四川省绵阳南山中学2018-2019年高二数学上学期期中试题 理（PDF）.rar

第 1 页 共 4 页 2018年 11月 绵阳南山中学 2018年秋季高 2017级半期考试 数学试题 （ 理 科） 命题人： 杜晓英 审题人：徐春华 本试卷分 为 第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 ． 满分 150 分 ， 考试时间120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名 、 考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上 ，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置． 2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上， 非选择 题用 0.5 毫米 的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内， 超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效 ． 3．考试结束后，将答题卡收回． 第Ⅰ卷 (选择题，共 60分 ) 一、选择题 (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． ) 1．在空间直角坐标系中，已知 (0,2,4), (1,4,6)AB，则 ||AB ( ) .A 2 .B 9 .C 5 .D 3 2．直线 23yx的斜率和在 y 轴上的截距分别等于 ( ) .A 2,3 .B 3, 3 .C 3,2 .D 2, 3 3．经过点 ( 1,3)A ，且 垂直于 直线 2 3 0xy   的直线方程为 ( ) .A 2 1 0xy   .B 2 5 0xy   .C 2 5 0xy   .D 2 7 0xy   4． 若 方程 03222  ymxyx 表示圆，则 m 的范围是 ( ) .A ( 2 2,2 2) .B ),22()22,(   .C ( 2 3,2 3) .D ),32()32,(   5． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的 x 值为 ( ) .A 2 或 2 .B 1 或 2 .C 1或 2 .D 2 或 1 第 2 页 共 4 页 6． 若双曲线 22 1 ( 0 , 0)xy abab   的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率 为 ( ) .A 2 .B 2 .C 3 .D 3 7． 已知一动圆 P 与圆 22:1O x y外切，而与圆 22: 6 8 0C x y x   内切，则动圆的 圆心 P 的轨迹是 ( ) .A 椭圆 .B 双曲线 .C 双曲线的一支 .D 抛物线 8． 若圆心在 x 轴 负半轴 上、半径为 5 的圆被直线 20xy截得的弦长为 4 ，则 该 圆的 方程是 ( ) .A 22( 5) 5xy   .B 22( 5) 5xy   .C 22( 5) 5xy   .D 22( 5) 5xy   9． 已知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab   的一条弦 AB 所在直线方程是 50xy   ，弦 AB 的 中点为 ( 4,1)M ，则该椭圆的离心率为 ( ) .A 12 .B 22 .C 32 .D 55 10． 已知抛物线 2 43yx 的焦点为 F ， A 、 B 为抛物线上两点，若 3AF FB ， O 为坐 标原点，则 AOB 的面积为（ ） .A 83 .B 43 .C 23 .D 3 11． 已知双曲线 22 1 ( 0 , 0)xy abab   的左、右焦点分别为 1F 、 2F ， 过 1F 作圆 2 2 2x y a的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B 、 C ， 若 2| | | |BC CF ， 则双曲线的渐近线方程为（ ） .A 3yx.B 22yx.C ( 3 1)yx .D ( 3 1)yx  12． 椭圆 22:184yxE 右 顶点是 A ，上焦点为 F ，若直线 :l y kx m与椭圆 E 交于 B 、 C两点 ， 且 F 恰 好 是 ABC 的垂心，则 km 的值是 ( ) .A 1 或 38.B 1 或 311.C 1或 38.D 1或 311 第 3 页 共 4 页 第Ⅱ卷 (非选择题，共 90分 ) 二、填空题 (本大题共 4个 小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在答卷中相应的位置上． ) 13． 过点 (3,4)P 作 圆 224xy的切线 ，则所作切线 段长为 ________． 14． 