1、 典例分析题型一：正比例、反比例和一次函数型【例 1】 某商人将彩电先按原价提高 40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚 144 元，那么每台彩电原价是 元.【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】 1200【例 2】 某商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 . 【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】 10%9【例 3】 某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续 5 年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据
2、此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到 2010 年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从 2000 年底后采取植树造林等措施，每年改造 0.6 万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90 万公顷？观测时间 1996 年底1997 年底1998 年底1999 年底2000 年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001板块三 .函数的零点【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）由表观察知，沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近
3、似地为一次函数 的图象。ykxb将 x=1，y=0.2 与 x=2，y =0.4，代入 y=kx+b，求得 k=0.2，b=0，所以 y=0.2x（xN） 。因为原有沙漠面积为 95 万公顷，则到 2010 年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷） 。（2）设从 1996 年算起，第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷，由题意得 95+0.2x0.6(x5)=90，解得 x=20（年） 。故到 2015 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、 “成反比
4、例 ”等条件要应用好。【答案】 （1）98（万公顷） （2）2015 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷【例 4】 已知函数 在 R 上有定义，对任何实数 和任何实数 ，都有fx0axfa（）证明 ；0f（）证明 其中 和 均为常数；,kxhkh【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】2006 年，安徽理，高考【解析】 （）令 ，则 ， ， 。0x0faf0f（）令 ， ， ，则 。x2x假设 时， ，则 ，而 ，()fk)Rfk2fxkx ，即 成立。2fx令 ， ， ，a0x2fxf假设 时， ，则 ，而0x()fxh)R22fxh， ，即 成立。
5、2f2f ()fx成立。,0khx点评：该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值方面靠拢。【答案】 （）令 ，则 ， ， 。0x0faf0f（）令 ， ， ，则 。x2x假设 时， ，则 ，而 ，()fk)Rfk2fxkx ，即 成立。2fx令 ， ， ，a0x2fxf假设 时， ，则 ，()fh)R2hx而 ， ，即 成立。2xfx 2fxf()f成立。,0kh【例 5】 某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份 0.20 元，卖出价是每份 0.30 元，卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元价格退回报社在一个月（以30 天计）里，有 20 天每天可卖出
6、 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设摊主每天从报社买进 x 份，显然当 x250，400时，每月所获利润才能最大于是每月所获利润 y 为，x25020.310.2510.2503.20.56yx x，400因函数 y 在250，400上为增函数，故当 x = 400 时，y 有最大值 825 元.【答案】当 x = 400 时，y 有最大值 825 元【例 6】 某地区
7、上年度电价为 0.8 元/kWh，年用电荷量为 a kWh，本年度计划将电价降到 0.55 元/ kWh 至 0.75 元/ kWh 之间，而用户期望电价为 0.4 元/ kWh.经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为 k).该地区电力的成本价为 0.3 元/ kW h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益 y 与实际电价 x 的函数关系式；(2)设 k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长 20%(注：受益实际用电量(实际电价成本价)？【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解
8、析】 (1) ，0.5.7x 下调电价后新增的用电荷量为 0.4kx本年度用电荷量为 .a受益实际用电量(实际电价成本价)， ()(0.3.4kyax(2) ，0.2ka0.2()(.3()0.4kyxx上年受益 ，(.83).(.83(120%).aa解得 06x5,.7即最低电价应定为 元/ .kWhA答：关系式为 ，最低电价为 元/ .()(03.4yax0.6kWhA【答案】 （1） ， （2）最低电价为 元/ .()0.kx.【例 7】 我国从 1990 年至 2000 年间，国内生产总值（GDP ） （单位：亿元）如下表所示：年份 1990 1991 1992 1993 1994
9、1995 1996 1997 1998 1999 2000生产总值 18598.4 21662.526651.934560.5 46670 57494.966850.573142.776967.180422.8 894040200004000060000800001000001990 1992 1994 1996 1998 2000生 产 总 值根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利用所建立的函数模型，预测 2010 年我国的国内生产总值.【考点】正比例、反比例和一次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由表中数据作出散点图，如右图所示.根据
10、散点图，可以看出大致分布在一条直线附近. 选择 1990 年、2000 年的数据代入 ，得yaxb，解得 .1859.40270856-14ab所以，近似的函数模型为 71yx当 x=2010 时，y=160209.6，即预测 2010 年我国的国内生产总值为 160209.6 亿元.点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.【答案】预测 2010 年我国的国内生产总值为 16020
