1、知识内容1 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量 来表示，并且 是随着试验的XX结果的不同而变化的，我们把这样的变量 叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 表示,XY如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 为离散型随机变量离散型随机变量的分布列将离散型随机变量 所有可能的取值 与该取值对应的概率 列表表示：ixip(1,2,)nX12 ix nxPp i我们称这个表为离散型随机变量 的概率分布，或称为离散型随机变量 的分布列X2几类典型的随机分布两点分布如果随机变量 的分布列为XX10Ppq其中 ， ，则称离散型随机变量 服从参数为
2、 的二点分布01pqpXp二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 ，不合格记为 ，已知产品的合格率10为 ，随机变量 为任意抽取一件产品得到的结果，则 的分布列满足二点分布8%X10P.82两点分布又称 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分01布又称为伯努利分布超几何分布一般地，设有总数为 件的两类物品，其中一类有 件，从所有物品中任取 件NMn，这 件中所含这类物品件数 是一个离散型随机变量，它取值为 时的概率()nN nXm为， 为 和 中较小的一个 C()mMNnPX(0l n)我们称离散型随机变量 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称 服从参数为 ，
3、X XN二项分布， 的超几何分布在超几何分布中，只要知道 ， 和 ，就可以根据公式求出Mn NMn取不同值时的概率 ，从而列出 的分布列X()PXmX二项分布1独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果 及 ，并且事件 发生的概率相同在相AA同的条件下，重复地做 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为 次n n独立重复试验 次独立重复试验中，事件 恰好发生 次的概率为k()C(1)kknnPp(0,12,)n2二项分布若将事件 发生的次数设为 ，事件 不发生的概率为 ，那么在 次独立重复AXA1qpn试验中，事件 恰好发生 次的概率是 ，其中 于k()CknkP0,12,是得
4、到 的分布列X01 PCnpqn knkpq 0Cnpq由于表中的第二行恰好是二项展开式 01 0() Cnnnknknqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，X记作 ,XBp二项分布的均值与方差：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则np， ()En()Dxnq(1)正态分布1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 ，则这条曲线称为 的概率密度曲线XX曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 ，而随机变量 落在指定的两1X个数 之间的概率就
5、是对应的曲边梯形的面积ab，2正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量正态变量概率密度曲线的函数表达式为 ，2()1()xfxe，其中 ， 是参数，且 ， xR0式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差期望为 、标准差为 的正态分布通常记作 2(,)N正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线标准正态分布：我们把数学期望为 ，标准差为 的正态分布叫做标准正态分布01重要结论：正态变量在区间 ， ， 内
6、，取值的概率(,)(2,)(3,)分别是 ， ， 68.3%95.4.7 x= Oy x正态变量在 内的取值的概率为 ，在区间 之外的取值的概()， 1(3)，率是 ，故正态变量的取值几乎都在距 三倍标准差之内，这就是正态分布的0.3%x原则若 ， 为其概率密度函数，则称 为概率分2()N， (fx()()xFxPftd布函数，特别的， ，称 为标准正态分布函数201)N， 21()txed()()xP标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可3离散型随机变量的期望与方差1离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量 所有
7、可能的取的值是 ， ， ，这些X1x2nx值对应的概率是 ， ， ，则 ，叫做这个离散型随1p2np12()nExpp机变量 的均值或数学期望（简称期望） X离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平2离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量 所有可能取的值是 ， ， ，这些值对应的X1x2nx概率是 ， ， ，则 叫1p2np2 21()()()()nDxEpEpEp做这个离散型随机变量 的方差离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度） 的算术平方根 叫做离散型随机变量 的标准差，它也是一个衡量离散型随()DX()xX机变量
8、波动大小的量3 为随机变量， 为常数，则 ；ab， 2()()()()EabbDaX，4 典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 ，在 次二pn点分布试验中，离散型随机变量 的期望取值为 Xnp二项分布：若离散型随机变量 服从参数为 和 的二项分布，则 ，()E()Dxnpq(1)超几何分布：若离散型随机变量 服从参数为 的超几何分布，NM，则 ， ()MEXN2()1nN4事件的独立性如果事件 是否发生对事件 发生的概率没有影响，即 ，AB(|)(PBA这时，我们称两个事件 ， 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件如果事件 ， ， 相互独立，那
9、么这 个事件都发生的概率，等于每个事件发12nAn生的概率的积，即 ，并且上式中任意多个1212()()()n nPPA 事件 换成其对立事件后等式仍成立i5条件概率对于任何两个事件 和 ，在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫做条件ABAB概率，用符号“ ”来表示把由事件 与 的交（或积） ，记做 （或(|)PBDA） DAB典例分析二项分布的概率计算【例 1】 已知随机变量 服从二项分布， ，则 等于 1(4)3B， (2)P【例 2】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 ，则甲以 的比分获胜的概率为（ 23:1）A
10、B C D82764814989【例 3】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的2概率 （用数值表示）【例 4】 某人参加一次考试， 道题中解对 道则为及格，已知他的解题正确率为 ，43 0.4则他能及格的概率为_（保留到小数点后两位小数）【例 5】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 ，现有 5 人接种了该疫苗，至少0.8有 3 人出现发热反应的概率为 （精确到 ）0.1【例 6】 从一批由 9 件正品，3 件次品组成的产品中，有放回地抽取 5 次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留 位有效数字） 2【例 7】 一台 型号的自动机床在一小时