已知双曲线的渐近线方程为 2yx ， 且过点 ( 1,2 3) ，则 该 双曲线 的标准方程 为 ______________． 15． 已知抛物线 21 : ( 0)C y ax a的焦点 F 也是椭圆 222 2: 1 ( 0 )4yxCbb  的 一个焦 点， 点 M 在曲线 1C 上 ，点 3( ,1)2P在曲线 2C 上，则 | | | |MP MF 的最小值为 ____． 16． 已知 O 为坐标原点 ， F 是椭圆 22: 1 ( 0 )xyC a bab   的左焦点 ， A 、 B 分别为 椭圆 C 的左 、 右顶点 ． P 为 C 上一点 ， 且 PF x 轴 ， 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点M ， 与 y 轴交于点 E ． 若直线 BM 经过 OE 的中点 ， 则 C 的离心率为 ________． 三、解答题 (本大题共 6个 小题，共 70分．解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤． ) 17． (本小题满分 10 分 ) 求经过直线 3 2 6 0xy   和 2 5 7 0xy   的交点 P ， 且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的 方程． 18． (本小题满分 12 分 ) 已知椭圆的上顶点 B 和右顶点 A ，过椭圆左 焦点 F 作长轴的垂线交椭圆于点 P ，满足 OP //AB ，且椭圆上的点到焦点 F 的距离的最大值为 5 10 ． (Ⅰ )求椭圆的标准方程 ； (Ⅱ )求椭圆上的点到直线 2 7 0xy的距离 d 的最大值 ． 第 4 页 共 4 页 19． (本小题满分 12 分 ) 已知动点 M 到定点 (1,0)F 的距离比到定直线 2x 的距离小 1． (Ⅰ )求动点 M 的轨迹方程 ； (Ⅱ )若直线 3yx与 M 的轨迹交于 A 、 B 两点 ， 求过三点 A 、 B 、 F 的圆的方程 ． 20． (本小题满分 12 分 ) 已知圆 C 过点 )1,(P ，且与圆 )0()2()2(: 222  rryxM 关于直线02yx 对称． (Ⅰ )求圆 C 的方程； (Ⅱ )设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 PQMQ 的最小值 ． 21． (本小题满分 12 分 ) 已知 直线 AB 过抛物线 2 4yx 的焦点 F ， 交抛物线于 A 、 B 两点 ． (Ⅰ )若 | | 5AB ， 求直线 AB 的方程 ． (Ⅱ )若过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D ， 直线 BD 的斜率是否为定值 ？若是 ， 请求出定值 ， 若不是 ， 说明理由 ． 22． (本小题满分 12 分 ) 已知 点 ( 1,0)E ， 点 P 是圆 22: ( 1) 8F x y上任意一点， 线段 EP 的垂直平分线交 FP 于点 M ，点 M 的轨迹记为曲线 C ． （Ⅰ） 求曲线 C 的方程； （Ⅱ） 设经过点 E 的直线 1l 与 曲线 C 相交于不同的两点 S 、 T ， 线段 ST 中垂线为 2l ． 记直线 2l 与直线 1l 的交点为 G ，直线 2l 与直线 2x 的交点为 Q ，求STGQ的最小值 ． 第 1 页 共 4 页 绵阳南山中学 2018年秋季高 2017级半期考试 数学 参考答案（理科） 一、 选择题 (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分． ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B C A C B C B C B 二、填空题 (本大题共 4个 小题，每小题 5分，共 20分． ) 13． 21 14． 22182yx 15． 2 16． 13三、解答题 (本大题共 6个 小题，共 70分． 其中 17题满分 10分， 其余各题满分均为 12分 ． ) 17． 解：解方程组3x＋ 2y＋ 6＝ 0，2x＋ 5y－ 7＝ 0， 得交点 P(－ 4， 3)， 由题 知 ， 直线 斜率存在 ， 且不为 0． 因此可设所求直线方程为 y－ 3＝ k(x＋ 4)， 即 y＝ k(x＋ 4)＋ 3． 令 x＝ 0，得 y＝ 4k＋ 3，令 y＝ 0，得 x＝－ 4k＋ 3k ， 于是 4k＋ 3＝－ 4k＋ 3k ，即 4k2＋ 7k＋ 3＝ 0，解得 k＝－ 34或 k＝－ 1， 故所求直线方程为 3x＋ 4y＝ 0 或 x＋ y＋ 1＝ 0． 18． (Ⅰ )由 OP //AB ， 得 POF AOB， 则2 /abc b a， 整理得 ： bc ， 又 2 2 25 1 0 ,a c a b c    ， 解得 ： 10, 5ab． 于是 ， 所 求椭圆的标准方程 为 22110 5xy． (Ⅱ )设与直线 2 7 0xy平行的直线为 : 2 0l x y m  ． 