11、9.6 亿元题型二：二次函数型【例 8】 一辆中型客车的营运总利润 y（单位：万元）与营运年数 x（x N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。（A）4 （B）5 （C）6 （D）7x 年 4 6 8 cbay2（万元） 7 11 7 【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 表中已给出了二次函数模型 cbxay2，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7） ， （6，11） ， （8，7） ，则.87,6142cba。解得 a=1，b=12 ，c=-25，即 5xy。又 2x102而取“=”的条件为 ，5x即 x=5，故选（
12、B） 。点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。【答案】B【例 9】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为 15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？刹车时车速 v/km/h 15 30 40 50 60 80刹车距离 s/m 1.23 7.30 12.2 18.40 25.80 44.40【考点】二次函数型 【难度】 3 星
13、【题型】解答【关键词】无【解析】 所求问题就变为根据上表数据，建立描述 v 与 s 之间关系的数学模型的问题。此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速 v 为横轴，以刹车距离 s 为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。假设变量 v 与 s 之间有如下关系式：cbva2，因为车速为 0 时，刹车距离也为 0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0） 。再在散点图中任意选取两点 A（30，7.30） ，B（80，44.40）代入，解出 a、b、c 于是vs0563.2.0。 （代入其他数据有偏差是许可的）将 s=15.13 代入得 13.52，解得
14、 v45.07。所以，汽车在刹车时的速度是 45.07km/h。【答案】汽车在刹车时的速度是 45.07km/h【例 10】 某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.（1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】2003 年，北京，高考春【解析】 （1）当每辆车的月租金
15、定为 3600 元时，未租出的车辆数为： 5036=12，所以这时租出了 88 辆车.（2）设每辆车的月租金定为 x 元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100） （x150） 50，整理得：f（x）503503= +162x21000= （x4050） 2+307050.所以，当 x=4050 时，f（x）最21大，其最大值为 f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为 307050 元.点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。【答案】 （1）租出了 88 辆， （2）当每辆
16、车的月租金定为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为 307050 元【例 11】 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品分别为 1 万件、 万件、 万.21.3件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量 y 与月份数 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 (其中 a，b，c 为常数)，已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，xyab请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)利用二次函数模型，设 2()(0)fxabc由已知条件可得方程组：
17、 ，14.93c解得 0.5,.3,0.7abc 2()fxx把 4 月份代入可得 (4)1.f(2)用模型 2，即指数模型 xyabc()u把 1，2，3 月分别代入可得方程组如下： 231.abc解方程组可得： ， 0.8,.5,1.4abc()0.8ux(5)x1.4 ，综上可知用模型 好.(4)1.35u()答：用模型 作为模拟函数较好.().x(x【答案】用模型 作为模拟函数较好081.4【例 12】 一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时 a海里时，每小时所耗燃料费为 b 元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为 c 元(与航速无关)，若该海轮匀速航行 d
18、海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用为多少？【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和航速的关系，总费用等于燃料费和其它费用的总和，燃料费与时间和航速有关，而其它费用只和时间有关，而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都可以用航速表达出来，从而可以列出函数关系求最值.由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为 k，则： ，2bka2b设航速为每小时 海里使最省，则：航行的总费用为x 2dSxcA当 ，即 时取最小值.2bdcxaabc答：当航速满足 时，费用最小
19、，其最小值为 .dbca【答案】当航速满足 时，费用最小，其最小值为bc2【例 13】 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是 p 万元和 q 万元，它们与投入的资金 x 万元的关系有经验公式：p= x，q= . 现有资1025金 9 万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获取最大利润？【考点】二次函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设对乙商品投入 x 万元，则对甲商品投入 9x 万元. 设利润为 y 万元， . 0,9y= = = ，12(9)051(4)x21()130 当 =2,即 x=4 时，y
20、max=1.3.所以，投入甲商品 5 万元，乙商品 4 万元时，能获得最大利润 1.3 万元.【例 14】 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元/个，出厂价为 60 元/个，日销售量为 1000 个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为 x(070，得 n9.4，取 n=10。所以到 2010 年可以收回全部投资款。点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况下实际问题的处理结果。【答案】到 2010 年可以收回全部投资款【例 18】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时
