,3kN考虑 222211634kmPQkxx21Olmd22216361PQOl kSd k A2233mkk高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 16 -22 222 243334

19、30mkkkmk即 022k222646432,3mkmkNk22229O222 4214133mkPQ m222226645ON等号成立条件： 22m时 的最大值是mPQ5当斜率不存在时， 关于 轴对称，设,x0,Pxy0,，再由 可得：001622OPQSxyA 20130621xy可计算出 5N所以综上所述 的最大值是三、历年好题精选1、已知点 是双曲线 上的动点， 分别是P2184xy12,F双曲线的左右焦点， 为坐标原点，则 的取值范OPO围是（ ）高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 17 -A. B. C. D. 0,62,616,260,22、 （2015，新

20、课标 I）已知 是双曲线 上的一点， 是 上的两0,Mxy:1xCy12,FC个焦点，若 ，则 的取值范围是（ ）12F0A. B. C. D. 3,3,62,323,3、 （ 2014，四川）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线mRA0xmyB交于点 ，则 的最大值是_30mxy,PxyPB4、 （ 2016，广东省四校第二次联考）抛物线 的焦点为 ，已知点 为2pxF,A抛物线上的两个动点，且满足 ，过弦10AF的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，ABMMN则 的最大值为（ ）NA. B. C. D. 312325、 （2016，贵州模拟）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶2:1

21、0xyCab12,F点为 ，过点 与 垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且 是线段 的中点，若果A2FQ12三点的圆恰好与直线 相切.2,Q:30lxy（1）求椭圆 的方程；C（2）过定点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 .若实数 满足0,M1lC,GHMH，求 的取值范围.GH6、 （ 2015，山东理）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率xOy2:1(0)xyab为 ，左、右焦点分别是 ,以 为圆心，以 3 为半径的圆与以 为圆心，以 1 为半3212F1 2F高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 18 -径的圆相交，交点在椭圆 上.C（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆 ，

22、 为椭圆 上的任意一点，过点 的直线 交椭2:14xyEabPPykxm圆 于 两点，射线 交椭圆 于点,ABOEQ求 的值；求 面积最大值.|QP7、 （2014，四川）已知椭圆 的焦距为 ，其短轴的两个2:10xyCab4端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆 的标准方程（2）设 为椭圆 的左焦点， 为直线 上任意一点，过 作 的垂线交FT3xFT椭圆 于点 C,PQ 证明： 平分线段 （其中 为坐标原点）OTO 当 最小时，求点 的坐标F8、 （2014，湖南）如图， 为坐标原点，椭圆 的左右焦21:0xyCab点分别为 ，离心率为 ；双曲线 的左右焦点分别12,F1e2:,ab为

23、 ，离心率为 ，已知 ，且 34,2123（1）求 的方程12,C（2）过 作 的不垂直于 轴的弦 为 的Fy,ABM中点，当直线 与 交于 两点时，求四边形 面积的最小值OM2,PQAPBQ9、 （2014，山东）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点2:0CypxFC的任意一点，过点 的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有Al D高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 19 -，当 的横坐标为 3 时， 为正三角形FADADF（1）求 的方程C（2）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 1l 1lCE 证明直线 过定点，并求出定点坐标AE 的面积是否存在最小值

24、？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理B由10、 （淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 ： 的离心率 ，左顶点为 ，过点xoyC)0(12bayx21e)0,4(A作斜率为 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 .A)0(klDyE（1 ）求椭圆 的方程;（2 ）已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的PDQ都有 ，若存在，求出点 的坐标；若不存)0(kEQO在说明理由;（3 ）若过 点作直线 的平行线交椭圆 于点 ，求lCM的最小值.MAD11、 （南通市海安县 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 C：xOy

25、的焦距为 2)0(12bayx（1 ）若椭圆 经过点 ，求椭圆 C 的方程；C)1,6(（2 ）设 ， 为椭圆 的左焦点，若椭圆 存在点 ，满足 ，求椭圆,0AFP2FA的离心率的取值范围；12、已知定点 ，曲线 C 是使 为定值的点 的轨迹，曲)0,3(),(21 |21RFR线 过点 .C,0TPDMAOxyE高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 20 -（1）求曲线 的方程；C（2）直线 过点 ，且与曲线 交于 ，当 的面积取得最大值时，求直线 的方l2FPQF1l程；（3）设点 是曲线 上除长轴端点外的任一点，连接 、 ，设 的角平分线P12P21F交曲线 的长轴于点

26、 ，求 的取值范围. MC(,0)Mm13、已知圆 ,若椭圆 的右顶点为圆22:xyr2:1(0)xyCab的圆心，离心率为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若存在直线 ，使得直线 与椭圆 分别交于 两点，与圆 分别交于:lykxlC,ABM两点，点 在线段 上，且 ，求圆 的半径 的取值范围,GHABGBHr14、已知 、 是椭圆 的左、右焦点，且离心率 ，点 为椭圆1F221xyab(0)12eP上的一个动点， 的内切圆面积的最大值为 .1P43(1) 求椭圆的方程；(2) 若 是椭圆上不重合的四个点，满足向量 与 共线， 与 共,ABCD1FAC1FBD线，且 ，求 的取值范围. 0|A