当直线 l 与椭圆相切时 ， 由 0 ， 解得 5m ， 由图可知 ， 当 5m 时 ， 所求距离最大 ． 由平行线间距离公式求得 43d ． 所以 ， 椭圆上的点到直线 2 7 0xy的距离 d 的最大值 为 43． 第 2 页 共 4 页 19． (Ⅰ )由题意知 ， 动点 M 到定点 (1,0)F 的距离 等于它到 直线 1x 的距离 ． 由抛物线定义知 ， 动点 M 的轨迹是以 点 (1,0)F 为焦点 ， 直线 1x 为准线的抛物线 ． 所以 ， 动点 M 的轨迹方程 是 2 4yx ． (Ⅱ )由题意知 ， (1, 2), (9 , 6), (1, 0)A B F ， 设圆的方程为 22 0x y D x E y F    ， 代入 ,,ABF 的坐标解得 ： 16 , 2 , 15D E F   ． 所以 ， 所求 圆的方程 为 22 1 6 2 1 5 0x y x y    ． (或 22( 8 ) ( 1) 5 0xy   ) 20． (Ⅰ )设圆 C 的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r   ， 则点 ( , )Cab 与点 ( 2, 2) 关于 直线 02yx 对称 ， 解得 ： 0ab 又因为 圆 C 过点 )1,1(P ， 解得 ： 2 2r ． 于是 ， 圆 C 的方程 为 222xy． (Ⅱ )设 ( , )Qxy ， 则 222xy， ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 2P Q M Q x y x y x y          由 不等式 222 ()2xyxy  知 ， 22xy    ， 当且仅当 1xy  时取得最小值 ． 于是 ， 所 求 PQMQ 的最小值 为 4 ． 21． (Ⅰ )由题意知 ， 直线 AB 斜率存在 ， 设 1 1 2 2: ( 1 ) , ( , ) , ( , )A B y k x A x y B x y 由2( 1)4y k xyx  ， 得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k   ， 由韦达定理知 ， 21 2 1 2224+ = , 1kx x x xk  ， 由抛物线的弦长公式 12| | + 2AB x x， 解得 2k ， 经验证 ， 此时 0 ． 所以 ， 直线 AB 的方程 为 2 2 0xy   ， 或 2 2 0xy   ． (Ⅱ )设 221212( , ), ( , )44yyA y B y， 则直线14:AO y xy 与准线 1x 的交点为14( 1, )D y ， 由 (1)知 221 2 1 2 1 21 6 1 6 , 4y y x x y y   ， 从而 ， 122124 16 0( 4)BD yyk yy ． 所以 ， 直线 BD 的斜率 为定值 0． 第 3 页 共 4 页 22． (Ⅰ )由椭圆定义知 ， 点 M 的轨迹 是以 ( 1,0), (1,0)EF 为焦点 ， 22为长轴长的椭圆 ， 所以 ， 曲线 C 的方程 为 2 2 12x y． (Ⅱ )设 1 1 1 2 2: 1 , ( , ) , ( , )l x m y S x y T x y 由 2 2 121x yx my  ， 得 22( 2 ) 2 1 0m y m y    由韦达定理知 ，1 2 1 22221+ = ,22my y y ymm 由弦长公式知 ， 2212 22 2 ( 1 )| | 1 | | 2mS T m y y m     ， 由中点坐标公式得 ， 线段 ST 的中点222( , )22mG mm， 于是 ， 直线 GQ 的方程为 22 2 22 ( 2 5 )( ) , ( 2 , )2 2 2m m my m x Qm m m     ， 由两点间距离公式得 ， 222( 2 6 ) 1|| 2mmGQ m ， 于是 ，223= 21GQ mST m， 令 211tm   ， 则 2 2 1 2= ( ) 222GQ t tS T tt   ，当且仅当 2t ， 即 1m 时 ， 取得等号 ， 所以 ，STGQ的最小值 为 2． 第 4 页 共 4 页 附 ： 绵阳南山中学 2018年秋季高 2017级半期考试数学试题之双向细目表 题型 题号 分值 考点 选择题 1 5 空间直角坐标系 2 5 直线斜截式方程 3 5 两直线的位置关系 4 5 圆 的一般方程 5 5 框图、算法 6 5 双曲线的性质 7 5 两圆的位置关系 8 5 圆的方程，直线与圆的位置关系 9 5 椭圆的中点弦问题 10 5 双曲线与圆的综合应用 11 5 直线与抛物线的综合应用 12 5 直线与椭圆的综合应用 填空题 13 5 直线与圆的位置关系 14 5 双曲线的性质 15 5 椭圆与抛物线的综合应用 16 5 椭圆的离心率 解答题 17 10 直线的方程 18 12 直线与椭圆 19 12 抛物线与圆 20 12 圆的方程，圆中的最值问题 21 12 直线与抛物线 22 12 直线与椭圆