21、间的关系用图 210 中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 210 中（2）的抛物线表示.图 210（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式 Pf（t） ；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式 Qg（t） ；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元10 2 ，g，时间单位：天）【考点】分段函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】2000 年，全国，高考【解析】 （1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t） ;302,30,tt由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g
22、（t） （t150） 2100，0t30001（2）设 t 时刻的纯收益为 h（t） ，则由题意得 h（t）f（t）g（t） ，即 h（t） .302,105720,2tt当 0t200 时，配方整理得 h（t） （t50） 2100，所以，当 t50 时，h（t）取得区间0，200上的最大值 100；当 200t300 时，配方整理得h（t） （t350） 2100，201所以，当 t300 时，h（t）取得区间（200，300上的最大值 87.5.综上，由 100875 可知，h（t）在区间0，300上可以取得最大值100，此时 t50，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益
23、最大.点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运用所学知识解决实际问题的能力.【答案】 （1）f（t） ;302,30,ttg（t） （t150） 2100，0t300（2）从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大【例 19】 某商店将进货价每个 10 元的商品按每个 18 元出售时，每天可卖出 60 个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上) 每提高一元，则日销量就减少 5 个；若将这种商品的售价 (在每个 18元的基础上) 每降低 1 元，则日销量就增加 10 个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为
24、每个多少元？【考点】分段函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设此商品每个售价为 x 元，日利润为 y 元，则：当 时：18x 605(18)0y25()0x即商品按 20 元每个售出时最大日利润为 500 元；当 时：0 ()x21(7)49此时商品按每个 17 元售出时获得最大日利润为 490 元.答：定价为 20 元可获日最大利润.【答案】定价为 20 元可获日最大利润【例 20】 中国青年报 2001 年 3 月 19 日报道：中国移动通信将于 3 月 21 日开始在所属 18 个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐” ，这个：“套餐”的最大特点
25、是针对不同用户采取了不同的收费方法.具体方案如下：方案代号 基本月租（元） 免费时间（分钟） 超过免费时间的话费（元/分钟）1 30 48 0602 98 170 0603 168 330 0504 268 600 0455 388 1000 0406 568 1700 0357 788 2588 030原计费方案的基本月租为 50 元，每通话一分钟付 0.4 元，请问：（1） “套餐” 中第 4 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为 3 分20 秒，按 4 分钟计通话用时）的函数关系式；（2）取第 4
26、种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；（3）据中国移动 2000 年公布的中期业绩，每户通话平均为每月 320 分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.【考点】分段函数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】2002 年，北京，高中数学知识应用竞赛【解析】 (1) 268 060.45(6)tyt（2）当 0t600 时，解不等式 50+0.4t268，得 545t600（tN） ，当 t600 时，解不等式 50+0.4t268+0.45(t-600)，得 600 B. ()f()()f()hxC. D. gxhfxxg【考点】指数
27、、对数型 【难度】 2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】B【例 31】 如图,能使不等式 成立的自变量 的取值范围是（ ）.2logxxA. B. C. D. 0xx02【考点】指数、对数型 【难度】2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】D【例 32】 某林场计划第一年造林 10000 亩，以后每年比前一年多造林 20，则第四年造林（ ）.A. 14400 亩 B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩【考点】指数、对数型 【难度】 2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】C【例 33】 某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长
28、 10.4%，那么，经过 x 年，绿色植被面积可增长为原来的 y 倍，则函数 的大致图象为()yfx（ ）【考点】指数、对数型 【难度】 2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】D【例 34】 某人 2003 年 1 月 1 日到银行存入一年期存款 a 元，若按年利率为 x，并按复利计算，到 2008 年 1 月 1 日可取回款（ ）. A. a(1+x)5 元 B. a(1+x)6 元 C. a(1+x5)元 D. a(1+x6)元【考点】指数、对数型 【难度】 2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】A【例 35】 老师今年用 7200 元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展
29、，计算机成本不断降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一. 三年后老师这台笔记本还值 . 【考点】指数、对数型 【难度】 2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】 6403【例 36】 有一个湖泊受污染，其湖水的容量为 V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。用 ，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物)0()0()(pergrpttv的克数（我们称其湖水污染质量分数） ， 表示湖水污染初始质量分数。(g（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；（2）分析 时，湖水的污染程度如何。rpg)0(【考点】指数、对数型 【难度】