11、内不需要人照看的概为 ，有四台这种X 0.8型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有 台机床需要工人照看的2概率是（ ）A B C D 0.15360.180.563.97【例 8】 设在 4 次独立重复试验中，事件 发生的概率相同，若已知事件 至少发生AA一次的概率等于 ，求事件 在一次试验中发生的概率6581【例 9】 我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有 枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉如2果每枚鱼雷的命中率都是 ，当我舰上的 个鱼雷发射器同是向敌舰各发射0.68枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留 位有效数字） l【例 10】 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 ，现从一批产品中的任
12、意连续5%取出 2 件，求次品数 的概率分布列及至少有一件次品的概率【例 11】 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持” 的概率都是 若12某人获得两个“支持” ，则给予 万元的创业资助；若只获得一个 “支持” ，则10给予 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求：5 该公司的资助总额为零的概率； 该公司的资助总额超过 万元的概率5【例 12】 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 ，经销一件该商品，若顾客采用一0.6次性付款，商场获得利润 元；若顾客
13、采用分期付款，商场获得利润20元250 求 位购买该商品的顾客中至少有 位采用一次性付款的概率；31 求 位位顾客每人购买 件该商品，商场获得利润不超过 元的概率1650【例 13】 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费 元，便可获10得奖券一张，每张奖券中奖的概率为 ，若中奖，则家具城返还顾客现金15元某顾客消费了 元，得到 3 张奖券20340求家具城恰好返还该顾客现金 元的概率；2求家具城至少返还该顾客现金 元的概率【例 14】 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大564树中：至
14、少有 1 株成活的概率；两种大树各成活 1 株的概率【例 15】 一个口袋中装有 个红球（ 且 ）和 个白球，一次摸奖从中n5 *nN5摸两个球，两个球颜色不同则为中奖试用 表示一次摸奖中奖的概率 ；np若 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；5记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为 当 取多少时，Pn最大？P【例 16】 袋子 和 中装有若干个均匀的红球和白球，从 中摸出一个红球的概率ABA是 ，从 中摸出一个红球的概率为 13p从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止求恰好摸 5 次停止的概率；记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为 ，求
15、随机变量 的分布若 两个袋子中的球数之比为 ，将 中的球装在一起后，从中摸出B， 1:2AB，一个红球的概率是 ，求 的值2p【例 17】 设飞机 有两个发动机，飞机 有四个发动机，如有半数或半数以上的发AB动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率 是 的函pt数 ，其中 为发动机启动后所经历的时间， 为正的常数，试讨论1tpet 飞机 与飞机 哪一个安全？（这里不考虑其它故障） B【例 18】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是 ，且各发动机互不1P影响如果至少 的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行问对于50%多大的 而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？P【
16、例 19】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 13设 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求 的分布列； 设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 的分布列； 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率【例 20】 一个质地不均匀的硬币抛掷 次，正面向上恰为 次的可能性不为 ，而510且与正面向上恰为 次的概率相同令既约分数 为硬币在 次抛掷中有 次2ij53正面向上的概率，求 ij【例 21】 某气象站天气预报的准确率为 ，计算（结果保留到小数点后面第 280%位）5 次预报中恰有 次准确的概率；2 次预报中至少有
17、 次准确的概率；55 次预报中恰有 次准确，且其中第 次预报准确的概率；3【例 22】 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 层可以停靠若该电18920，梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，13求至少有两位乘客在 20 层下的概率【例 23】 10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第 次才取n得 次红球的概率()kn【例 24】 某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是 试求：0.1若由一个人负责维修 20 台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；若由 3 个人共同负责维修
18、80 台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高【例 25】 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试AB，验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ，服用 B 有效的23概率为 观察 3 个试验组，求至少有 1 个甲类组的概率 （结果保留四位有12效数字）【例 26】 已知甲投篮的命中率是 ，乙投篮的命中率是 ，两人每次投篮都不0.90.8受影响，求投篮 3 次甲胜乙的概率 （保留两位有效数
19、字）【例 27】 若甲、乙投篮的命中率都是 ，求投篮 次甲胜乙的概率 （0.5pn）1nN， 【例 28】 省工商局于某年 3 月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的 饮料的合格率为 ，现有甲，乙，丙 人聚会，x80%3选用 瓶 饮料，并限定每人喝 瓶，求：6x2甲喝 瓶合格的 饮料的概率；2甲，乙，丙 人中只有 人喝 瓶不合格的 饮料的概率（精确到 ） 31x0.1【例 29】 在一次考试中出了六道是非题，正确的记“”号，不正确的记“”号若某考生随手记上六个符号，试求：全部是正确的概率；正确解答不少于 4 道的概率；至少答对 道题的概率2【例 30】 某大学
20、的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为 0.6现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：双方各出 人；双方3各出 人；双方各出 人三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜57利问：对系队来说，哪一种方案最有利？二项分布的期望与方差【例 31】 已知 ，求 与 (10.8)XB，()EX()D【例 32】 已知 ， ， ，则 与 的值分别为（ ）()XBnp， ()8EX()1.6npA 和 B 和 C 和 D 和10.820.40.210.8【例 33】 已知随机变量 服从参数为 的二项分布，则它的期望 X6.，