27、B高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 21 -习题答案：1、答案：B解析：设 ，其中 ，由焦半径公式可得： ,Pxy0x12,PFexaexa1222FeaexOyy代入可得：264,xye122226634PFaxxOyx因为 所以解得28x122,6PFOx由对称性可知：当 时，0x1,P2、答案：A解析：由 可得 ，所以2:1Cy23,0,F103,MFxy，则 ，由 得：203,MFx 2103Mxy20xy2200代入到不等式： ，解得 2103Fy0,3、 答案：5解析：由两条动直线 可得两条信息：两个定点坐标 ，13xmy 0,1,3AB且两条直线垂直，垂足即

28、为 ，所以 为直角三角形，可知 ，PAB22P由均值不等式可得 ，等号成立2 5A高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 22 -当且仅当 PAB4、 答案：A解析：过 分别作准线的垂线，垂足设为, ,QP设 ，由抛物线定义可得：FaBb ,AFBP在梯形 中，可得 为中位线AQPMN11222abNB由余弦定理可知在 中，BF 2cosAFAFBab2 22ABabab222234ab221343abMNMNABAB5、解析：设椭圆 的半焦距为C0c由 为线段 中点，1F2Q2F所以 三点圆的圆心为 ，半径为,A1,c2ca又因为该圆与直线 相切，所以l312所以 ，故所求椭

29、圆方程为 ；24,3ab243xy（2）若 与 轴不垂直，可设其方程为 ，代入椭圆方程1lxk2143xy可得 ，由 ，得234640k214设 ，根据已知，有12,GxyH12x高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 23 -于是12221634kxx消去 ，可得2x221643k因为 ，所以24k22,164k即有 ，有211,2,46、 解析：（1） 椭圆离心率为32，32cea:1bc左、右焦点分别是 ,12(3,0)()Fb圆 ：1F2(3)9xby圆 ： 由两圆相交可得 ，即 ，交点2,34132b，2(,1()3b，22(3)41b整理得 ，解得 （舍去）4250

30、b2,4故 椭圆 C 的方程为 .21,a21xy（2） 椭圆 E 的方程为 ，2164高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 24 -设点 ，满足 ，射线 ，0(,)Pxy2014xy0:()yPOx代入 可得点 ，于是 .2160(,)Q2200()| yQx 点 到直线 距离等于原点 O 到直线 距离的 3 倍：0(,)xyABAB22| |311kmdk，得 ，整理得264yx224()6x22(14)84160kxm22221()()0km222| 64)4ABkm222221| |164|3164mkSdk ，264()mk当且仅当 等号成立.222|1,8mk而直

31、线 与椭圆 C： 有交点 P，则ykx214xy有解，即 有解，24m2222(),(4)840kkxm其判别式 ，即 ，则上222161416)km21km述 不成立，等号不成立，28设 ，则 在 为增函数，2|(0,14mtk22|466()1kSt(0,1于是当 时 ，故 面积最大值为 12.max()3ABQ高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 25 -7、解析：（1）由已知可得： 解得： 234abc26,ab椭圆方程为： 216xy（2） 由（1）可得： ，设 2,0F3,Tm032TFmk所以设 ， ，联立椭圆方程可得：:PQxy12,PxyQ2213406mx

32、y12124,y23x设 为 的中点，则 点的坐标为 MPQM2264,3m的斜率 3OmkTOTk在 上，即 平分 PQ 由可得： 21F由弦长公式可得： 22211124myyy222264333m22 222314141461TFmPQm2234等号成立当且仅当 22411高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 26 -最小时， 点的坐标为 TFPQ3,1,8、解析：（1）由 可得： 12e22423abab443abab:2:14,03,F24b1ba221:,:xxCyy（2）由（1）可得： ，设直线 ，联立方程可得：1,0F:1ABxmy22xmyym设 12,Ax

33、yB212,ym121224x中点 AB22,M即 :mPQyx0y与双曲线联立方程可得：22222 4,1 mxyxy 22mPQ高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 27 -设点 到直线 的距离为 ，则点 到直线 的距离也为APQdBPQd，因为点 在直线 的异侧1224mxyxyd,A20mxy02121212xyxymxyxy1212122422mydm221131APBQSdm 四 边 形由 时， 200minS综上所述：四边形 面积的最小值为 29、解析：（1）依题意可知 ，设 ，则 的中点为,02pF,0DtFD2,04ptFAD由抛物线定义可知： ，解得： 或

34、 （舍）32pt3tpt抛物线方程为： 24pt24yx（2） 由（1）可得 ，设 1,0F0,DAxFAD2Dx0,x的斜率为 直线B02AByk1l设直线 ，代入抛物线方程：1:lyxb高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 28 -和 有且只有一个公共点208yb1lCE2006432yy设 ，则可得： ,Ex 2004,EExy当 时， 204y20AEykx，整理可得：002:y204yx恒过点 0241yxAE1,F当 时，可得： ，过点0:x,0过点AE1,F 由可得： 过点 1,002x设 :1AExmy在直线 上， 0,AE01xmy设 直线 的方程为 1,BxyB0 0022xyx代入抛物线方程可得： 20084y01101008,yx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 29 -00002481411BAExmyxd x0042ABESxx00001112, 2x x，等号成立当且仅当 4216ABES00011x10、 解析： （1）由左顶点为 可得 ，又 ，所以(40)A（4a2ec又因为 22bac，所以椭圆 C 的标准方程为 .216xy（2 ） 直线 的方程为 ，由 消元得， .l(4)ykx216(4),xyk（22(4)16xk化简得， ，22(4)3)1)0x所以 ， .1