30、 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）设 ，210t因为 为常数， ，即 ，)(tg)(21tgt0)0(21tvrtrep则 ；rp0（2）设 ，21t)(21tg021tvrtrep= 21)0(tvrttep因为 ， ， 。污染越来越严重。)(rg210t)(21tg点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮,10a我们解释具体问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”【答案】 （1） ， （2）污染越来越严重rpg)(【例 37】 现有某种细胞 100 个，其中有占总数 的细胞每小时分
31、裂一次，即由 112个细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 个？（参考数据： ）.10lg30.47,l30【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 现有细胞 100 个，先考虑经过 1、2、3、4 个小时后的细胞总数，1 小时后，细胞总数为 ；301022 小时后，细胞总数为 ；1390102243 小时后，细胞总数为 ；9710484 小时后，细胞总数为 ；7826可见，细胞总数 与时间 （小时）之间的函数关系为： ，yx 3102xyxN由 ，得 ，两边取以 10 为底的对数，得 ，103102x83102x lg8x
32、 ， 8lgx ，45.320.47.31 . 5x答：经过 46 小时，细胞总数超过 个。10点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。【答案】46 小时【例 38】 本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区 的老房子进行平改坡2am（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为） ，且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需 10 年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的 . 2（1）求每年平改坡的百分比；（2）问到今年为止，该平改坡
33、工程已进行了多少年？（3）若通过技术创新，至少保留 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多24am还需平改坡多少年？ 【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）设每年平改坡的百分比为 ，则(01)x，即 ，解得 .10()2axa10()2x10().6702x（2）设到今年为止，该工程已经进行了 n 年，则 ，即2()naxa，解得 n=5. 1102()n所以，到今年为止，该工程已经进行了 5 年. （3）设今后最多还需平改坡 m 年，则 ，即 ，解1()4maxa5210()()m得 m=15. 所以，今后最多还需平改坡 15 年. 点评：以房屋改造为
34、背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求，通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.【答案】 （1）6.70%， （2）5 年， （3）15 年【例 39】 1992 年底世界人口达到 54.8 亿，若人口的平均增长率为 x%，2008 年底世界人口数为 y（亿）.（1）写出 1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界人口数； （2）求 2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式. 如果要使 2008 年的人口数不超过 66.8 亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答
35、【关键词】无【解析】 （1）1993 年底的世界人口数为 ；54.8(1)x1994 年底的世界人口数为 ；2.2000 年底的世界人口数为 .8()（2）2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式为 .1854.()yx由 66.8， 解得 .1854.()yx186.0()1所以，人口的年平均增长率应控制在 1.1%以内【答案】 （1）1993 年底的世界人口数为 ；54.()x1994 年底的世界人口数为 ；2812000 年底的世界人口数为 8.()（2）人口的年平均增长率应控制在 1.1%以内【例 40】 光线通过一块玻璃,其强度要损失 ,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线1
36、0%原来的强度为 ,通过 块玻璃后强度为 .axy（1）写出 关于 的函数关系式；y（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的 以下? ( 13lg30.471)【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1） (10%)().xyaN（2） 11, ,0.9,333xxa0.9lglo0.4,2x .1【答案】 （1） (%)().xyaN（2）11【例 41】 1995 年我国人口总数是 12 亿，如果人口的年自然增长率控制在 1.25，问哪一年我国人口总数将超过 14 亿？【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设 x
37、年后人口总数超过 14 亿. 由题意得 ，即 .12(0.5)14x7.0256x两边取常用对数，得 . lg1025l7g6x .lg7641.025x所以，13 年后，即 2008 年我们人口总数超过 14 亿.【答案】2008 年我们人口总数超过 14 亿.【例 42】 某公司拟投资 100 万元，有两种获利的可能提供选择：一种是年利率10，按单利计算，5 年后收回本金和利息；另一种是年利率 9，按每年复利计算，5 年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5 年后，这种有利的投资比另一种投资可多得利息多少元？【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 100
38、万元，按单利计算，年利率 10，5 年后的本利和为 （万元）.10(5)10100 万元，按复利计算，年利率 9，5 年后的本利和为 （万元）.5(9386由此可见，按年利率 9的复利计算投资，要比年利率 10的单利计算投资更有利，5 年后可多的利息 3.86 万元.点评：利率问题考察的函数模型是一次函数和幂函数，要理解“单利” 和“复利”的实际意义.【答案】按年利率 9的复利计算投资，要比年利率 10的单利计算投资更有利，5 年后可多的利息 3.86 万元【例 43】 某人有资金 2000 元，拟投入在复利方式下年报酬为 8%的投资项目，大约经过多少年后能使现有资金翻一番？（下列数据供参考：