21、()EX，方差 ()D【例 34】 已知随机变量 服从二项分布，且 ， ，则二项分布X()2.4E()1.4D的参数 ， 的值分别为 ， np【例 35】 一盒子内装有 个乒乓球，其中 个旧的， 个新的，每次取一球，取后1037放回，取 次，则取到新球的个数的期望值是 4【例 36】 同 时 抛 掷 枚 均 匀 硬 币 次 ， 设 枚 硬 币 正 好 出 现 枚 正 面 向 上 ， 枚 反 面8422向 上 的 次 数 为 ， 则 的 数 学 期 望 是 （ ）A B C D20253040【例 37】 某服务部门有 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每n个服务对象一天中需要服务
22、的可能性是 ，则该部门一天中平均需要服务的p对象个数是（ ）A B C D(1)np n(1)p【例 38】 一个袋子里装有大小相同的 个红球和 个黄球，从中同时取出 个，则322其中含红球个数的数学期望是_ （用数字作答）【例 39】 同 时 抛 掷 枚 均 匀 硬 币 次 ， 设 枚 硬 币 正 好 出 现 枚 正 面 向 上 ， 枚 反 面4804向 上 的 次 数 为 ， 则 的 数 学 期 望 是 （ ）A B C D2025340【例 40】 某批数量较大的商品的次品率是 ，从中任意地连续取出 件， 为所5%10X含次品的个数，求 ()EX【例 41】 甲、乙、丙 人投篮，投进的概
23、率分别是 31235， ， 现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率； 用 表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量 的概率分布及数学期望 【例 42】 抛掷两个骰子，当至少有一个 点或 点出现时，就说这次试验成功23 求一次试验中成功的概率； 求在 次试验中成功次数 的分布列及 的数学期望与方差4X【例 43】 某寻呼台共有客户 人，若寻呼台准备了 份小礼品，邀请客户在指3010定时间来领取假设任一客户去领奖的概率为 问：寻呼台能否向每一位4%顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？【例 44】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗
24、人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 ，参加过计算机培训的有 ，假设每个人对%6075%培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；任选 3 名下岗人员，记 为 3 人中参加过培训的人数，求 的分布和期望【例 45】 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 ，购买乙种商品的0.5概率为 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品0.6也是相互独立的记 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 的分布及期望【例 46】 某班级
25、有 人，设一年 天中，恰有班上的 （ ）个人过生日的n365mn天数为 ，求 的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值X【例 47】 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 元，若投保人在a购买保险的一年度内出险，则可以获得 元的赔偿金假定在一年度内有10人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一10年度内至少支付赔偿金 元的概率为 10410.9求一投保人在一年度内出险的概率 ；p设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 元，为保证盈利的期5望不小于 ，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） 0【例 48】 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查
26、（简称安检） 若安检不合格，则必须进行整改若整改后复查仍不合格，则强行关闭设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 ，整0.5改后安检合格的概率是 ，计算（结果精确到 ） 0.80.1恰好有两家煤矿必须整改的概率；平均有多少家煤矿必须整改；至少关闭一家煤矿的概率【例 49】 设一部机器在一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工0.2作若一周 5 个工作日里均无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利润 5 万元，只发生两次故障可获利润 0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元求一周内期望利润是多少？（精确到 ）.1【例 50】 在汶川大地震
27、后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐已知只有 发子弹，第一次5命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 23求油罐被引爆的概率；如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为 ，求 的分布列及 E【例 51】 某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从种服装商品， 种家电商品， 种日用商品中，选出 种商品进行促销活2233动试求选出的 种商品中至少有一种是日用商品的概率；3商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高 元，同时，若顾客购买该商品，则允许有
28、 次抽奖的机会，若中奖，150 3则每次中奖都获得数额为 的奖金假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 ，m12请问：商场应将每次中奖奖金数额 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利?【例 52】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将 次遇到黑色障碍物，最后落入 袋或 袋3AB中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 12 求小球落入 袋中的概率 ；A()PA 在容器入口处依次放入 个小球，记 为落入 袋4A中的小球个数，试求 的概率和 的数学期望3【例 53】 一个袋中有大小相同的标有 1，2，3，4，5，6 的 6 个
29、小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回） ，记下标号若拿出球的标号是 3 的倍数，则得 1 分，否则得 分 求拿 4 次至少得 2 分的概率； 求拿 4 次所得分数 的分布列和数学期望BA【例 54】 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 ，12345Aa其中 的各位数中， ， 出现 的概率为 ，出现 的概A1a(2345)k， ， ， 0率为 记 ，当程序运行一次时，232345 求 的概率； 求 的概率分布和期望【例 55】 某学生在上学路上要经过 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独4立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是 2 min13 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望