39、lg2=0.3010，lg5.4=0.7324， lg5.5=0.7404，lg5.6=0.7482）. 【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设经过 x 年后能使现有资金翻一番，则 ，即 .20(18)40x1.82x两边取对数，有 . lg2llg.3905.41.08.72所以，经过 10 年后才能使现有资金翻一番.【答案】经过 10 年后才能使现有资金翻一番【例 44】 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量 Q 呈指数函数型变化，满足关系式 ，其中 是臭氧的初始量. （1）随时间40tQe0Q的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
40、（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1） ， ， ， 为减函数.0Q04t1e40tQe 随时间的增加，臭氧的含量是减少.（2）设 x 年以后将会有一半的臭氧消失，则 ，即 ，40012xQe4012xe两边去自然对数， ，解得 .1ln402xln78x 287年以后将会有一半的臭氧消失.【答案】 （1）随时间的增加，臭氧的含量是减少， （2）287 年后有一半的臭氧消失【例 45】 某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水， 小时内供水总量为 吨
41、， （t1206t）.从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是024t多少吨? 【考点】指数、对数型 【难度】3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设 小时后蓄水池中的水量为 吨，则 .t y40612tt令 ，则 ，即 .6x26t21x()40,12xx 当 ，即 时， ，min40所以，从供水开始到第 6 小时时，蓄水池水量最少，只有 40 吨. 点评：运用二次函数的模型，常解决一些最大（小）值的问题，对生产生活等问题进行优化.【答案】第 6 小时时，蓄水池水量最少，只有 40 吨【例 46】 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002 年全球太阳电池的年生产量达到
42、 670 兆瓦，年生产量的增长率为 34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的增长率为 36%） （1）求2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦） ； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010 年 ，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%） ，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键
43、词】2007 年，上海，高考【解析】 （1）由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ， ， ， 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为36%8402%(兆瓦) 70.1.9.8（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为 ，则 ，x4120()95%9.8x解得 .65x因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61.【答案】 （1）2499.8(兆瓦)， （2） 61.5%【例 47】 1650 年世界人口为 5 亿，当时的年增长率为 3，用指数增长模型计算什么时候世界人口达到 10 亿（实际上 1850 年前已超过 10 亿）. 1
44、970 年世界人口为 36 亿，年增长率为 2.1，用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番？【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由 1650 年世界人口数据，把 ， 代入马尔萨斯人口模型，得05y.03r.035tye解不等式 ，得0.31tln21.t所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过 231 年后，即 1881 年世界人口达到 10亿.由 1970 年世界人口数据，把 ， 代入马尔萨斯人口模型，得036y.021r.0.2136tye解不等式 ，得 .0.217tln.t所以，由马尔萨斯人口模型估算，经过 330 年后，即 2300 年世界人口达到
45、 72亿.【答案】经过 330 年后，即 2300 年世界人口达到 72 亿.【例 48】 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量 与月份数 的关系，模拟函数可选用二次函数yx（其中 为常数，且 ）或指数型函数2()fxpqxr,pqr0p（其中 为常数） ，已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，()xgabc,abc请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.【考点】指数、对数型 【难度】 3 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 当选用 的模型时
46、， ， 解得 ， 2()fxpqxr142.93pqr0.537pqr .413f当选用 的模型时， ，解得 ， ()xgabc231.abc0.8514abc .4135根据 4 月份的实际产量可知，选用 作模拟函数较好.0.85xy点评：根据所给出的几种函数模型，用待定系数法确定系数后，再根据所求得的函数解析式检验其余的一些数据，通过比较误差的大小而优选适合的函数模型.【答案】选用 作模拟函数较好0.851.4xy题型五：其他类型【例 49】 向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V 与深 h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）. 【考点】其他类型 【难度】2 星
47、 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】B【例 50】 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设 t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻 t 的距离，下列图象中能大致表示 的函数()Sft关系的为（ C ）. D. C. B. A. S S S t t t o o o o S t 【考点】其他类型 【难度】 2 星 【题型】解答【关键词】无【解析】 当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时， ，图象为一条线段；Svt当环岛两周时，S 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离 ；0S上岛考察时， ；0S返回时， ，图象为一条线段. 所以选 C.vt点评：根据实践问题中变量的实际意义，寻找它们之间的大概函数关系，由函数关系式确定所要选择的图象.此题的关键是分析各段行程，找出汽艇到岛的距离 S 与时间 t 的简明关系 .【答案】C【例 51】 对 1 个单
